Wariancja Allana

Zegar można najłatwiej przetestować, porównując go ze znacznie dokładniejszym zegarem referencyjnym. Podczas przedziału czasu τ , mierzonego przez zegar wzorcowy, testowany zegar przyspiesza o τy , gdzie y jest średnią (względną) częstotliwością zegara w tym przedziale. Jeśli zmierzymy dwa kolejne interwały, jak pokazano, możemy otrzymać wartość ( y − y ′) ² — mniejsza wartość wskazuje na bardziej stabilny i precyzyjny zegar. Jeśli powtórzymy tę procedurę wiele razy, średnia wartość ( y − y ′) ² jest równa dwukrotności wariancji Allana (lub kwadratu odchylenia Allana) dla czasu obserwacji τ .

Wariancja Allana ( AVAR ), znana również jako wariancja dwóch próbek , jest miarą stabilności częstotliwości w zegarach , oscylatorach i wzmacniaczach . Jej nazwa pochodzi od Davida W. Allana i jest wyrażona matematycznie jako ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}$ . Odchylenie Allana ( ADEV ), znane również jako sigma-tau , jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji Allana . ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau)}$ .

Wariancja M-próbki jest miarą stabilności częstotliwości przy użyciu M próbek, czasu $obserwacji$ między pomiarami i czasu . M – wariancja próbki jest wyrażona jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T, \ tau).}$

Wariancja Allana ma na celu oszacowanie stabilności spowodowanej procesami szumowymi, a nie błędami systematycznymi lub niedoskonałościami, takimi jak dryft częstotliwości lub wpływ temperatury. Wariancja Allana i odchylenie Allana opisują stabilność częstotliwości. Zobacz także sekcję Interpretacja wartości poniżej.

Istnieją również różne adaptacje lub zmiany wariancji Allana, w szczególności zmodyfikowana wariancja Allana MAVAR lub MVAR, wariancja całkowita i wariancja Hadamarda. Istnieją również warianty stabilności czasowej, takie jak odchylenie czasu (TDEV) lub wariancja czasu (TVAR). Wariancja Allana i jej warianty okazały się przydatne poza pomiarem czasu i stanowią zestaw ulepszonych narzędzi statystycznych do wykorzystania, gdy procesy szumu nie są bezwarunkowo stabilne, a zatem istnieje pochodna.

Ogólna wariancja M -próbki pozostaje ważna, ponieważ pozwala na czas martwy w pomiarach, a funkcje odchylenia umożliwiają konwersję na wartości wariancji Allana. Niemniej jednak w większości zastosowań najbardziej interesujący jest szczególny przypadek 2-próbki lub „wariancji Allana” z ${\ displaystyle T = \ tau} .$

Przykładowy wykres odchylenia Allana zegara. Przy bardzo krótkim czasie obserwacji τ odchylenie Allana jest duże z powodu szumu. Przy dłuższym τ maleje, ponieważ szum uśrednia się. Przy jeszcze dłuższym τ odchylenie Allana zaczyna ponownie rosnąć, co sugeruje, że częstotliwość zegara stopniowo dryfuje z powodu zmian temperatury, starzenia się komponentów lub innych podobnych czynników. Słupki błędów zwiększają się wraz z τ po prostu dlatego, że uzyskanie wielu punktów danych dla dużego τ jest czasochłonne .

Tło

Podczas badania stabilności oscylatorów kwarcowych i zegarów atomowych stwierdzono, że nie mają one szumu fazowego składającego się tylko z szumu białego , ale także szumu o częstotliwości migotania . Te formy szumu stają się wyzwaniem dla tradycyjnych narzędzi statystycznych, takich jak odchylenie standardowe , ponieważ estymator nie będzie zbieżny. Mówimy więc, że szum jest rozbieżny. Wczesne próby analizy stabilności obejmowały zarówno analizę teoretyczną, jak i pomiary praktyczne.

Ważną konsekwencją uboczną występowania tego typu szumów było to, że różne metody pomiarów nie zgadzały się ze sobą, nie można było osiągnąć kluczowego aspektu powtarzalności pomiaru. Ogranicza to możliwość porównywania źródeł i tworzenia sensownych specyfikacji wymaganych od dostawców. Zasadniczo wszystkie formy zastosowań naukowych i komercyjnych były wówczas ograniczone do dedykowanych pomiarów, które, miejmy nadzieję, uwzględniłyby zapotrzebowanie na tę aplikację.

Aby rozwiązać te problemy, David Allan wprowadził wariancję M -próbki i (pośrednio) wariancję dwóch prób. Chociaż wariancja dwóch próbek nie pozwalała całkowicie rozróżnić wszystkich rodzajów szumu, zapewniła środki do znaczącego oddzielenia wielu form szumu na potrzeby szeregów czasowych pomiarów fazy lub częstotliwości między dwoma lub większą liczbą oscylatorów. Allan dostarczył metodę konwersji między dowolną M -próbki na dowolną wariancję N -próbki poprzez wspólną wariancję 2-próbek, dzięki czemu wszystkie wariancje M -próbek są porównywalne. Mechanizm konwersji udowodnił również, że wariancja M -próbek nie jest zbieżna dla dużych M , co czyni je mniej użytecznymi. IEEE później zidentyfikował wariancję 2-próbkową jako preferowaną miarę.

Wczesny problem dotyczył przyrządów do pomiaru czasu i częstotliwości, które miały czas martwy między pomiarami. Taka seria pomiarów nie tworzyła ciągłej obserwacji sygnału, a tym samym wprowadzała systematyczne obciążenie do pomiaru. Oszacowaniu tych odchyleń poświęcono wiele uwagi. Wprowadzenie liczników zerowego czasu martwego wyeliminowało tę potrzebę, ale narzędzia do analizy obciążenia okazały się przydatne.

Inny wczesny aspekt budzący niepokój dotyczył wpływu szerokości pasma instrumentu pomiarowego na pomiar, tak że należało to odnotować. Później stwierdzono, że algorytmiczna zmiana obserwacji $wpłynie$$wartości pozostaną niezmienione.$ na niskie Zmianę $można$ wykonać, pozwalając, aby była to wielokrotność liczby całkowitej $:$ czasu pomiaru: $\ displaystyle \ tau$ }

${\ Displaystyle \ tau = n \ tau _ {0}.}$

Fizyka oscylatorów kwarcowych została przeanalizowana przez DB Leesona, a wynik jest obecnie określany jako równanie Leesona . Sprzężenie zwrotne w oscylatorze sprawi, że $f ^ {- 2}} odpowiednio$ szum i szum migotania wzmacniacza sprzężenia zwrotnego i kryształu staną się potęgowymi białego szumu częstotliwości i $^{-3}}$$\ displaystyle$ szum częstotliwości migotania. Te formy szumu powodują, że wariancji standardowej nie osiąga zbieżności podczas przetwarzania próbek z błędem czasowym. Ta mechanika oscylatorów ze sprzężeniem zwrotnym była nieznana, gdy rozpoczynano prace nad stabilnością oscylatora, ale została przedstawiona przez Leesona w tym samym czasie, gdy zestaw narzędzi statystycznych został udostępniony przez Davida W. Allana . Bardziej szczegółową prezentację efektu Leesona można znaleźć we współczesnej literaturze dotyczącej szumu fazowego.

Interpretacja wartości

Wariancję Allana definiuje się jako połowę średniej czasowej kwadratów różnic między kolejnymi odczytami odchylenia częstotliwości próbkowanych w okresie próbkowania. Wariancja Allana zależy od okresu czasu używanego między próbkami, dlatego jest funkcją okresu próbkowania, zwykle oznaczanego jako τ , podobnie jak mierzony rozkład, i jest wyświetlana jako wykres, a nie pojedyncza liczba. Niska wariancja Allana jest cechą zegara o dobrej stabilności w mierzonym okresie.

