Bikoherencja

W matematyce i analizie statystycznej bikoherencja (znana również jako koherencja bispektralna ) jest znormalizowaną do kwadratu wersją bispektrum . Bikoherencja przyjmuje wartości ograniczone od 0 do 1, co czyni ją wygodną miarą do ilościowego określania stopnia sprzężenia fazowego w sygnale. Przedrostek bi- w bispectrum i bicoherence odnosi się nie do dwóch szeregów czasowych x _t , y _t , ale raczej do dwóch częstotliwości pojedynczego sygnału.

Bispektrum to statystyka używana do wyszukiwania interakcji nieliniowych . Transformata Fouriera kumulanty drugiego rzędu , czyli funkcja autokorelacji , jest tradycyjnym widmem mocy . Transformata Fouriera C ₃ (t ₁ , t _{2 ) (} kumulant trzeciego rzędu ) nazywana jest bispektrum lub gęstością bispektralną . Należą do kategorii widm wyższego rzędu lub polispektr i dostarczają dodatkowych informacji do widma mocy. Polispektrum trzeciego rzędu (bispektrum) jest najłatwiejsze do obliczenia, a przez to najbardziej popularne.

Różnica w porównaniu z pomiarem koherencji (analiza koherencji jest szeroko stosowaną metodą badania korelacji w dziedzinie częstotliwości między dwoma jednocześnie mierzonymi sygnałami) polega na konieczności przeprowadzenia zarówno pomiarów wejściowych, jak i wyjściowych poprzez oszacowanie dwóch widm automatycznych i jednego widma krzyżowego. Z drugiej strony, bicoherence jest wielkością auto, tzn. można ją obliczyć z pojedynczego sygnału. Funkcja koherencji zapewnia kwantyfikację odchyleń od liniowości w układzie, który leży między wejściowymi i wyjściowymi czujnikami pomiarowymi. Bikoherencja mierzy proporcję energii sygnału przy dowolnej biczęstotliwości, która jest kwadratowo sprzężona fazowo. Zwykle jest znormalizowana w zakresie zbliżonym do współczynnika korelacji i koherencji klasycznej (drugiego rzędu). Był również używany do oceny głębokości znieczulenia i szeroko w fizyce plazmy (nieliniowy transfer energii), a także do wykrywania fal grawitacyjnych .

Bispektrum i bikoherencja mogą być stosowane w przypadku nieliniowych oddziaływań ciągłego widma fal rozchodzących się w jednym wymiarze.

Wykonano pomiary bicoherence do monitorowania sygnałów EEG podczas snu , czuwania i drgawek . ^{[ potrzebne źródło ]}

Definicja

Bispektrum definiuje się jako produkt potrójny

{\ Displaystyle B (f_ {1}, f_ {2}) = F (f_ {1} )F(f_{2})F^{*}(f_{1}+f_{2})}

gdzie to bispektrum oceniane przy częstotliwościach $displaystyle B}$ , fa $\$ $displaystyle f_ {2}}$ to transformata Fouriera sygnału i $2$ ${\ Displaystyle ^ {*}}$ oznacza złożony koniugat. Transformata Fouriera jest wielkością zespoloną, podobnie jak bispektrum. Ze złożonego mnożenia wielkość bispektrum jest równa iloczynowi wielkości każdego ze składowych częstotliwości, a faza bispektrum jest sumą faz każdego ze składowych częstotliwości.

Załóżmy, że trzy składniki Fouriera ${\ Displaystyle F (f_ {1})}$ , ${\ Displaystyle F (f_ {2})}$ i ${\ displaystyle F(f_{1}+f_{2})}$ były idealnie zsynchronizowane fazowo. Wtedy, jeśli transformata Fouriera została obliczona kilka razy z różnych części szeregu czasowego, bispektrum zawsze będzie miało tę samą wartość. Jeśli dodamy do siebie wszystkie bispektry, sumują się one bez anulowania. Z drugiej strony załóżmy, że fazy każdej z tych częstotliwości były przypadkowe. Wtedy bispektrum będzie miało tę samą wielkość (zakładając, że wielkość składowych częstotliwości jest taka sama), ale faza będzie zorientowana losowo. Zsumowanie wszystkich bispektrów spowoduje anulowanie ze względu na losową orientację faz, a więc suma bispektrów będzie miała małą wielkość. Wykrywanie sprzężenia faz wymaga zsumowania kilku niezależnych próbek – to jest pierwsza motywacja do zdefiniowania bicoherencji. Po drugie, bispektrum nie jest znormalizowane, ponieważ nadal zależy od wielkości każdej ze składowych częstotliwości. Bikoherencja zawiera współczynnik normalizacji, który usuwa zależność od wielkości.

