Kluczowa ilość

W statystyce wielkość kluczowa lub oś jest funkcją obserwacji i nieobserwowalnych parametrów, tak że rozkład prawdopodobieństwa tej funkcji nie zależy od nieznanych parametrów (w tym parametrów uciążliwych ). Wielkość przestawna nie musi być statystyką — funkcja i jej wartość mogą zależeć od parametrów modelu, ale jej rozkład nie może. Jeśli jest to statystyka, nazywa się ją statystyką pomocniczą .

Bardziej formalnie, niech ${\ Displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}$ będzie losową próbką z rozkładu to zależy od $wektora$ parametrów) . Niech $której$ zmienną losową $,$ . Następnie nazywa się wielkością kluczową $($ lub po prostu ) .

Wielkości kluczowe są powszechnie używane do normalizacji , aby umożliwić porównanie danych z różnych zbiorów danych. Stosunkowo łatwo jest skonstruować przeguby dla parametrów lokalizacji i skali: w pierwszym przypadku tworzymy różnice tak, że lokalizacja się znosi, w przypadku drugich współczynniki tak, że skala się znosi.

Wielkości kluczowe mają fundamentalne znaczenie przy konstruowaniu statystyk testowych , ponieważ pozwalają na niezależność statystyki od parametrów – na przykład statystyka t-Studenta dotyczy rozkładu normalnego z nieznaną wariancją (i średnią). Zapewniają one także jedną z metod konstruowania przedziałów ufności , a użycie wielkości kluczowych poprawia wydajność metody ładowania początkowego . W formie statystyk pomocniczych można je wykorzystać do konstruowania częstościowych przedziałów predykcji (predykcyjnych przedziałów ufności).

Przykłady

Normalna dystrybucja

Jedną z najprostszych wielkości kluczowych jest wynik z ; biorąc $pod$ uwagę rozkład normalny ze średnią $mu$ wariancją obserwacją x, wynik z: μ {\ displaystyle \

{\ Displaystyle z = {\ Frac {x- \ mu} {\ sigma}},}

ma rozkład ${\ Displaystyle N (0,1)}$ - rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją 1. Podobnie, ponieważ średnia próbki z n -próbki ma rozkład próbkowania ${\ Displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ {2} / n),}$ wynik Z średniej

{\ Displaystyle z = {\ Frac {{\ overline {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}}}

ma również rozkład $Należy zauważyć$ , że chociaż funkcje te zależą od parametrów - a zatem można je obliczyć tylko wtedy, gdy parametry są znane (nie są to statystyki) - rozkład jest niezależny od parametrów.

Biorąc $niezależne$ , identycznie rozłożone (iid) obserwacje ${\ Displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ { n})}$ z rozkładu normalnego o nieznanej średniej $mu$ wariancji , wielkość kluczową można otrzymać $\ displaystyle \$ funkcji: μ {

{\ Displaystyle g (x, X) = {\ Frac {x- {\ overline {X}}} {s / {\ sqrt {n}}}} }

Gdzie

{\ Displaystyle {\ overline {X}} = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i} }}

I

{\ Displaystyle s ^ {2} = {\ Frac {1} {n-1}} \ suma _ {i = 1} ^ {n}{(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}

$\ displaystyle \ mu}$ bezstronnymi szacunkami odpowiednio i ${$ Funkcja jest statystyką t-Studenta dla nowej wartości $, X ) {\$ ma zostać wylosowana z tej samej populacji, co już zaobserwowany zbiór wartości $(x, X$ ${\ displaystyle X}$ .

Używając $=$ kluczową, która jest również rozdzielana przez $\ displaystyle x$ -Studenta z $_$ \ . ${\ displaystyle$ razie potrzeby, chociaż pojawia się jako argument funkcji , rozkład $\ mu }$ ${\ Displaystyle g (\ mu, X)}$ ${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ od parametrów normalnego rozkładu prawdopodobieństwa, który rządzi obserwacjami, ${\ displaystyle \ mu}$ lub ${\ displaystyle \ sigma$ .

Można to wykorzystać do obliczenia przedziału predykcji dla następnej obserwacji ${\ displaystyle X_ {n+1};}$ patrz Przedział przewidywania: rozkład normalny .

Dwuwymiarowy rozkład normalny

W bardziej skomplikowanych przypadkach nie da się skonstruować dokładnych czopów. Jednak posiadanie przybliżonych osi poprawia zbieżność do asymptotycznej normalności .

$, że$ próbka wektorów o $($ została pobrana z dwuwymiarowego rozkładu normalnego nieznanej korelacji $\ styl wyświetlania \rho }$ .

Estymatorem jest korelacja próbki (Pearsona, moment) ${\ displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle r = {\ Frac {{\ Frac {1} {n-1}} \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{s_{X}s_{Y} }}}

gdzie są przykładowymi wariancjami i . s ${X} ^ {2}, s_ {$ \ $displaystyle$ Y $}$ Przykładowa statystyka ma asymptotycznie rozkład normalny: ${\ displaystyle r}$

{\ Displaystyle {\ sqrt {n}} \ Frac {r - \ rho} {1- \ rho ^ {2}}} \ Rightarrow N (0, 1)}

.

Jednakże transformacja stabilizująca wariancję

{\ Displaystyle z = {\ rm {{tanh} ^ {-1} r = {\ Frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1+r} {1-r}}}}}

znana jako transformacja Fishera z współczynnika korelacji, umożliwia utworzenie rozkładu asymptotycznie niezależnego od nieznanych parametrów: ${\ displaystyle z}$

{\ Displaystyle {\ sqrt {n}} (z - \ zeta) \ Strzałka w prawo N (0,1)}

gdzie jest odpowiednim parametrem rozkładu ${\ displaystyle \ zeta = {\ rm {tanh}} ^ {-1} \ rho} . W$ $przypadku$ próbek o skończonych rozmiarach $losowa$ $rozkład$ miała bliższy normalnemu niż . Jeszcze bliższe przybliżenie standardowego rozkładu normalnego uzyskuje się, stosując lepsze przybliżenie dokładnej wariancji: zwykła postać to

{\ Displaystyle \ operatorname {Var} (z) \ około {\ Frac {1} {n-3}}.}

Krzepkość

Z punktu widzenia solidnej statystyki wielkości kluczowe są odporne na zmiany parametrów – w istocie niezależne od parametrów – ale ogólnie nie są odporne na zmiany w modelu, takie jak naruszenia założenia normalności. Ma to fundamentalne znaczenie dla zdecydowanej krytyki niezbyt solidnych statystyk, często wyprowadzanych z kluczowych wielkości: takie statystyki mogą być solidne w obrębie rodziny, ale nie są solidne poza nią.

Zobacz też

Normalizacja (statystyki)