Odchylenie Allana jest szeroko stosowane do wykresów (konwencjonalnie w formacie log-log ) i prezentacji liczb. Jest to korzystne, ponieważ zapewnia względną stabilność amplitudy, umożliwiając łatwe porównanie z innymi źródłami błędów.

Odchylenie Allana wynoszące 1,3 × 10-9 w czasie obserwacji 1 s (tj. τ = 1 s) należy interpretować jako niestabilność częstotliwości między dwiema obserwacjami oddalonymi o 1 sekundę przy względnej ^wartości średniej kwadratowej (RMS) równej 1,3 × 10-9 . ^_ W przypadku zegara 10 MHz byłoby to równoważne ruchowi RMS 13 MHz. Jeśli wymagana jest stabilność fazowa oscylatora, należy skonsultować i zastosować warianty odchylenia czasu .

Można przekształcić wariancję Allana i inne wariancje w dziedzinie czasu na miary czasu (fazy) i stabilności częstotliwości w dziedzinie częstotliwości.

Definicje

M - wariancja próby

Wariancja próbki jest zdefiniowana (tutaj w zmodernizowanej formie notacji) jako ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T, \ tau) = {\ Frac {1} {M-1} }\left\{\suma _{i=0}^{M-1}\left[{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2} -{\frac {1}{M}}\left[\suma _{i=0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\ prawo]^{2}\prawo\},}$

gdzie jest odczytem $Displaystyle x ( t)}$ mierzonym w czasie lub z szeregami czasowymi o średniej częstotliwości ułamkowej $( t ) {\$

${\ Displaystyle \ sigma _ { y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {1}{M-1}}\left\{\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y }}_{i}^{2}-{\frac {1}{M}}\left[\suma _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\ prawo]^{2}\prawo\},}$

gdzie $to$ liczba próbek częstotliwości używanych w wariancji, $to$$czas$ każdą próbką częstotliwości, a to czasu każdego oszacowania częstotliwości

Ważnym aspektem jest to, że $przykładowy$$był$ czas martwy, pozwalając, aby czas niż $.$

$}}$ , który sprawia, że ​​​​powiązanie z typowym wzorem wariancji próbki jest bardziej wyraźny, uzyskuje się przez pomnożenie $przez$ { $\ displaystyle M}$ i podzielenie 2 terminów w nawiasach klamrowych przez ${\ displaystyle M}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {y} ^ {2} (M, T ,\tau )&={\frac {M}{M-1}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}\left[{ \frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}-{\frac {1}{M^{2}}}\left[\suma _{i =0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}\right\}\\[5pt]&={\ frac {M}{M-1}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}\left[{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\right]^{2}\right\}\end{wyrównane}}}$

Teraz współczynnik można zinterpretować jako poprawkę Bessela do obciążonej $,$ próbki wewnątrz nawiasów klamrowych w ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [X ^ {2}] - \ nazwa operatora {E} [X] ^ {2}}$ .

Wariancja Allana

Wariancja Allana jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ { 2}(2,\tau ,\tau )\prawo\rangle ,}$

gdzie $_$ . Można to wygodnie wyrazić jako

${\ Displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar { y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_ {n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle ,}$

gdzie ${\ displaystyle \ tau}$ to okres obserwacji, to n- ta ułamkowa średnia częstotliwości $tau$ obserwacji ${\ displaystyle \$ .

Próbki są pobierane bez przerwy między nimi, co osiąga się poprzez puszczenie

${\ displaystyle T = \ tau.}$

Odchylenie Allana

Podobnie jak w przypadku odchylenia standardowego i wariancji , odchylenie Allana definiuje się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji Allana:

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau) = {\ sqrt {\ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}}.}$

Definicje wspierające

Model oscylatora

Zakłada się, że analizowany oscylator jest zgodny z podstawowym modelem

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} \ sin (\ Phi (t)).}$

$, że$ ma nominalną częstotliwość podaną w cyklach na sekundę (jednostka SI: herc . Nominalna częstotliwość kątowa (w radianach na sekundę) jest określona przez ${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {n}}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {\ tekst {n}} = 2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}}.}$

Całkowitą fazę można podzielić na doskonale cykliczny składnik $}$ wraz ze składnikiem fluktuującym: $\ omega _ {\ tekst {n}}$ t

${\ Displaystyle \ Phi (t) = \ omega _ {\ tekst {n}} t + \ varphi (t) = 2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}} t + \ varphi (t).}$

Błąd czasu

Funkcja błędu czasowego x ( t ) jest różnicą między oczekiwanym czasem nominalnym a rzeczywistym czasem normalnym:

${\ Displaystyle x (t) = {\ Frac {\ varphi (t)} {2 \ pi \ nu _ {\ tekst {n}}}} = {\ Frac {\ Phi (t)} {2 \ pi \ nu _{\tekst{n}}}}-t=T(t)-t.}$

Dla wartości mierzonych szereg błędów czasowych TE( t ) jest definiowany na podstawie funkcji czasu odniesienia T _ref ( t ) jako

${\ Displaystyle TE (t) = T (t) -T _ {\ tekst {ref}} (t).}$

Funkcja częstotliwości

Funkcja częstotliwości to częstotliwość w czasie, zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ nu (t)}$

${\ Displaystyle \ nu (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} {\ Frac {d \ Phi (t)} {dt}}.}$

Częstotliwość ułamkowa

Częstotliwość ułamkowa y ( t $n}}$ to znormalizowana różnica między częstotliwością $Displaystyle \ nu _ {\ tekst$ częstotliwością nominalną }

${\ Displaystyle y (t) = {\ Frac {\ nu (t) - \ nu _ {\ tekst {n }}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

Średnia częstotliwość ułamkowa

Średnia częstotliwość ułamkowa jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ bar {y}} (t, \ tau) = {\ Frac {1} {\ tau} }\int _{0}^{\tau}y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

gdzie średnia jest przejęta przez czas obserwacji τ , y ( t ) jest ułamkowym błędem częstotliwości w czasie t , a τ jest czasem obserwacji.

Ponieważ y ( t ) jest pochodną x ( t ), możemy bez utraty ogólności przepisać ją jako

${\ Displaystyle {\ bar {y}} (t, \ tau) = {\ Frac {x (t + \ tau) -x (t)} {\ tau}}.}$

estymatory

Definicja ta opiera się na statystycznej wartości oczekiwanej , całkującej w nieskończonym czasie. Rzeczywista sytuacja nie pozwala na takie szeregi czasowe, w takim przypadku należy zamiast tego użyć estymatora statystycznego. Przedstawionych i omówionych zostanie szereg różnych estymatorów.

Konwencje

• Liczba próbek częstotliwości w szeregu o częstotliwości ułamkowej jest oznaczona przez M .
• Liczba próbek błędu czasowego w szeregu błędów czasowych jest oznaczona przez N .

  Zależność między liczbą próbek o częstotliwości ułamkowej a szeregami błędów czasowych jest ustalona w zależności

  ${\ Displaystyle N = M + 1.}$

• W przypadku serii próbek z błędem czasowym x _i oznacza i -tą próbkę ciągłej funkcji czasu x ( t ) podanej przez

  ${\ Displaystyle x_ {i} = x (iT)}$

  gdzie T to czas między pomiarami. Dla wariancji Allana używany czas ma T ustawiony na czas obserwacji τ .

