Bispektrum

W matematyce , w obszarze analizy statystycznej , bispektrum jest statystyką używaną do wyszukiwania interakcji nieliniowych.

Definicje

Transformata Fouriera kumulanty drugiego rzędu , czyli funkcja autokorelacji , jest tradycyjnym widmem mocy .

Transformata Fouriera C ₃ ( t ₁ , t _{2 ) (funkcja tworząca} kumulanty trzeciego rzędu ) nazywana jest bispektrum lub gęstością bispektralną .

Obliczenie

Zastosowanie twierdzenia o splotach pozwala na szybkie obliczenie bispektrum : ${\ Displaystyle B (f_ {1} f_ {2}) = F (f_ {1}) \ cdot F (f_ {2}) \ cdot F ^ {*} (f_ {1} + f_ {2})} , gdzie fa {\$ Displaystyle $} oznacza transformatę$ $koniugat$ sygnału i jego

Aplikacje

Bispektrum i bikoherencja mogą być stosowane w przypadku nieliniowych oddziaływań ciągłego widma fal rozchodzących się w jednym wymiarze.

EEG wykonano pomiary bispektralne . Wykazano również, że bispektra charakteryzują różnice między rodzinami instrumentów muzycznych.

W sejsmologii sygnały rzadko mają odpowiedni czas trwania, aby dokonać sensownych szacunków bispektralnych na podstawie średnich czasowych. ^{[ potrzebne źródło ]}

Analiza bispektralna opisuje obserwacje wykonane przy dwóch długościach fali. Jest często używany przez naukowców do analizowania składu pierwiastków atmosfery planetarnej poprzez analizę ilości światła odbitego i otrzymanego przez różne filtry kolorów . Łącząc i usuwając dwa filtry, można wiele uzyskać z zaledwie dwóch filtrów. Dzięki nowoczesnej skomputeryzowanej interpolacji można utworzyć trzeci wirtualny filtr w celu odtworzenia prawdziwych kolorowych zdjęć, które, choć nie są szczególnie przydatne do analizy naukowej, są popularne do publicznego wyświetlania w podręcznikach i kampaniach zbierania funduszy. ^{[ potrzebne źródło ]}

Analizę bispektralną można również wykorzystać do analizy interakcji między wzorami fal i pływami na Ziemi.

Forma analizy bispektralnej zwana indeksem bispektralnym jest stosowana do krzywych EEG w celu monitorowania głębokości znieczulenia.

Biphase (faza polispektrum) może być wykorzystana do wykrywania sprzężeń fazowych, redukcji szumów analizy sygnałów polharmonicznych (zwłaszcza mowy).

Uogólnienia

Bispektry należą do kategorii widm wyższego rzędu lub polispektrów i dostarczają dodatkowych informacji do widma mocy. Polispektrum trzeciego rzędu (bispektrum) jest najłatwiejsze do obliczenia, a przez to najbardziej popularne.

Analogicznie zdefiniowaną statystyką jest koherencja bispektralna lub bicoherencja .

Trispektrum

Transformata Fouriera C4 (t1, t2, t3) (funkcja generująca kumulanty czwartego rzędu) nazywana jest trispektrum lub gęstością trispektralną .

Trispektrum T(f1,f2,f3) należy do kategorii widm wyższego rzędu lub polispektrów i dostarcza dodatkowych informacji do widma mocy. Trispectrum to konstrukcja trójwymiarowa. Symetrie trispektrum pozwalają na zdefiniowanie znacznie zredukowanego zestawu podpór, zawartego w następujących wierzchołkach, gdzie 1 to częstotliwość Nyquista . (0,0,0) (1/2,1/2,-1/2) (1/3,1/3,0) (1/2,0,0) (1/4,1/4, 1/4). Płaszczyzna zawierająca punkty (1/6,1/6,1/6) (1/4,1/4,0) (1/2,0,0) dzieli tę objętość na obszar wewnętrzny i zewnętrzny. Stacjonarny sygnał będzie miał zerową siłę (statystycznie) w obszarze zewnętrznym. Podłoże trispektrum jest podzielone na regiony przez płaszczyznę określoną powyżej i płaszczyznę (f1,f2). Każdy region ma inne wymagania co do szerokości pasma sygnału wymaganego dla wartości niezerowych.

skośności sygnału jako funkcję potrójnych częstotliwości, trispektrum identyfikuje udziały w kurtozie sygnału jako funkcję kwadrupletów częstotliwości.

Trispektrum zostało wykorzystane do zbadania dziedzin stosowalności estymacji maksymalnej fazy kurtozy stosowanej w dekonwolucji danych sejsmicznych w celu znalezienia struktury warstw.

Dalsza lektura

Mendla JM (1991). „Samouczek dotyczący statystyk wyższego rzędu (widm) w przetwarzaniu sygnałów i teorii systemów: wyniki teoretyczne i niektóre zastosowania”. proc. IEEE . 79 (3): 278–305. doi : 10.1109/5.75086 .
HOSA - Higher Order Spectral Analysis Toolbox : Zestaw narzędzi MATLAB do analizy widmowej i polispektralnej oraz rozkładów czasowo-częstotliwościowych. Dokumentacja wyjaśnia polyspectra bardzo szczegółowo.