Lista szeregów matematycznych

Zobacz także: Szeregi (matematyka) § Przykłady szeregów liczbowych i Sumowanie

Ta lista szeregów matematycznych zawiera wzory na sumy skończone i nieskończone. Może być używany w połączeniu z innymi narzędziami do oceny sum.

• Tutaj przyjmuje się , że ma wartość ${\ displaystyle$$0 ^ {0} }$
• ${\ Displaystyle \ {x \}}$ oznacza część ułamkową ${\ Displaystyle x}$
• ${\ Displaystyle B_ {n} (x)}$ jest wielomianem Bernoulliego .
• ${\ displaystyle B_ {n}}$ jest liczbą Bernoulliego i tutaj ${\ Displaystyle B_ {1} = - {\ Frac {1} {2}}.}$
• ${\ Displaystyle E_ {n}}$ jest liczbą Eulera .
• ${\ Displaystyle \ zeta (s)}$ jest funkcją zeta Riemanna .
• ${\ Displaystyle \ Gamma (z)}$ jest funkcją gamma .
• ${\ Displaystyle \ psi _ {n} (z)}$ jest funkcją poligamma .
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {s} (z)}$ jest polilogarytmem .
• ${\ Displaystyle n \ wybierz k}$ jest współczynnikiem dwumianowym
• ${\ Displaystyle \ exp (x)}$ oznacza wykładniczy x { $Displaystyle x}$

Sumy potęg

Zobacz wzór Faulhabera .

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {m} k ^ {n-1} = {\ Frac {B_ {n} }(m+1)-B_{n}}{n}}}$

Kilka pierwszych wartości to:

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {m} k = {\ Frac {m (m + 1)} {2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {m} k ^ { 2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{ 2}}+{\frac {m}{6}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {m} k ^ {3} =\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3 }}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}}$

Zobacz stałe zeta .

• ${\ Displaystyle \ zeta (2n) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {2n}}} = (-1) ^ {n + 1} {\ frac {B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}}}$

Kilka pierwszych wartości to:

• ${\ Displaystyle \ zeta (2) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {2} }}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ( problem bazylejski )
• ${\ Displaystyle \ zeta (4) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {4 }}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$
• ${\ Displaystyle \ zeta (6) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {6 }}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

Serie mocy

Polilogarytmy niskiego rzędu

Sumy skończone:

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = m} ^ {n} z ^ {k} = {\ Frac {z ^ {m} -z ^{n+1}}{1-z}}}$ , ( szereg geometryczny )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} = {\ Frac {1-z ^ {n + 1} }{1-z}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} z ^ {k} = {\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}-1={\frac {zz^{n+1}}{1-z}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} kz ^ {k }=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} z ^ {k} = z {\ Frac {1 + z- (n + 1) ^ {2} z ^ {n} + (2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}}$
• $\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} z ^ {k }=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}}$

Sumy nieskończone, ważne dla ${\ Displaystyle | z| <1}$ (patrz polilogarytm ):

• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {n} (z) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^{k}}{k^{n}}}}$

Poniższa właściwość jest przydatna do rekurencyjnego obliczania polilogarytmów o niskim rzędzie całkowitym w postaci zamkniętej :

• $\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} z}} \ operatorname {Li} _ {n} (z) = {\ frac {\ nazwa operatora {Li} _ {n-1} (z)} {z}}}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {1} (z) = \ suma _ {k = 1} ^ { \infty}{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {0} (z) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} z ^ { k}={\frac {z}{1-z}}}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {- 1} (z) = \ suma _ {k = 1} ^ {\infty}kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {- 2} (z) = \ suma _ {k=1}^{\infty}k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {- 3} (z) =\suma _{k=1}^{\infty}k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{ 4}}}}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Li} _ {- 4}(z)=\suma _{k=1}^{\infty}k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2} )}{(1-z)^{5}}}}$

Funkcja wykładnicza

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {k}} {k!}} = e ^ {z}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} k {\ Frac {z ^ {k}} {k!}} = ze ^ {z}} (por. średnia$ rozkładu Poissona )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {2} {\ frac {z ^ {k}}} {k!}} = (z + z ^{2})e^{z}}$ (por. drugi moment rozkładu Poissona)
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {3} {\ Frac {z ^ {k}} {k!}} = (z+3z^{2}+z^{3})e^{z}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {4} {\ Frac {z ^ {k}}} {k !}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} {\ Frac {z ^ {k}}} {k!}} = z {\ frac { d}{dz}}\suma _{k=0}^{\infty}k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z }T_{n}(z)}$

gdzie ${\ Displaystyle T_ {n} (z)}$ to wielomiany Toucharda .