  ₀ Seria próbek z błędem czasowym niech N oznacza liczbę próbek ( x ... x _{N -1} ) w serii. Tradycyjna konwencja używa indeksu od 1 do N .
• Dla serii próbek $-tą$ ciągłej częstotliwości ułamkowej oznacza i średniej ciągłej funkcji częstotliwości ułamkowej y ( t określonej przez

  ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ bar {y}} (Ti, \ tau)}, co$

  daje

  ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} y (iT + t_ {v}) \, dt_ { v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.}$

  Dla założenia wariancji Allana, że ​​T jest τ , staje się

  ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {x_ {i + 1} -x_ {i}} {\ tau}}.} Średnia seria próbek o ułamkowej$

  częstotliwości pozwala M oznaczać liczbę próbek ( ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {0} \ ldots {\ bar {y}} _ {M-1}} )$ w serii. Tradycyjna konwencja używa indeksu od 1 do M . W skrócie, średnia częstotliwość ułamkowa jest często zapisywana bez średniego słupka nad nią. Jest to jednak formalnie niepoprawne, ponieważ częstotliwość ułamkowa i średnia częstotliwość ułamkowa to dwie różne funkcje. Przyrząd pomiarowy, który jest w stanie generować oszacowania częstotliwości bez czasu martwego, w rzeczywistości dostarczy szereg czasowy uśrednionej częstotliwości, który wystarczy tylko przekonwertować na średnią częstotliwość ułamkową , a następnie można go użyć bezpośrednio.
• Czas pomiędzy pomiarami oznaczany jest przez T , który jest sumą czasu obserwacji τ i czasu martwego.

Stałe estymatory τ

Pierwszym prostym estymatorem byłoby bezpośrednie przetłumaczenie definicji na

${\ Displaystyle \ sigma _ { y}^{2}(\tau ,M)=\nazwa operatora {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{ M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

lub dla szeregu czasowego:

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau, N) = \ nazwa operatora {AVAR} (\ tau, N) = {\ Frac {1} {2 \ tau ^ {2} (N-2 )}}\suma _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

₀ Te wzory dostarczają jednak tylko obliczeń dla przypadku τ = τ . Aby obliczyć dla innej wartości τ , należy podać nowy szereg czasowy.

Nienakładające się estymatory τ zmiennych

₀ Biorąc szereg czasowy i pomijając n - 1 próbek, pojawiłby się nowy (krótszy) szereg czasowy z τ jako czasem między sąsiednimi próbkami, dla którego wariancję Allana można by obliczyć za pomocą prostych estymatorów. Można by je zmodyfikować, aby wprowadzić nową zmienną n, tak że nie trzeba byłoby generować nowych szeregów czasowych, ale raczej można by ponownie wykorzystać oryginalne szeregi czasowe dla różnych wartości n . Stają się estymatory

${\ styl wyświetlania \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\nazwa operatora {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\ frac {M-1}{n}}}}\suma _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni +n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

z ${\ Displaystyle n \ równoważnik M-1}$ ,

oraz dla szeregów czasowych:

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = \ nazwa operatora {AVAR} (n \ tau _ {0} ,N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2 }}$

z ${\ Displaystyle n \ równoważnik {\ Frac {N-1} {2}}}$ .

Te estymatory mają istotną wadę polegającą na tym, że pomijają znaczną ilość danych z próbek, ponieważ wykorzystywana jest tylko 1/ n dostępnych próbek.

Estymatory τ nakładających się zmiennych

Technika zaprezentowana przez JJ Snydera zapewniła ulepszone narzędzie, ponieważ pomiary nakładały się na siebie w n nakładających się seriach z oryginalnej serii. Nakładający się estymator wariancji Allana został wprowadzony przez Howe'a, Allana i Barnesa. Można to wykazać jako równoważne z uśrednianiem czasu lub znormalizowanych próbek częstotliwości w blokach n próbek przed przetwarzaniem. Wynikowy predyktor staje się

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\nazwa operatora {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}( M-2n+1)}}\suma _{j=0}^{M-2n}\left(\suma _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{ i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left( {\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{wyrównane}}}$

lub dla szeregu czasowego:

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (n \ tau _ {0}, N) = \ nazwa operatora {AVAR} (n \ tau _ {0}, N) = {\ Frac {1} {2n ^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\suma _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n }+x_{i})^{2}.}$

Nakładające się estymatory mają znacznie lepszą wydajność niż estymatory nienakładające się, ponieważ n rośnie, a szeregi czasowe mają umiarkowaną długość. Nakładające się estymatory zostały zaakceptowane jako preferowane estymatory wariancji Allana w standardach IEEE, ITU-T i ETSI dla porównywalnych pomiarów, takich jak potrzebne do kwalifikacji telekomunikacyjnej.

Zmodyfikowana wariancja Allana

Aby rozwiązać problem niemożności oddzielenia modulacji fazy białej od modulacji fazy migotania przy użyciu tradycyjnych estymatorów wariancji Allana, filtrowanie algorytmiczne zmniejsza szerokość pasma o n . To filtrowanie zapewnia modyfikację definicji i estymatorów i teraz identyfikuje jako oddzielną klasę wariancji zwaną zmodyfikowaną wariancją Allana . Zmodyfikowana miara wariancji Allana jest miarą stabilności częstotliwości, podobnie jak wariancja Allana.

Estymatory stabilności czasowej

stabilności czasowej (σ _x ), często nazywana odchyleniem czasowym (TDEV), może być obliczona ze zmodyfikowanego odchylenia Allana (MDEV). TDEV opiera się na MDEV zamiast na oryginalnym odchyleniu Allana, ponieważ MDEV może rozróżniać modulację fazy bieli i migotania (PM). Poniżej przedstawiono oszacowanie wariancji czasowej na podstawie zmodyfikowanej wariancji Allana:

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {\ tau ^ {2}} {3} }{\bmod {\sigma}}_{y}^{2}(\tau),}$

i podobnie dla zmodyfikowanego odchylenia Allana do odchylenia czasu :

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} (\ tau) = {\ Frac {\ tau} {\ sqrt {3}}} {\ bmod {\ sigma}} _ {y} (\ tau).}$

₀ TDEV jest znormalizowane tak, że jest równe odchyleniu klasycznemu dla białego PM dla stałej czasowej τ = τ . Aby zrozumieć współczynnik skali normalizacji między miarami statystycznymi, należy zastosować następującą regułę statystyczną: Dla niezależnych zmiennych losowych X i Y wariancja (σ _z ² ) sumy lub różnicy ( z = x − y ) jest kwadratem sumy ich wariancji (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). Wariancja sumy lub różnicy ( y = x _{2 τ} − x _τ ) dwóch niezależnych próbek zmiennej losowej jest dwukrotnie większa od wariancji zmiennej losowej (σ _y ² = 2σ _x ² ). MDEV jest drugą różnicą niezależnych pomiarów fazy ( x ), które mają wariancję (σ _x ² ). Ponieważ obliczenie jest podwójną różnicą, która wymaga trzech niezależnych pomiarów fazy ( x _{2 τ} - 2 x _τ + x ), zmodyfikowana wariancja Allana (MVAR) jest trzykrotnością wariancji pomiarów fazy.

Inne estymatory

Dalszy rozwój przyniósł ulepszone metody szacowania dla tej samej miary stabilności, wariancji / odchylenia częstotliwości, ale są one znane pod odrębnymi nazwami, takimi jak wariancja Hadamarda, zmodyfikowana wariancja Hadamarda, wariancja całkowita, zmodyfikowana wariancja całkowita i wariancja Theo. Wyróżniają się one lepszym wykorzystaniem statystyk w celu poprawy granic ufności lub zdolnością do radzenia sobie z liniowym dryftem częstotliwości.