Istnieje pewna niespójność z definicją stałej normalizacji bikoherencji. Niektóre definicje, które zostały użyte, to

{\ Displaystyle b (f_ {1}, f_ {2}) = {\ Frac {\ lewo | \ suma \ limity _ {n} F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2 })F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sqrt {\sum \limits _{n}|F_{n}(f_{1})|^ {2}|F_{n}(f_{2})|^{2}|F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}}}}}

który został dostarczony w Sigl i Chamoun 1994, ale nie wydaje się być prawidłowo znormalizowany. Alternatywnie, zwykle używa się fizyki plazmy

{\ Displaystyle b ^ {2} (f_ {1}, f_ {2}) = {\ Frac {| \ langle F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2}) F_ {n}^{*}(f_{1}+f_{2})\rangle |^{2}}{\langle |F_{n}(f_{1})F_{n}(f_{2}) |^{2}\rangle \langle |F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|^{2}\rangle }}}

gdzie nawiasy ostrokątne oznaczają uśrednianie. Zauważ $,$ że jest to to samo, co użycie sumy, ponieważ i mianownik są takie same. Ta definicja pochodzi bezpośrednio z Nagashimy 2006 i jest również przywoływana w He 2009 i Maccarone 2005.

Wreszcie, jedna z najbardziej intuicyjnych definicji pochodzi z Hagihira 2001 i Hayashi 2007, która jest

{\ Displaystyle b (f_ {1}, f_ {2}) = {\ Frac {\ lewo | \ suma \ limity _ {n} F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2} )F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})\right|}{\sum \limits_{n}|F_{n}(f_{1})F_{n}(f_ {2})F_{n}^{*}(f_{1}+f_{2})|}}}

Licznik zawiera wielkość bispektrum zsumowaną ze wszystkich segmentów szeregów czasowych. Ta wielkość jest duża, jeśli występuje sprzężenie faz i zbliża się do 0 w granicy losowych faz. Mianownik, który normalizuje bispektrum, jest podawany przez obliczenie bispektrum po ustawieniu wszystkich faz na 0. Odpowiada to przypadkowi idealnego sprzężenia fazowego, ponieważ wszystkie próbki mają fazę zerową. Dlatego bikoherencja ma wartość między 0 (losowe fazy) a 1 (całkowite sprzężenie faz).

Zobacz też

Koherencja (przetwarzanie sygnału)

Hagihira, S., Takashina, M., Mori, T., Mashimo, T. i Yoshiya, I. (2001). Praktyczne zagadnienia analizy bispektralnej sygnałów elektroencefalograficznych. Znieczulenie i analgezja, 93(4), 966-970. Pobrane z http://www.ansthetic-analgesia.org/content/93/4/966.abstract
Hayashi, K., Tsuda, N., Sawa, T. i Hagihira, S. (2007). Ketamina zwiększa częstość piku bikoherencji elektroencefalograficznej w obszarze wrzeciona alfa indukowanego propofolem. British Journal of Anestezja, 99(3), 389-95. doi:10.1093/bja/aem175
Nagashima, Y., Itoh, K., Itoh, S.-I., Hoshino, K., Fujisawa, A., Ejiri, A., Takase, Y., et al. (2006). Obserwacja spójnej bikoherencji i dwufazowości w potencjalnych fluktuacjach wokół częstotliwości geodezyjnego trybu akustycznego na JFT-2M. Fizyka plazmy i kontrolowana synteza jądrowa, 48 (5A), A377-A386. doi:10.1088/0741-3335/48/5A/S38
On, H. (2009). Kanoniczna bikoherencja - €” Część I: definicja, oszacowanie wielostożkowe i statystyki. Przetwarzanie sygnału, transakcje IEEE, 57(4), 1273-1284. Pobrane z http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274
Maccarone, TJ i Schnittman, JD (2004). Bikoherencja jako diagnostyka modeli oscylacji quasi-okresowych o wysokiej częstotliwości. Miesięczne zawiadomienia Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego , 357 (1), 12-16. doi:10.1111/j.1365-2966.2004.08615.x
Mendla JM. „Samouczek dotyczący statystyk wyższego rzędu (widm) w przetwarzaniu sygnałów i teorii systemów: wyniki teoretyczne i niektóre zastosowania”. Postępowanie IEEE , 79 , 3, 278-305
MJ Hinich, „Testowanie Gaussa i liniowości stacjonarnego szeregu czasowego”, Journal of Time Series Analysis 3 (3), 1982, s. 169–176.
HOSA — Zestaw narzędzi do analizy spektralnej wyższego rzędu . (oprogramowanie typu shareware dla komputerów osobistych typu Microsoft Windows).
Sigl, JC i NG Chamoun. 1994. Wprowadzenie do analizy bispektralnej elektroencefalogramu. Journal of Clinical Monitoring 10:392-404.
TH Bullock, JZ Achimowicz i in. , „Bicoherencja wewnątrzczaszkowego EEG podczas czuwania, snu i napadów”, Journal of Clinical Neurophysiology and EEG, 1997, tom 231, s. 130–142.
JL Shils, M. Litt, BE Skolnick, MM Stecker, „Bispektralna analiza interakcji wzrokowych u ludzi”, Elektroencefalografia i neurofizjologia kliniczna, 1996;98:113-125.