Koherencja (przetwarzanie sygnału)

W przetwarzaniu sygnałów spójność jest statystyką , której można użyć do zbadania relacji między dwoma sygnałami lub zestawami danych . Jest powszechnie używany do oszacowania mocy między wejściem a wyjściem układu liniowego . Jeśli sygnały są ergodyczne , a funkcja systemu jest liniowa , można jej użyć do oszacowania związku przyczynowego między wejściem a wyjściem. ^{[ potrzebne źródło ]}

Definicja i sformułowanie

Spójność (czasami nazywana koherencją wielkości do kwadratu ) między dwoma sygnałami x(t) i y(t) jest funkcją o wartościach rzeczywistych , która jest zdefiniowana jako:

{\ Displaystyle C_ {xy} (f) = {\ Frac {| G_ {xy} (f) | ^ {2}} {G_ {xx} (f

gdzie G _xy (f) to gęstość widmowa krzyżowa między x i y, a G _xx (f) i G _yy (f) odpowiednio gęstość autospektralna x i y. Wielkość gęstości widmowej jest oznaczona jako |G|. Biorąc pod uwagę powyższe ograniczenia (ergodyczność, liniowość), funkcja koherencji szacuje stopień, w jakim y(t) można przewidzieć na podstawie x(t) za pomocą optymalnej liniowej funkcji najmniejszych kwadratów .

Wartości spójności zawsze będą spełniać $\ Displaystyle 0 \ równoważnik C_ {xy} (f) \ równoważnik 1}$ . Dla idealnego układu liniowego o stałych parametrach z pojedynczym wejściem x(t) i jednym wyjściem y(t) koherencja będzie równa jeden. Aby to zobaczyć, rozważmy układ liniowy z odpowiedzią impulsową h (t) zdefiniowaną jako: ${\ Displaystyle y (t) = h (t) * x (t) }$ $splot$ gdzie oznacza . _ W dziedzinie Fouriera to równanie staje się ${\ Displaystyle Y (f) = H (f) X (f)}$ , gdzie Y (f) jest transformatą Fouriera y ( t) i H(f) jest liniową funkcją przenoszenia systemu . Ponieważ dla idealnego układu liniowego: ${\ Displaystyle G_ {yy} = | H (f) | ^ {2} G_ {xx} (f)}$ i ${\ displaystyle G_ {xy} = H (f) G_ {xx} (f)}$ $ponieważ$ obowiązuje tożsamość,

{\ Displaystyle C_ {xy} (f) = {\ Frac {| H (f) G_ {xx} (f) | ^ {2}} {G_ {xx} (f) )G_{yy}(f)}}={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)|H(f) |^{2}}}={\frac {|G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)}}=1}

.

Jednak w świecie fizycznym rzadko udaje się zrealizować idealny system liniowy, szum jest nieodłącznym elementem pomiaru systemu i jest prawdopodobne, że system liniowy z jednym wejściem i jednym wyjściem jest niewystarczający do uchwycenia całej dynamiki systemu. $nierówność$ założenia idealnego systemu liniowego są niewystarczające, Schwarza gwarantuje wartość

Jeśli C _xy jest mniejsze od jeden, ale większe od zera, oznacza to, że albo: w pomiarach pojawia się szum, że przyjęta funkcja dotycząca x(t) i y(t) nie jest liniowa, albo że y(t) daje wyjście ze względu na wejście x(t) oraz inne wejścia. Jeśli spójność jest równa zeru, oznacza to, że x(t) i y(t) są całkowicie niepowiązane, biorąc pod uwagę ograniczenia wspomniane powyżej.

Spójność układu liniowego reprezentuje zatem ułamkową część mocy sygnału wyjściowego, która jest wytwarzana przez wejście przy tej częstotliwości. Możemy również postrzegać wielkość $oszacowanie$ ułamkowej mocy wyjściowej, która nie jest dostarczana przez wejście Prowadzi to naturalnie do zdefiniowania spójnego widma wyjściowego:

{\ Displaystyle G_ {vv} = C_ {xy} G_ {yy}}

${\ Displaystyle G_ {vv}}$ zapewnia widmową kwantyfikację mocy wyjściowej, która nie jest skorelowana z szumem lub innymi danymi wejściowymi.

Przykład

Rysunek 1: Spójność między poziomem wody w oceanie (wpływ) a poziomem wód gruntowych (wyjście).