Przedziały ufności i równoważne stopnie swobody

₀ Estymatory statystyczne obliczą szacunkową wartość na podstawie użytych serii próbek. Oszacowania mogą odbiegać od wartości prawdziwej, a przedział wartości, który z pewnym prawdopodobieństwem będzie zawierał wartość prawdziwą, nazywany jest przedziałem ufności . Przedział ufności zależy od liczby obserwacji w serii próbek, dominującego typu szumu i zastosowanego estymatora. Szerokość zależy również od pewności statystycznej, dla której wartości przedziału ufności tworzą ograniczony zakres, a więc od statystycznej pewności, że prawdziwa wartość mieści się w tym przedziale wartości. Dla estymatorów zmiennych τ wielokrotność τ n jest również zmienną.

Przedział ufności

Przedział ufności można ustalić za pomocą rozkładu chi-kwadrat, korzystając z rozkładu wariancji próbki :

${\ Displaystyle \ chi ^ {2} = {\ Frac {{\ tekst {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ sigma ^ {2}}}}$

gdzie s ² to wariancja naszej estymaty z próby, σ ² to prawdziwa wartość wariancji, df to stopnie swobody dla estymatora, a χ ² to stopnie swobody dla pewnego prawdopodobieństwa. Dla prawdopodobieństwa 90%, obejmującego zakres od 5% do 95% na krzywej prawdopodobieństwa, górną i dolną granicę można znaleźć za pomocą nierówności

${\ Displaystyle \ chi ^ {2} (0,05) \ równoważnik {\ Frac {{\ tekst {df}} \, s ^ ​​{2} }{\sigma ^{2}}}\równik \chi ^{2}(0,95),}$

co po przegrupowaniu dla prawdziwej wariancji staje się

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ tekst {df}} \, s ^ ​​{2}} {\ chi ^ {2} (0,95)}} \ równoważnik \ sigma ^ {2} \ równoważnik {\ frac {{\ tekst{df}}\,s^{2}}{\chi^{2}(0,05)}}.}$

Efektywne stopnie swobody

Stopnie swobody reprezentują liczbę wolnych zmiennych, które mogą przyczynić się do oszacowania. W zależności od estymatora i rodzaju szumu efektywne stopnie swobody są różne. Wzory estymatora zależne od N i n zostały znalezione empirycznie:

Wariancja Allana stopni swobody

Rodzaj hałasu	stopnie swobody
modulacja fazy białej (WPM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ kong {\ Frac {(N + 1) (N-2n)} {2 (Nn) )}}}$
modulacja fazy migotania (FPM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong \ exp \ lewo [ \left(\ln {\frac {N-1}{2n}}\ln {\frac {(2n+1)(N-1)}{4}}\right)^{-1/2}\right ]}$
modulacja częstotliwości bieli (WFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong \ lewo [{\ Frac {3 (N -1)}{2n}}-{\frac {2(N-2)}{N}}\right]{\frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}}$
modulacja częstotliwości migotania (FFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong {\ rozpocząć {przypadki} {\ frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}&n=1\\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{przypadki}} }$
modulacja częstotliwości błądzenia losowego (RWFM)	${\ Displaystyle {\ tekst {df}} \ cong {\ Frac {N-2} {n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{(N-3)^{2}}}}$

Szum potęgowy

Wariancja Allana będzie traktować różne typy szumów potęgowych w różny sposób, wygodnie umożliwiając ich identyfikację i oszacowanie ich siły. Zgodnie z konwencją szerokość systemu pomiarowego (wysoka częstotliwość narożna) jest oznaczana jako f _H .

Odpowiedź na prawo mocy wariancji Allana

Typ szumu potęgowego	Nachylenie szumu fazowego	Nachylenie szumu częstotliwości	Współczynnik mocy	szum fazowy ${\ Displaystyle S_ {x} (f)}$	wariancja Allana ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau)}$	odchylenie Allana ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} (\ tau)}$
modulacja fazy białej (WPM)	${\ displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\ displaystyle f ^ {2}}$	${\ displaystyle h_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2} \ tau ^ {2}}} h_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {3f_ {H}}} {2 \ pi \ tau}} {\ sqrt {h_ {2}}}}$
modulacja fazy migotania (FPM)	${\ displaystyle f ^ {- 1}}$	${\ displaystyle f ^ {1} = f}$	${\ displaystyle h_ {1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f}} h_ {1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau) ]-\ln 2}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau )]-\ln 2}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{1}}}}$
modulacja częstotliwości bieli (WFM)	${\ displaystyle f ^ {- 2}}$	${\ displaystyle f ^ {0} = 1}$	${\ displaystyle h_ {0}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {2}}} h_ {0}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ tau}} h_ {0}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ tau}}} {\ sqrt {h_ {0}}}}$
modulacja częstotliwości migotania (FFM)	${\ displaystyle f ^ {- 3}}$	${\ displaystyle f ^ {- 1}}$	${\ displaystyle h_ {- 1}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {3}}} h_ {- 1}}$	${\ Displaystyle 2 \ ln (2) h_ {- 1}}$	${\ Displaystyle {\ sqrt {2 \ ln (2)}} {\ sqrt {h_ {- 1}}}}$
modulacja częstotliwości błądzenia losowego (RWFM)	${\ Displaystyle f ^ {- 4}}$	${\ displaystyle f ^ {- 2}}$	${\ displaystyle h_ {- 2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2} f ^ {4}}} h_ {- 2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi ^ {2} \ tau {3}} h_ {- 2}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi {\ sqrt {2 \ tau}}} {\ sqrt {3}}} {\ sqrt {h_ {-2}}}}$

Jak znaleźć w nowoczesnych formach.

Wariancja Allana nie jest w stanie rozróżnić WPM i FPM, ale jest w stanie rozwiązać inne rodzaje szumu potęgowego. Aby rozróżnić WPM i FPM, należy zastosować zmodyfikowaną wariancję Allana .

Powyższe wzory zakładają, że

${\ Displaystyle \ tau \ gg {\ Frac {1} {2 \ pi f_ {H}}}}$

a zatem szerokość pasma czasu obserwacji jest znacznie mniejsza niż szerokość pasma instrumentów. Gdy ten warunek nie jest spełniony, wszystkie formy szumu zależą od szerokości pasma instrumentu.

mapowanie α – μ

Szczegółowe odwzorowanie modulacji fazy formy

${\ Displaystyle S_ {x} (f) = {\ Frac {1} {4 \ pi ^ {2 }}}h_{\alfa}f^{\alfa -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alfa}f^{\beta},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ beta \ równoważnik \ alfa -2,}$

lub modulacja częstotliwości postaci

${\ Displaystyle S_ {y} (f) = h _ {\ alfa} f ^ {\ alfa}}$

w wariancję Allana formy

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = K _ {\ alfa} h_ {\ alfa} \ tau ^ {\ mu}}$

można znacznie uprościć, zapewniając odwzorowanie między α i μ . Dla wygody przedstawiono również odwzorowanie między α i K _{α :}

Mapowanie wariancji Allana α – μ

α	β	μ	Kα _
−2	−4	1	${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi ^ {2}} {3}}}$
−1	−3	0	${\ Displaystyle 2 \ ln 2}$
0	−2	−1	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}}}$
1	−1	−2	${\ Displaystyle {\ Frac {3 [\ gamma + \ ln (2 \ pi f_ {H} \ tau)] - \ ln 2}{4\pi ^{2}}}}$
2	0	−2	${\ Displaystyle {\ Frac {3f_ {H}} {4 \ pi ^ {2}}}}$

Ogólna konwersja z szumu fazowego

Sygnał z widmowym szumem fazowym z jednostkami rad ² / Hz można przekonwertować na wariancję Allana przez ${\ Displaystyle S _ {\ varphi}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {2} {\ nu _ {0} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {f_ {b}} S_ {\varphi}(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau)^{2}}}\,df.}$

Odpowiedź liniowa

Chociaż wariancja Allana ma być używana do rozróżniania form szumu, będzie zależała od niektórych, ale nie wszystkich, liniowych odpowiedzi na czas. Są one podane w tabeli:

Odpowiedź liniowa wariancji Allana

Efekt liniowy	czas reakcji	Pasmo przenoszenia	Wariancja Allana	Odchylenie Allana
przesunięcie fazowe	${\ displaystyle x_ {0}}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$
przesunięcie częstotliwości	${\ displaystyle y_ {0} t}$	${\ displaystyle y_ {0}}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ styl wyświetlania 0}$
dryf liniowy	${\ Displaystyle {\ Frac {Dt ^ {2}} {2}}}$	${\ Displaystyle Dt}$	${\ Displaystyle {\ Frac {D ^ {2} \ tau ^ {2}} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {D \ tau} {\ sqrt {2}}}}$

Zatem dryf liniowy będzie miał wpływ na wynik wyjściowy. Podczas pomiaru rzeczywistego systemu może być konieczne oszacowanie dryfu liniowego lub innego mechanizmu dryfu i usunięcie go z szeregu czasowego przed obliczeniem wariancji Allana.

Właściwości filtra czasu i częstotliwości

Analizując właściwości wariancji Allana i przyjaciół, przydatne okazało się rozważenie właściwości filtra na częstotliwości normalizacji. Zaczynając od definicji wariancji Allana dla

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = {\ Frac {1} {2} }}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ Frac {1} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {\ tau} y (i \ tau + t) \, dt.}$

Zastępując szereg czasowy wariantem przekształconym Fouriera, $i}$$displaystyle$ można wyrazić w dziedzinie częstotliwości jako y ja

${\ Displaystyle \ sigma _ {y} ^ {2} (\ tau) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S_ {y} (f) {\ Frac {2 \ sin ^ {4} \ pi \ tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

Zatem funkcja przenoszenia dla wariancji Allana wynosi

${\ Displaystyle \ lewo \ vert H_ {A} (f) \ prawo \ vert ^ {2} = {\ Frac {2 \ sin ^ {4} \ pi \ tau f} {(\ pi \ tau f) ^ { 2}}}.}$

Funkcje odchylenia

Wariancja M -próbki i zdefiniowana wariancja Allana w przypadku specjalnym będą podlegać systematycznemu odchyleniu w zależności od różnej liczby próbek M i różnej zależności między T i τ . Aby zająć się tymi odchyleniami, zdefiniowano funkcje odchylenia _B1 i B2, które umożliwiają konwersję między _różnymi wartościami M i T.

₀₀ Te funkcje odchylenia nie są wystarczające do obsługi odchylenia wynikającego z łączenia M próbek z czasem obserwacji Mτ w ciągu MT z czasem martwym rozłożonym między M blokami pomiarowymi, a nie na końcu pomiaru. To spowodowało potrzebę B ₃ .

Funkcje odchylenia są oceniane dla określonej wartości µ, więc mapowanie α–µ musi być wykonane dla dominującej postaci szumu, znalezionej za pomocą identyfikacji szumu. Alternatywnie, wartość µ dominującej formy szumu można wywnioskować z pomiarów z wykorzystaniem funkcji odchylenia.

Funkcja polaryzacji B ₁

Funkcja odchylenia B1 wiąże wariancję M -próbki z wariancją 2-próbek (wariancja Allana), utrzymując stały czas między pomiarami T i czas dla każdego _pomiaru τ . Określa się jako

${\ Displaystyle B_ {1} (N, r, \ mu) ={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2, T,\tau )\right\rangle }},}$

Gdzie

${\ Displaystyle R = {\ Frac {T} {\ tau}}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B_ {1} (N, r, \ mu) = {\ Frac {1 + \ suma _ {n = 1} ^ {N-1} {\ Frac {Nn} {N (N-1)} }\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\ frac {1}{2}}\lewo[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\prawo]}} .}$

Funkcja polaryzacji B ₂

Funkcja odchylenia B2 wiąże wariancję z 2 próbek dla czasu T z wariancją z 2 próbek (wariancja Allana), utrzymując liczbę próbek N = 2 i czas obserwacji _τ na stałym poziomie. Określa się jako

${\ Displaystyle B_ {2} (r, \ mu) = {\ frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle}}{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau,\ tau )\right\rangle }},}$

Gdzie

${\ Displaystyle R = {\ Frac {T} {\ tau}}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B_ {2} (r, \ mu) = {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} \ lewo [2r ^ {\ mu + 2} - (r + 1) ^ {\ mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\prawo]}{2\lewo(1-2^{\mu }\prawo)}}.}$

Funkcja polaryzacji B ₃

₀₀ Funkcja obciążenia B ₃ wiąże wariancję 2-próbkową dla czasu próbkowania MT i czasu obserwacji Mτ z wariancją 2-próbkową (wariancja Allana) i jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle B_ {3} (N, M ,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau)\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y }^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

Gdzie

${\ Displaystyle T = MT_ {0},}$

${\ Displaystyle \ tau = M \ tau _ {0}.}$

₀₀ Funkcja odchylenia B3 jest użyteczna do dopasowania wartości estymatorów τ nienakładających się i nakładających się zmiennych na podstawie _pomiarów czasu martwego czasu obserwacji τ i czasu między obserwacjami T do normalnych oszacowań czasu martwego.

Funkcja obciążenia staje się po analizie (dla przypadku N = 2)

${\ Displaystyle B_ {3} (2, M, r, \ mu) = {\ Frac {2M + MF (Mr)-\suma _{n=1}^{M-1}(Mn)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\ duży (}(Mn)r{\duży )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

Gdzie

${\ Displaystyle F (A) = 2A ^ {\ mu + 2} - (A + 1) ^ {\ mu + 2} - | A-1 | ^ {\ mu + 2}.}$

funkcja polaryzacji τ

Chociaż nie zostało to formalnie sformułowane, zostało pośrednio wywnioskowane w wyniku mapowania α – µ . Porównując dwie miary wariancji Allana dla różnych τ , zakładając ten sam dominujący szum w postaci tego samego współczynnika µ, błąd systematyczny można zdefiniować jako

${\ Displaystyle B _ {\ tau} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu) = {\ Frac {\ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (2, \ tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\ w prawo\szereg }}.}$

Funkcja odchylenia staje się po analizie

${\ Displaystyle B _ {\ tau} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ mu) = \ lewo ({\ Frac {\ tau _ {2}} {\ tau _ {1}}} \right)^{\mu}.}$

Konwersja między wartościami

_celu konwersji z jednego zestawu pomiarów na inny, _można połączyć funkcje odchylenia B1 , B2 i τ. Najpierw funkcja B ₁ konwertuje wartość ( N ₁ , T ₁ , τ ₁ ) na (2, T ₁ , τ ₁ ), z której funkcja B ₂ konwertuje na wartość (2, τ ₁ , τ ₁ ), a więc wariancja Allana przy τ ₁ . Miarę wariancji Allana można przekształcić za pomocą funkcji odchylenia τ z τ ₁ na τ ₂ , z której następnie (2, T ₂ , τ ₂ ) za pomocą B ₂ , a następnie ostatecznie za pomocą B ₁ do ( N ₂ , T ₂ , τ ₂ ) wariancja. Całkowita konwersja staje się

$sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2} },T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu} \left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu)B_{2}(r_{2},\mu)}{B_{1}(N_{1}, r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1} ,\tau _{1})\right\rangle ,}$

Gdzie

${\ Displaystyle r_ {1} = {\ Frac {T_ {1}} {r_ {1}}},}$

${\ Displaystyle r_ {2} = {\ Frac {T_ {2}} {r_ {2}}}.}$

Podobnie w przypadku pomiarów połączonych przy użyciu sekcji M , rozszerzenie logiczne staje się

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ sigma _ {y} ^ {2} (N_ {2}, M_ {2}, T_ {2}, \ tau _ {2}) \ prawo \ rangle = \ lewo ({\ frac {\tau _{2}}{\tau_{1}}}\right)^{\mu}\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{ 2},\mu)B_{1}(N_{2},r_{2},\mu)B_{2}(r_{2},\mu)}{B_{3}(N_{1},M_ {1},r_{1},\mu)B_{1}(N_{1},r_{1},\mu)B_{2}(r_{1},\mu)}}\right]\left \langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

Kwestie pomiarowe

Podczas wykonywania pomiarów w celu obliczenia wariancji Allana lub odchylenia Allana szereg problemów może spowodować degenerację pomiarów. Omówiono tutaj efekty specyficzne dla wariancji Allana, gdzie wyniki byłyby obciążone.

Granice szerokości pasma pomiarowego

Oczekuje się, że system pomiarowy będzie miał szerokość pasma równą lub niższą niż szybkość Nyquista , jak opisano w twierdzeniu Shannona-Hartleya . Jak widać we wzorach na szum potęgowy, modulacje szumu białego i szumu migotania zależą od częstotliwości górnego rogu $się, że$ systemy te są tylko filtrowane dolnoprzepustowo). Biorąc pod uwagę właściwość filtra częstotliwości, można wyraźnie zauważyć, że szum o niskiej częstotliwości ma większy wpływ na wynik. W przypadku typów szumów o stosunkowo płaskiej modulacji fazowej (np. WPM i FPM) filtrowanie ma znaczenie, podczas gdy w przypadku typów szumów o większym nachyleniu górna granica częstotliwości staje się mniej ważna, zakładając, że szerokość pasma systemu pomiarowego jest szeroka w stosunku do τ { $displaystyle \tau }$ podane przez

${\ Displaystyle \ tau \ gg {\ Frac {1} {2 \ pi f_ {H}}}.}$

$.$ obok pomiaru należy odnotować efektywną szerokość Zainteresowanych odsyłam do NBS TN394.

$jednak$ dostosuje się przepustowość estymatora za pomocą całkowitych wielokrotności czasu próbkowania wpływ przepustowości systemu można zredukować do nieistotnych poziomów. Dla potrzeb telekomunikacji takie metody były wymagane w celu zapewnienia porównywalności pomiarów i pozostawienia producentom pewnej swobody w wykonywaniu różnych wdrożeń. ITU-T Rec. G.813 dla pomiaru TDEV.

Można zalecić ignorowanie pierwszych $aby$ większość wykrytego szumu mieściła się dobrze w paśmie przepuszczania przepustowości systemów pomiarowych.

Dalszy rozwój wariancji Allana został przeprowadzony, aby umożliwić zmniejszenie przepustowości sprzętu za pomocą oprogramowania. To rozwinięcie przepustowości oprogramowania pozwoliło zająć się pozostałym szumem, a metoda jest obecnie określana jako zmodyfikowana wariancja Allana . Tej techniki redukcji pasma nie należy mylić z udoskonalonym wariantem zmodyfikowanej wariancji Allana , która również zmienia szerokość pasma filtra wygładzającego.

Czas martwy w pomiarach

Wiele przyrządów do pomiaru czasu i częstotliwości ma etapy czasu uzbrojenia, czasu podstawy czasu, czasu przetwarzania, a następnie może ponownie wyzwolić uzbrojenie. Czas uzbrojenia jest liczony od chwili wyzwolenia uzbrojenia do momentu wystąpienia zdarzenia startowego na kanale startowym. Podstawa czasu zapewnia następnie, że minie minimalna ilość czasu przed zaakceptowaniem zdarzenia w kanale zatrzymania jako zdarzenia zatrzymania. Liczba zdarzeń i czas, jaki upłynął między zdarzeniem początkowym a końcowym, są rejestrowane i prezentowane w czasie przetwarzania. Kiedy następuje przetwarzanie (znane również jako czas oczekiwania), przyrząd zwykle nie jest w stanie wykonać kolejnego pomiaru. Po zakończeniu przetwarzania instrument w trybie ciągłym ponownie uruchamia obwód ramienia. Czas między zdarzeniem zatrzymania a następującym po nim zdarzeniem uruchomienia staje się czasem martwym , podczas którego sygnał nie jest obserwowany. Taki czas martwy wprowadza systematyczne błędy pomiarowe, które należy skompensować, aby uzyskać prawidłowe wyniki. Dla takich systemów pomiarowych czas T będzie oznaczał czas między sąsiednimi zdarzeniami początkowymi (a tym samym pomiarami), podczas gdy będzie oznaczał długość podstawy czasu, tj. Nominalną długość między zdarzeniem początkowym i końcowym dowolnego pomiaru ${\ displaystyle \ tau}$ .

Efekty czasu martwego na pomiary mają taki wpływ na uzyskiwany wynik, że przeprowadzono wiele badań pola w celu prawidłowego ilościowego określenia jego właściwości. Wprowadzenie liczników zerowego czasu martwego wyeliminowało potrzebę tej analizy. Licznik z zerowym czasem martwym ma tę właściwość, że zdarzenie zatrzymania jednego pomiaru jest również używane jako zdarzenie rozpoczęcia kolejnego zdarzenia. Takie liczniki tworzą serię par znaczników czasowych zdarzenia i czasu, po jednej dla każdego kanału rozdzielonego przez podstawę czasu. Takie pomiary okazały się również przydatne w uporządkowanych formach analizy szeregów czasowych.

Pomiary wykonywane z czasem martwym można skorygować za pomocą funkcji odchylenia B ₁ , B ₂ i B ₃ . Tak więc czas martwy jako taki nie blokuje dostępu do wariancji Allana, ale czyni ją bardziej problematyczną. można było ustalić czas między próbkami T.

Długość pomiaru i efektywne wykorzystanie próbek

Badając wpływ na przedziały ufności , jakie ma długość N szeregu próbek, oraz wpływ zmiennego parametru τ n, przedziały ufności mogą stać się bardzo duże, ponieważ efektywny stopień swobody może stać się mały dla pewnej kombinacji N i n dla dominującej postaci szumu (dla tego τ ).

Efektem może być to, że oszacowana wartość może być znacznie mniejsza lub znacznie większa niż wartość rzeczywista, co może prowadzić do błędnych wniosków wyniku.

Zaleca się wykreślenie przedziału ufności wraz z danymi, tak aby czytelnik wykresu był świadomy statystycznej niepewności wartości.

Zaleca się, aby długość sekwencji próbek, tj. liczba próbek N była wysoka, aby zapewnić mały przedział ufności w interesującym zakresie τ .

₀ Zaleca się, aby zakres τ przemiatany przez mnożnik τ n był ograniczony w górnym końcu względem N tak, że odczyt wykresu nie jest mylony przez wysoce niestabilne wartości estymatora.

Zaleca się, aby estymatory zapewniające lepsze stopnie swobody były stosowane zamiast estymatorów wariancji Allana lub jako ich uzupełnienie tam, gdzie przewyższają estymatory wariancji Allana. Wśród nich należy wziąć pod uwagę estymatory wariancji całkowitej i wariancji Theo.

Dominujący rodzaj hałasu

Duża liczba stałych konwersji, poprawek obciążenia i przedziałów ufności zależy od dominującego typu szumu. W celu właściwej interpretacji dominujący typ szumu dla konkretnego interesującego τ powinien być zidentyfikowany poprzez identyfikację szumu. Niezidentyfikowanie dominującego rodzaju szumu spowoduje wytworzenie wartości tendencyjnych. Niektóre z tych odchyleń mogą mieć kilka rzędów wielkości, więc mogą mieć duże znaczenie.

Dryf liniowy

Systematyczne oddziaływanie na sygnał jest anulowane tylko częściowo. Przesunięcie fazowe i częstotliwościowe jest anulowane, ale dryft liniowy lub inne wielomianowe formy krzywych fazowych o wysokim stopniu nie zostaną anulowane, a tym samym utworzą ograniczenie pomiaru. Można zastosować dopasowanie krzywej i usunięcie systematycznego przesunięcia. Często wystarczające może być usunięcie dryfu liniowego. Można również zastosować estymatory dryfu liniowego, takie jak wariancja Hadamarda. Liniowe usuwanie dryftu można zastosować przy użyciu estymatora opartego na momentach.

Odchylenie estymatora przyrządu pomiarowego

Tradycyjne instrumenty zapewniały jedynie pomiar pojedynczych zdarzeń lub par zdarzeń. Wprowadzenie ulepszonego narzędzia statystycznego nakładających się pomiarów przez JJ Snydera umożliwiło znacznie lepszą rozdzielczość odczytów częstotliwości, przełamując tradycyjną równowagę cyfry/podstawa czasu. Chociaż takie metody są przydatne zgodnie z ich przeznaczeniem, użycie takich wygładzonych pomiarów do obliczeń wariancji Allana dałoby fałszywe wrażenie wysokiej rozdzielczości, ale dla dłuższego τ efekt jest stopniowo usuwany, a obszar pomiaru o niższym τ ma wartości obciążone. To odchylenie dostarcza niższych wartości niż powinno, więc jest to zbyt optymistyczne (zakładając, że niskie liczby są tym, czego się chce) odchylenie, zmniejszające użyteczność pomiaru zamiast go poprawiać. Takie inteligentne algorytmy można zwykle wyłączyć lub w inny sposób obejść, używając trybu znacznika czasu, który jest znacznie preferowany, jeśli jest dostępny.

Pomiary praktyczne

Chociaż można opracować kilka podejść do pomiaru wariancji Allana, prosty przykład może zilustrować, w jaki sposób można przeprowadzić pomiary.

Pomiar

Wszystkie pomiary wariancji Allana będą w efekcie porównaniem dwóch różnych zegarów. Rozważ zegar wzorcowy i testowane urządzenie (DUT) i oba mają wspólną częstotliwość nominalną 10 MHz. Licznik interwałów czasowych jest używany do pomiaru czasu między narastającym zboczem odniesienia (kanał A) a narastającym zboczem testowanego urządzenia.

Aby zapewnić równomierne rozłożenie pomiarów, zegar wzorcowy zostanie podzielony w dół, tworząc częstotliwość pomiaru, wyzwalając licznik przedziałów czasowych (wejście ARM). Ta częstotliwość może wynosić 1 Hz (przy użyciu 1 PPS zegara referencyjnego), ale można również użyć innych częstotliwości, takich jak 10 Hz i 100 Hz. Szybkość, z jaką licznik przedziałów czasowych może zakończyć pomiar, wyprowadzić wynik i przygotować się do następnego ramienia, ograniczy częstotliwość wyzwalania.

Komputer jest wtedy przydatny do rejestrowania serii obserwowanych różnic czasowych.

Przetwarzanie końcowe

Zarejestrowane szeregi czasowe wymagają przetwarzania końcowego w celu rozwinięcia opakowanej fazy, tak że zapewniony jest ciągły błąd fazy. W razie potrzeby należy również poprawić błędy w logowaniu i pomiarach. Należy przeprowadzić oszacowanie i usunięcie dryfu, należy zidentyfikować i zrozumieć mechanizm dryfu dla źródeł. Ograniczenia dryftu w pomiarach mogą być poważne, dlatego konieczne jest ustabilizowanie oscylatorów przez wystarczająco długi czas włączenia.

Wariancję Allana można następnie obliczyć za pomocą podanych estymatorów, a ze względów praktycznych należy zastosować estymator nakładający się ze względu na jego lepsze wykorzystanie danych w porównaniu z estymatorem nienakładającym się. Można również zastosować inne estymatory, takie jak estymatory sumaryczne lub estymatory wariancji Theo, jeśli zastosowane zostaną poprawki obciążenia, tak że zapewnią one wyniki zgodne z wariancją Allana.

Aby utworzyć klasyczne wykresy, odchylenie Allana (pierwiastek kwadratowy z wariancji Allana) jest wykreślane w formacie log-log względem przedziału obserwacji τ .

Sprzęt i oprogramowanie

Licznik interwałów czasowych jest zwykle dostępnym w handlu licznikiem z półki. Czynnikami ograniczającymi są rozdzielczość pojedynczego strzału, jitter spustu, szybkość pomiarów i stabilność zegara wzorcowego. Komputerowe gromadzenie i przetwarzanie końcowe można przeprowadzić przy użyciu istniejącego oprogramowania komercyjnego lub należącego do domeny publicznej. Istnieją wysoce zaawansowane rozwiązania, które zapewnią pomiary i obliczenia w jednym urządzeniu.

Historia badań

Dziedzina stabilności częstotliwości była badana przez długi czas. Jednak w latach sześćdziesiątych XX wieku stwierdzono, że brakuje spójnych definicji. Sympozjum NASA-IEEE na temat stabilności krótkoterminowej w listopadzie 1964 r. Zaowocowało specjalnym wydaniem z lutego 1966 r. IEEE Proceedings on Frequency Stability.

Sympozjum NASA-IEEE zgromadziło wiele dziedzin i zastosowań stabilności krótko- i długoterminowej, z artykułami wielu różnych autorów. Artykuły i dyskusje panelowe są zgodne co do istnienia szumu migotania częstotliwości i chęci osiągnięcia wspólnej definicji stabilności krótko- i długoterminowej.

Ważne artykuły, w tym te autorstwa Davida Allana, Jamesa A. Barnesa, LS Cutlera, CL Searle'a i DB Leesona, ukazały się w IEEE Proceedings on Frequency Stability i pomogły ukształtować dziedzinę.

Artykuł Davida Allana analizuje klasyczną wariancję częstotliwości M -próbki, zajmując się kwestią czasu martwego między pomiarami wraz z początkową funkcją polaryzacji. Chociaż początkowa funkcja odchylenia Allana zakłada brak czasu martwego, jego formuły zawierają obliczenia czasu martwego. W swoim artykule analizuje przypadek M próbek częstotliwościowych (nazywanych w artykule N) i estymatorów wariancji. Zapewnia obecnie standardowe mapowanie α – µ, wyraźnie opierając się na pracy Jamesa Barnesa w tym samym numerze.

Przypadek wariancji z 2 prób jest szczególnym przypadkiem wariancji z M -próbki, która daje średnią z pochodnej częstotliwości. Allan domyślnie używa wariancji z 2 prób jako przypadku bazowego, ponieważ dla dowolnie wybranego M wartości mogą być przenoszone przez wariancję z 2 prób do wariancji z M -próbki. Nie określono wyraźnie preferencji dla wariancji z 2 prób, nawet jeśli zapewniono narzędzia. Jednak ten artykuł położył podwaliny pod wykorzystanie wariancji z 2 próbek jako sposobu porównywania innych M -próbek.