Funkcje trygonometryczne, odwrotne trygonometryczne, hiperboliczne i odwrotne funkcje hiperboliczne

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = \sin z}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = \ sinh z}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cos z}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cosh z}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}}} (2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k )!}}=\cot z,|z|<\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = \ coth z ,|z|<\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k- 1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {- (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!} }=\nazwa_operatora {csch} z,|z|<\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ s z, | z | <{{{ \frac {\pi }{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ nazwa operatora {wers} z}$ ( werset )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} = \ nazwa operatora {hav} z}$ ( haversine )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(2k)! Z ^ {2k + 1}}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k +1)}}=\arcsin z,|z|\równik 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} (2k)! Z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsinh} {z},|z|\leq 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = \ arctan z, | z|<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = \ operatorname {arctanh} z, | z| <1}$
• ${\ Displaystyle \ ln 2+ \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} (2k)! z ^ {2k}}} {2 ^ {2k+ 1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1}$

Zmodyfikowane mianowniki silni

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(4k)!} {2 ^ {4k} {\ sqrt {2}} (2k)! (2k + 1)! }}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {2 ^ {2k} (k!) ^ {2}} {(k + 1) (2k + 1)!}} z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leq 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (4k ^ {2} + \ alfa ^ {2}) }{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k +1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leq 1}$

Współczynniki dwumianowe

• $_$ _ Twierdzenie dwumianowe § Uogólnione twierdzenie dwumianowe Newtona )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {{\ alfa + k-1} \ wybierz k} z ^ {k} = {\ Frac {1} {(1-z) ^ {\alfa}}},|z|<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty}} {\ Frac {1} {k + 1}} {2k \ wybierz k} z ^ {k} = {\ Frac {1- { \sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}}$ , funkcja generująca liczby katalońskie
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {2k \ wybierz k} z ^ {k} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-4z}}}, | z |<{\frac {1}{4}}}$ , funkcja generująca współczynniki centralnego dwumianu
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {2k + \ alfa \ wybierz k} z ^ {k} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1-4z}}} \ left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha},|z|<{\frac {1}{4}}}$

Liczby harmoniczne

(Patrz liczby harmoniczne , same zdefiniowane ${\ textstyle H_ {n} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ Frac {1} {j}}}$ )

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} H_ {k} z ^ {k} = {\ Frac {- \ ln (1-z)} {1-z}}, | z |<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {H_ {k}} {k + 1}} z ^ {k + 1} = {\ Frac {1} {2} }\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1} H_ {2k}} {2k + 1}} z ^ {2k + 1} = { \frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {k = 0} ^ {2n} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} {\ frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1}$

Współczynniki dwumianowe

Główny artykuł: współczynnik dwumianowy

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {n \ wybierz k} = 2 ^ {n}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ wybierz k} = 0 ,{\text{ gdzie }}n\geq 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {k \ wybierz m} = {n + 1 \ wybierz m + 1}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {m + k-1 \ wybierz k} = {n + m \ wybierz n}}$ (patrz Multiset )
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ alfa \ wybierz k} {\ beta \ wybierz nk} ={\alpha +\beta \choose n}}$ (zobacz tożsamość Vandermonde'a )

Funkcje trygonometryczne

Sumy sinusów i cosinusów powstają w szeregach Fouriera .

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ cos (k \ theta)}} {k}} = - {\ Frac {1} {2}} \ ln (2-2 \cos \theta )=-\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <2\pi}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin (k \ theta) }{k}}={\frac {\pi -\theta}{2}},0<\theta<2\pi}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} \ cos (k \ theta) = {\ frac {1} 2}}\ln(2+2\cos \theta )=\ln \left(2\cos {\frac {\theta }{2}}\right),0\leq \theta <\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sin(k\theta )={\frac {\theta}{2}},-{\frac {\pi}}{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\cos(2k\theta )}{2k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \theta ),0<\theta <\pi}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin (2k \ theta )}{2k}}={\frac {\pi -2\theta}{4}},0<\theta <\pi}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty }{\frac {\cos[(2k+1)\theta]}{2k+1}}={\frac {1}{2}}\ln \left(\cot {\frac {\theta}{2 }}\right),0<\theta <\pi }$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin [ (2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi}$ ,
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin (2\pi kx)}{k}}=\pi \left({\dfrac {1}{2}}-\{x\}\right),\ x\in \mathbb {R}}$
• ${\ Displaystyle \ suma \ ograniczenia _ {k = 1} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ sin \ lewo (2 \ pi kx \ prawej)} {k ^ {2n-1}}} =(-1)^{n}{\frac {(2\pi )^{2n-1}}{2(2n-1)!}}B_{2n-1}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N}}$
• ${\ Displaystyle \ suma \ limity _ {k = 1} ^ {\ infty}} {\ Frac {\ cos \ lewo (2 \ pi kx \ prawo)}} {k ^ {2n}}} = (-1) ^ { n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}B_{2n}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n \in \mathbb {N} }$
• ${\ Displaystyle B_ {n} (x) = - {\ Frac {n!} {2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\ pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} \sin(\theta +k\alpha)={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha}{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha}}{2} })} {\ sin {\ frac {\ alfa} {2}}}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} \cos(\theta +k\alpha)={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha}}{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha}{2} })} {\ sin {\ frac {\ alfa} {2}}}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ Frac {\ pi k} {n}} = \ łóżeczko {\ frac {\ pi }{2n}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ Frac {2 \ pi k} {n}} = 0}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ csc ^ {2} \ left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta)}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} \ csc ^ {2} {\ Frac {\ pi k} {n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} \ csc ^ {4} {\ Frac { \pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}}$

