Optymalna decyzja

Optymalna decyzja to decyzja, która prowadzi do co najmniej tak dobrego znanego lub oczekiwanego wyniku, jak wszystkie inne dostępne opcje decyzyjne. Jest to ważne pojęcie w teorii decyzji . W celu porównania różnych skutków decyzji zwykle przypisuje się każdemu z nich wartość użyteczności .

Jeśli istnieje niepewność co do wyniku, ale wiedza o rozkładzie niepewności, to zgodnie z aksjomatami von Neumanna-Morgensterna optymalna decyzja maksymalizuje oczekiwaną użyteczność ( średnia ważona prawdopodobieństwem użyteczności ze wszystkich możliwych wyników decyzji ). Czasami rozważa się równoważny problem minimalizacji oczekiwanej wartości straty , gdzie strata jest (–1) razy użyteczna. Innym równoważnym problemem jest minimalizowanie oczekiwanego żalu .

„Użyteczność” jest tylko arbitralnym terminem służącym do ilościowego określania celowości określonego wyniku decyzji i niekoniecznie jest związana z „użytecznością”. Na przykład, dla kogoś optymalną decyzją może być zakup samochodu sportowego zamiast kombi, jeśli wynik pod względem innego kryterium (np. wpływ na wizerunek) jest bardziej pożądany, nawet przy wyższych kosztach i braku wszechstronności samochodu sportowego.

Problem znalezienia optymalnej decyzji jest matematycznym problemem optymalizacyjnym . W praktyce niewiele osób weryfikuje, czy ich decyzje są optymalne, ale zamiast tego używa heurystyk do podejmowania decyzji, które są „wystarczająco dobre” – to znaczy angażują się w satysfakcjonowanie .

Bardziej formalne podejście może być zastosowane, gdy decyzja jest wystarczająco ważna, aby zmotywować czas potrzebny na jej analizę, lub gdy jest zbyt złożona, aby można ją było rozwiązać za pomocą prostszych intuicyjnych podejść, takich jak wiele dostępnych opcji decyzyjnych i złożona relacja decyzja-wynik .

Formalny opis matematyczny

Każda decyzja $}$ zbiorze dostępnych opcji ${\ displaystyle o = f (d$ doprowadzi do wyniku. $re$ . Wszystkie możliwe wyniki tworzą zbiór ${\ displaystyle O}$ . Przypisując użyteczność każdemu wynikowi, możemy zdefiniować użyteczność konkretnej decyzji $\ Displaystyle U_ {O} (o$ $o )$ }

{\ Displaystyle U_ {D} (d) \ = \ U_ {O} (f (d)). \,}

$U$ możemy zdefiniować optymalną decyzję , która maksymalizuje: $Displaystyle U_ {D} (d)$ }

{\ Displaystyle d _ {\ operatorname {opt}} = \ arg \ max \ limity _ {d \ in D} U_ {D} (d). \,}

Rozwiązanie problemu można więc podzielić na trzy etapy:

przewidywanie wyniku $re$ każdej ${\ Displaystyle d;}$
$_$ użyteczności każdego ${\ Displaystyle o;}$
${\ Displaystyle U_ {D} (d).}$ decyzji $re$ która maksymalizuje

W warunkach niepewności wyniku

W przypadku, gdy nie można z całą pewnością przewidzieć, jaki będzie wynik danej decyzji, konieczne jest podejście probabilistyczne. W najbardziej ogólnej formie można to wyrazić następująco:

Biorąc pod uwagę decyzję , znamy rozkład prawdopodobieństwa możliwych wyników opisanych przez gęstość prawdopodobieństwa warunkowego $displaystyle p (o | d)$ $}$ . Biorąc pod uwagę $d$ zmienną losową $)$ warunkową , możemy obliczyć oczekiwaną użyteczność jako $}$

{\ Displaystyle {\ tekst {E}} U_ {D} (d) = \ int {p (o | d) U (o )zrobić}\,}

,

gdzie całka jest przejmowana przez cały zbiór $($ , s. 121).

Re ${\ Displaystyle d _ {\ operatorname {opt}}}$ to taka, która maksymalizuje mi $\ Displaystyle {\ tekst {E}} U_ {D} (d$ } jak powyżej:

{\ Displaystyle d _ {\ operatorname {opt}} = \ arg \ max \ ograniczenia _ {d \ w D} {\ tekst {E}} U_ {D} (d). \,}

Przykładem jest problem Monty'ego Halla .

Zobacz też

Morris DeGroot Optymalne decyzje statystyczne . McGraw-Hill. Nowy Jork. 1970. ISBN 0-07-016242-5 .
James O. Berger Statystyczna teoria decyzji i analiza bayesowska . Druga edycja. 1980. Seria Springera w statystyce. ISBN 0-387-96098-8 .