Proces ergodyczny

W fizyce , statystyce , ekonometrii i przetwarzaniu sygnałów mówi się, że proces stochastyczny jest w reżimie ergodycznym , jeśli średnia zespołu obserwowalnego jest równa średniej czasowej. W tym reżimie każdy zbiór losowych próbek z procesu musi reprezentować średnie właściwości statystyczne całego reżimu. I odwrotnie, mówi się, że proces, który nie jest w reżimie ergodycznym, jest w reżimie nieergodycznym.

Konkretne definicje

Można dyskutować nad ergodycznością różnych statystyk procesu stochastycznego. Na przykład szeroko rozumiany proces stacjonarny ma stałą średnią ${\ Displaystyle X (t)}$

{\ Displaystyle \ mu _ {X} = E [X (t)]}

,

i autokowariancja

{\ Displaystyle r_ {X} (\ tau) = E [(X (t) - \ mu _{X})(X(t+\tau )-\mu _{X})]}

,

zależy to tylko od opóźnienia $a$ nie $czasu$ . Właściwości i są średnimi zespołowymi (obliczanymi na podstawie wszystkich możliwych funkcji próbki $),$ ${\ displaystyle r_ {X}$ $\$ } nie średnie czasowe .

proces jest średnio-ergodyczny lub średnio-kwadratowy ergodyczny w pierwszej chwili, jeśli oszacowanie średniej w czasie ${\ Displaystyle X (t)}$

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mu}} _ {X} = {\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} X(t)\,dt}

zbiega się w średniej kwadratowej do średniej zespołu jako ${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$ $\ mu _ {X}$ }

Podobnie mówi się, że proces jest autokowariancji-ergodyczny lub moment d, jeśli oszacowanie średniej czasu

{\ Displaystyle {\ kapelusz {r}} _ {X} (\ tau )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}[X(t+\tau )-\mu _{X}][X(t)-\mu _{X}] \,dt}

zbiega się w średniej kwadratowej do średniej zespołowej ${\ Displaystyle r_ {X} (\ tau)}$ , jak ${\ Displaystyle T \ rightarrow \ infty}$ . Proces, który jest ergodyczny w średniej i autokowariancji, jest czasem nazywany ergodycznym w szerokim znaczeniu .

Procesy losowe w czasie dyskretnym

Pojęcie ergodyczności odnosi się również do procesów losowych w czasie dyskretnym $liczby$ całkowitej $n$ .

Proces losowy w czasie dyskretnym jest średnio ergodyczny, jeśli ${\ Displaystyle X [n]}$

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mu}} _ {X} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {n = 1} ^ {N}X[n]}

zbiega się w średniej kwadratowej do średniej zespołu mi $\ Displaystyle E [X]}$ , jak ${\ Displaystyle N \ rightarrow \ infty}$ .

Przykłady

Ergodyczność oznacza, że średnia zespołowa jest równa średniej czasowej. Poniżej przedstawiono przykłady ilustrujące tę zasadę.

Centrum telefoniczne

Każdy operator w call center spędza czas na przemian rozmawiając i słuchając telefonu oraz robiąc przerwy między rozmowami. Każda przerwa i każde wezwanie mają różną długość, podobnie jak czas trwania każdego „wybuchu” mówienia i słuchania, a także szybkość mowy w danym momencie, z których każdy można modelować jako proces losowy.

Weź N operatorów call center ( N powinno być bardzo dużą liczbą całkowitą) i wykreśl liczbę słów wypowiedzianych na minutę przez każdego operatora w długim okresie (kilka zmian). Dla każdego operatora będziesz mieć serię punktów, które można połączyć liniami, aby utworzyć „przebieg”.
Oblicz średnią wartość tych punktów na przebiegu; daje to średnią czasu .
Istnieje N przebiegów i N operatorów. Te N są znane jako zespół .
Weźmy teraz określony moment czasu we wszystkich tych przebiegach i znajdź średnią wartość liczby słów wypowiedzianych na minutę. To daje średnią zespołu dla tej chwili.
Jeśli średnia zespołowa jest zawsze równa średniej czasowej, to system jest ergodyczny.

Elektronika

Z każdym rezystorem związany jest szum termiczny zależny od temperatury. Weź N rezystorów ( N powinno być bardzo duże) i wykreśl napięcie na tych rezystorach przez długi czas. Dla każdego rezystora będziesz miał przebieg. Oblicz średnią wartość tego przebiegu; daje to średnią czasu. Istnieje N przebiegów, ponieważ istnieje N rezystorów. Te N działek są znane jako zespół. Teraz weź określony moment czasu na wszystkich tych wykresach i znajdź średnią wartość napięcia. Daje to średnią zespołową dla każdego wykresu. Jeśli średnia zespołowa i średnia czasowa są takie same, to jest ona ergodyczna.

Przykłady nieergodycznych procesów losowych

Bezstronny spacer losowy jest nieergodyczny. Jego wartość oczekiwana przez cały czas wynosi zero, podczas gdy średnia w czasie jest zmienną losową o rozbieżnej wariancji.

Załóżmy, że mamy dwie monety: jedna moneta jest uczciwa, a druga ma dwie reszki. Najpierw wybieramy (losowo) jedną z monet , a następnie wykonujemy sekwencję niezależnych rzutów wybraną przez nas monetą. Niech X [ n ] oznacza wynik n -tego rzutu, gdzie 1 to orzeł, a 0 reszka. Wtedy średnia zespołowa wynosi 1 ⁄ 2 ( 1 ⁄ 2 + 1) = 3 ⁄ 4 ; jednak średnia długoterminowa wynosi 1 ⁄ 2 dla monety uczciwej i 1 dla monety dwugłowej. Tak więc długoterminowa średnia czasowa wynosi 1/2 lub 1. Dlatego ten losowy proces nie jest średnio ergodyczny.

Zobacz też

Hipoteza ergodyczna
Ergodyczność
Teoria ergodyczna , gałąź matematyki zajmująca się bardziej ogólnym sformułowaniem ergodyczności
Paradoks Loschmidta
Twierdzenie Poincarégo o powtarzalności

Notatki

Porat, B. (1994). Cyfrowe przetwarzanie losowych sygnałów: teoria i metody . Sala Prentice'a. P. 14. ISBN 0-13-063751-3 .
Papoulis, Atanazy (1991). Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne . Nowy Jork: McGraw-Hill. s. 427–442. ISBN 0-07-048477-5 .