Rysunek 2: Ciśnienie barometryczne (kolor czarny), poziom wód oceanicznych (kolor czerwony) i poziom wód gruntowych (kolor niebieski) w pobliżu Lake Worth Beach na Florydzie podczas huraganu Frances .

Tutaj ilustrujemy obliczanie koherencji (oznaczonej jako $) , jak pokazano na rysunku$ Rozważ dwa sygnały pokazane w dolnej części rysunku 2. Wydaje się, że istnieje ścisły związek poziom wód powierzchniowych oceanów i poziom wód gruntowych w studniach. Oczywiste jest również, że ciśnienie barometryczne ma wpływ zarówno na poziom wód oceanicznych, jak i poziom wód gruntowych.

Rysunek 3 przedstawia autospektralną gęstość poziomu wody w oceanie w długim okresie czasu.

Rysunek 3: Gęstość autospektralna poziomu wody w oceanie. Elementy pływów są oznaczone.

Zgodnie z oczekiwaniami większość energii koncentruje się na dobrze znanych częstotliwościach pływów . Podobnie gęstość autospektralna poziomów studni wód gruntowych pokazano na rycinie 4.

Rysunek 4: Gęstość autospektralna poziomu studni wód gruntowych.

Oczywiste jest, że zmiany poziomu wód gruntowych mają znaczną siłę przy częstotliwościach pływów oceanicznych. Aby oszacować stopień, w jakim poziomy wód gruntowych są pod wpływem poziomów powierzchni oceanów, obliczamy spójność między nimi. Załóżmy, że istnieje liniowa zależność między wysokością powierzchni oceanu a poziomem wód gruntowych. Ponadto zakładamy, że wysokość powierzchni oceanu kontroluje poziomy wód gruntowych, więc przyjmujemy wysokość powierzchni oceanu jako zmienną wejściową, a wysokość studni wód gruntowych jako zmienną wyjściową.

Obliczona spójność (rysunek 1) wskazuje, że przy większości głównych częstotliwości pływów oceanicznych zmienność poziomu wód gruntowych w tym konkretnym miejscu wynosi ponad 90% z powodu wymuszenia pływów oceanicznych. Należy jednak zachować ostrożność przy przypisywaniu przyczynowości. Jeżeli relacja ( transmisja ) między wejściem a wyjściem jest nieliniowa , to wartości koherencji mogą być błędne. Innym częstym błędem jest zakładanie związku przyczynowo-skutkowego między obserwowanymi zmiennymi, podczas gdy w rzeczywistości mechanizm przyczynowy nie występuje w modelu systemu. Na przykład jasne jest, że atmosferyczne ciśnienie barometryczne powoduje zmiany zarówno poziomu wód oceanicznych, jak i poziomu wód gruntowych, ale ciśnienie barometryczne nie jest uwzględniane w modelu systemu jako zmienna wejściowa. Założyliśmy również, że poziomy wód oceanicznych napędzają lub kontrolują poziomy wód gruntowych. W rzeczywistości jest to połączenie wymuszeń hydrologicznych z poziomu wód oceanicznych i potencjału pływów , które napędzają zarówno obserwowane sygnały wejściowe, jak i wyjściowe. Dodatkowo szum wprowadzony w procesie pomiarowym lub przez przetwarzanie sygnału widmowego może przyczynić się do spójności lub ją zniekształcić.

Rozszerzenie o sygnały niestacjonarne

Jeśli sygnały są niestacjonarne (a zatem nie ergodyczne ), powyższe sformułowania mogą nie być odpowiednie. W przypadku takich sygnałów koncepcja koherencji została rozszerzona o wykorzystanie koncepcji rozkładów czasowo-częstotliwościowych do reprezentowania zmieniających się w czasie zmian widmowych sygnałów niestacjonarnych zamiast tradycyjnych widm. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz.

Zastosowanie w neuronauce

Koherencja okazała się świetnym zastosowaniem do znalezienia dynamicznej funkcjonalnej łączności w sieciach mózgowych. Badania pokazują, że spójność między różnymi regionami mózgu może ulec zmianie podczas różnych stanów mentalnych lub percepcyjnych. Na spójność mózgu w stanie spoczynku mogą mieć wpływ zaburzenia i choroby.

Zobacz też