Funkcje wymierne

• ${\ Displaystyle \ suma _ {n = a + 1} ^ {\ infty} {\ Frac {a} {n ^ {2} - a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ { 2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}}$
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {4} + 4a ^ {4}}} = {\ dfrac {1} {8a ^ {4}}}+{\dfrac {\pi (\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\cosh(2\pi a)-\cos (2\pi a))}}}$
• Nieskończony szereg dowolnej funkcji wymiernej $wyjaśniono$ zredukować do skończonego szeregu funkcji poligammy , stosując częściowy rozkład ułamków , jak tutaj . Fakt ten można również zastosować do skończonych szeregów funkcji wymiernych, umożliwiając obliczenie wyniku w stałym czasie , nawet jeśli szereg zawiera dużą liczbę wyrazów.

Funkcja wykładnicza

• ${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ dfrac {1} {\ sqrt {p}}} \ suma _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ lewo ({\ Frac {2 \ pi w ^ {2} q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left (-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)}$ (patrz relacja Landsberga-Schaara )
• ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ pi n ^ {2} }={\frac {\sqrt[{4}]{\pi}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}$

Serie liczbowe

Te serie liczbowe można znaleźć, podłączając liczby z serii wymienionych powyżej.

Naprzemienne szeregi harmoniczne

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}- {\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2k-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi}}}}$

Suma odwrotności silni

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k!}} = {\ Frac {1} {0!}} + {\ Frac {1} {1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(2k)!}} = {\ Frac {1} {0!}} + {\ Frac {1} {2} !}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots ={\frac {1}{ 2}}\left(e+{\frac {1}{e}}\right)=\cosh 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(3k)!}} = {\ Frac {1} {0!}} + {\ Frac {1} {3} !}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{9!}}+{\frac {1}{12!}}+\cdots ={\frac {1}{ 3}}\left(e+{\frac {2}{\sqrt {e}}}\cos {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(4k)!}} = {\ Frac {1} {0!}} + {\ Frac {1} {4} !}}+{\frac {1}{8!}}+{\frac {1}{12!}}+{\frac {1}{16!}}+\cdots ={\frac {1}{ 2}}\lewo(\cos 1+\cosh 1\prawo)}$

Trygonometria i π

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = {\ Frac {1} {1!}} -{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+{\frac {1}{9!}}+\ cdots =\sin 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {(2k)!}} = {\ Frac {1} 0!}}-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8! }}+\cdots =\cos 1}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}} +{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \coth \pi -1)}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {k ^ {2} + 1}} = - {\ Frac {1} {2} }+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\ pi \nazwa_operatora {csch} \pi -1)}$
• ${\ Displaystyle 3 + {\ Frac {4} {2 \ razy 3 \ razy 4}}-{\frac {4}{4\razy 5\razy 6}}+{\frac {4}{6\razy 7\razy 8}}-{\frac {4}{8\razy 9 \times 10}}+\cdots =\pi }$

Odwrotność liczb trójkątnych

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} T_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}} +{\frac {1}{15}}+\cdots =2}$

gdzie ${\ Displaystyle T_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} k}$

Odwrotność liczb czworościennych

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1 }{Te_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20 }}+{\frac {1}{35}}+\cdots ={\frac {3}{2}}}$

gdzie ${\ Displaystyle Te_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} T_ {k}}$

Wykładniczy i logarytm

• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(2k + 1) (2k + 2)}} = {\ Frac {1} {1 \ razy 2}} + {\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{5\times 6}}+{\frac {1}{7\times 8}}+{\frac {1}{9 \times 10}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ Frac { 1}{2^{k}k}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1 }{64}}+{\frac {1}{160}}+\cdots =\ln 2}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {k + 1}} {2 ^ {k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k+1}}{3^{k}k}}={\Bigg (} {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{ 18}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{81}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac { 1}{64}}+{\frac {1}{324}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2}$
• ${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {3 ^ {k} k}} + \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty}} \frac {1}{4^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{32}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{81}}+{\frac {1 }{192}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{324}}+{\frac {1}{1024}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2}$

Zobacz też

• Serie (matematyka)
• Lista całek
• Podsumowanie § Tożsamości
• szereg Taylora
• Dwumian newtona
• Seria Gregory'ego
• Encyklopedia on-line sekwencji liczb całkowitych

Notatki

• Wiele książek z listą całek ma również listę serii.