James Barnes znacznie rozszerzył prace nad funkcjami biasu, wprowadzając nowoczesne funkcje biasu B ₁ i B _{2 .} Co ciekawe, odnosi się do wariancji próbki M jako „wariancji Allana”, odnosząc się jednocześnie do artykułu Allana „Statistics of Atomic Frequency Standards”. Dzięki tym nowoczesnym funkcjom odchylenia można przeprowadzić pełną konwersję między miarami wariancji M -próbek różnych wartości M , T i τ , poprzez konwersję przez wariancję 2-próbek.

James Barnes i David Allan dodatkowo rozszerzyli funkcje odchylenia o funkcję B3 _, aby obsłużyć obciążenie estymatora próbek połączonych. Było to konieczne, aby poradzić sobie z nowym zastosowaniem połączonych obserwacji próbek z czasem martwym pomiędzy nimi.

W 1970 roku Komitet Techniczny IEEE ds. Częstotliwości i Czasu, w ramach Grupy IEEE ds. Instrumentacji i Pomiarów, przedstawił podsumowanie tej dziedziny, opublikowane jako Nota Techniczna NBS 394. Artykuł ten był pierwszym z szeregu bardziej edukacyjnych i praktycznych artykułów pomagających kolegom inżynierowie chwytają pole. W tym artykule zalecano wariancję z 2 prób z T = τ , nazywając ją wariancją Allana (teraz bez cudzysłowów). Wybór takiej parametryzacji pozwala na dobrą obsługę niektórych form hałasu i uzyskanie porównywalnych pomiarów; jest to zasadniczo najmniejszy wspólny mianownik za pomocą funkcji odchylenia B ₁ i B ₂ .

JJ Snyder zaproponował ulepszoną metodę szacowania częstotliwości lub wariancji, wykorzystującą przykładowe statystyki dla liczników częstotliwości. Aby uzyskać bardziej efektywne stopnie swobody z dostępnego zbioru danych, sztuczka polega na wykorzystaniu nakładających się okresów obserwacji. Zapewnia to √ n i zostało uwzględnione w nakładającym się estymatorze wariancji Allana . Uwzględniono również przetwarzanie programowe zmiennej τ. Rozwój ten udoskonalił klasyczne estymatory wariancji Allana, zapewniając również bezpośrednią inspirację do prac nad zmodyfikowaną wariancją Allana .

Howe, Allan i Barnes przedstawili analizę przedziałów ufności, stopni swobody i ustalonych estymatorów.

Zasoby edukacyjne i praktyczne

Pole czasu i częstotliwości oraz jego wykorzystanie wariancji Allana, odchylenia Allana i przyjaciół to dziedzina obejmująca wiele aspektów, dla których zarówno zrozumienie pojęć, jak i praktyczne pomiary oraz post-processing wymagają troski i zrozumienia. Tak więc dostępny jest zakres materiałów edukacyjnych obejmujący około 40 lat. Ponieważ odzwierciedlają one rozwój badań w swoim czasie, koncentrują się na nauczaniu różnych aspektów w czasie, w którym to przypadku badanie dostępnych zasobów może być odpowiednim sposobem na znalezienie odpowiedniego zasobu.

Pierwszym znaczącym podsumowaniem jest Nota techniczna NBS 394 „Charakterystyka stabilności częstotliwości”. Jest to produkt Komitetu Technicznego ds. Częstotliwości i Czasu Grupy IEEE ds. Instrumentacji i Pomiarów. Daje pierwszy przegląd dziedziny, określając problemy, definiując podstawowe definicje wspierające i przechodząc do wariancji Allana, funkcji obciążenia B ₁ i B ₂ , konwersji miar w dziedzinie czasu. Jest to przydatne, ponieważ jest jednym z pierwszych odniesień do zestawienia wariancji Allana dla pięciu podstawowych typów szumu.

Klasycznym odniesieniem jest monografia NBS 140 z 1974 r., która w rozdziale 8 zawiera „Statystykę analizy danych czasu i częstotliwości”. Jest to rozszerzony wariant Noty Technicznej NBS 394, który zasadniczo dodaje techniki pomiarowe i praktyczne przetwarzanie wartości.

Ważnym dodatkiem będą Właściwości źródeł sygnału i metody pomiarowe . Obejmuje efektywne wykorzystanie danych, przedziały ufności, efektywny stopień swobody, a także wprowadzenie nakładającego się estymatora wariancji Allana. Jest to wysoce zalecana lektura dla tych tematów.

Norma IEEE 1139 Standardowe definicje wielkości fizycznych dla metrologii częstotliwości podstawowej i czasu wykracza poza standard i jest wszechstronnym źródłem informacji i materiałów edukacyjnych.

Nowoczesną książką skierowaną do telekomunikacji jest Stefano Bregni „Synchronizacja cyfrowych sieci telekomunikacyjnych”. To podsumowuje nie tylko dziedzinę, ale także większość jego dotychczasowych badań w tej dziedzinie. Ma on na celu uwzględnienie zarówno środków klasycznych, jak i środków specyficznych dla telekomunikacji, takich jak MTIE. Jest podręcznym towarzyszem przy przeglądaniu pomiarów związanych ze standardami telekomunikacyjnymi.

Specjalna publikacja NIST 1065 „Handbook of Frequency Stability Analysis” WJ Riley jest zalecaną lekturą dla każdego, kto chce zająć się tą dziedziną. Jest bogaty w odniesienia i obejmuje również szeroki zakres miar, błędów i powiązanych funkcji, które powinien mieć do dyspozycji współczesny analityk. Ponadto opisuje ogólne przetwarzanie potrzebne dla nowoczesnego narzędzia.

Używa

Wariancja Allana jest używana jako miara stabilności częstotliwości w różnych precyzyjnych oscylatorach, takich jak oscylatory kwarcowe , zegary atomowe i lasery stabilizowane częstotliwościowo w okresie sekundy lub dłuższym. Stabilność krótkoterminowa (poniżej sekundy) jest zwykle wyrażana jako szum fazowy . Wariancja Allana jest również używana do scharakteryzowania stabilności odchylenia żyroskopów , w tym żyroskopów światłowodowych , żyroskopów z rezonatorem półkuli oraz żyroskopów i akcelerometrów MEMS .

50. rocznica

W 2016 r. IEEE-UFFC opublikuje „Wydanie specjalne z okazji 50. rocznicy powstania Allana Variance (1966–2016)”. Gościnnym redaktorem tego wydania będzie były kolega Davida z NIST , Judah Levine, który jest ostatnim zdobywcą nagrody II Rabi .

Zobacz też

• Zmienność
• Semiwariancja
• Wariogram
• Metrologia
• Protokół czasu sieciowego
• Protokół precyzyjnego czasu
• Synchronizacja

Linki zewnętrzne

• Zasoby dydaktyczne dotyczące kontroli częstotliwości UFFC
• Narzędzie wyszukiwania publikacji NIST
• Przegląd wariancji Allana Davida W. Allana
• Oficjalna strona internetowa Davida W. Allana
• Publikacje JPL - Analiza i statystyki hałasu
• Publikacje Williama Rileya
• Stable32 , oprogramowanie do analizy stabilności częstotliwości, autorstwa Williama Rileya
• Publikacje Stefano Bregniego
• Publikacje Enrico Rubiola
• Allanvar: pakiet R do charakteryzowania błędów czujnika przy użyciu wariancji Allana
• Oprogramowanie Alavar Windows z narzędziami do raportowania; Darmowe
• Biblioteka Pythona o otwartym kodzie źródłowym AllanTools dla wariancji Allana
• MATLAB AVAR aplikacja MATLAB o otwartym kodzie źródłowym