Twierdzenie Andersona

Ten artykuł dotyczy twierdzenia Andersona w matematyce. Aby zapoznać się z twierdzeniem Andersona o ortogonalności w fizyce, zobacz twierdzenie Andersona o ortogonalności . Aby zapoznać się z twierdzeniem o nadprzewodnictwie, zobacz twierdzenie Andersona (nadprzewodnictwo) .

W matematyce twierdzenie Andersona jest wynikiem rzeczywistej analizy i geometrii , który mówi, że całka całkowalnej , symetrycznej, jednomodalnej, nieujemnej funkcji f na n -wymiarowym wypukłym ciele K nie zmniejsza się, jeśli K jest przesunięte do wewnątrz w kierunku pochodzenia . Jest to naturalne stwierdzenie, ponieważ wykres f można traktować jako wzgórze z pojedynczym wierzchołkiem nad początkiem ; jednak dla n ≥ 2 dowód nie jest do końca oczywisty, ponieważ mogą istnieć punkty x ciała K , w których wartość f ( x ) jest większa niż przy odpowiednim przełożeniu x .

Twierdzenie Andersona, nazwane na cześć Theodore'a Wilbura Andersona , ma również interesujące zastosowanie w teorii prawdopodobieństwa .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech K będzie ciałem wypukłym w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej Rn ^, które jest symetryczne względem odbicia w początku, czyli K = − K . Niech f : R ⁿ → R będzie nieujemną , symetryczną, globalnie całkowalną funkcją; tj

• fa ( x ) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ R ⁿ ;
• fa ( x ) = fa (− x ) dla wszystkich x ∈ R ⁿ ;
• ${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) \ \ operatorname {d} x <+ \ infty.}$

Załóżmy również, że nadrzędny zbiór L ( f , t ) z f , określony przez

${\ Displaystyle L (f, t) = \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n} | f (x) \ geq t \}}$

są wypukłymi podzbiorami R n ^dla każdego t ≥ 0. (Właściwość ta jest czasami określana jako jednomodalna ). Wtedy dla dowolnego 0 ≤ c ≤ 1 i y ∈ R ⁿ ,

${\ Displaystyle \ int _ {K} f (x + cy) \ \ operatorname {d} x \ geq \ int _ {K} f (x + y) \ \ operatorname {d} x.}$

Zastosowanie do teorii prawdopodobieństwa

Mając przestrzeń prawdopodobieństwa (Ω, Σ, Pr), załóżmy, że X : Ω → R ⁿ jest zmienną losową o wartości R ⁿ z funkcją gęstości prawdopodobieństwa f : R ⁿ → [0, +∞) oraz że Y : Ω → R ⁿ jest niezależną zmienną losową. Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wielu dobrze znanych rozkładów prawdopodobieństwa są p - wklęsłe dla pewnego p , a więc jednomodalne. Jeśli są one również symetryczne (np. Laplace'a i rozkłady normalne ), wówczas zastosowanie ma twierdzenie Andersona, w którym to przypadku

${\ Displaystyle \ Pr (X \ w K) \ geq \ Pr (X + Y \ w K)}$

dla dowolnego wypukłego ciała o symetrycznym początku K ⊆ R ⁿ .

• Gardner, Richard J. (2002). „Nierówność Brunna-Minkowskiego” . Byk. Amer. Matematyka soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (elektroniczny). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .