Modułowa funkcja Webera

W matematyce funkcje modułowe Webera to rodzina trzech funkcji f , f ₁ i f ₂ , badana przez Heinricha Martina Webera .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi ja \ tau}}$ gdzie τ jest elementem górnej półpłaszczyzny . Następnie funkcje Webera są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {f}} (\ tau) & = q ^ {- {\ Frac {1} {48}}} \ prod _ {n> 0} (1 + q ^ {n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau)}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau}}{2}}{\big)}\eta (2\tau)}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{ \big )}}{\eta (\tau)}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau)&=q^{-{\frac {1}{48}}}\ prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big)}}{ \eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\ prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end {wyrównany}}}$

Są to również definicje w artykule Duke'a „Continued Fractions and Modular Functions” . η ${\ Displaystyle \ eta (\ tau)}$$\ tau}) ^ {\ alfa} }$ { \ Displaystyle należy interpretować jako ${\ Displaystyle e ^ {2 \ pi ja \ tau \ alfa}}$ . Opisy jako ${\ displaystyle \ eta}$ ilorazy natychmiast implikują

${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2 }}.}$

Transformacja τ → –1/ τ ustala f i zamienia f ₁ i f ₂ . Zatem na trójwymiarową zespoloną przestrzeń wektorową o podstawach f , f ₁ i f ₂ oddziałuje grupa SL ₂ ( Z ).

Alternatywny produkt nieskończony

Alternatywnie, niech ${\ Displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}$ mi będzie nomem

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathfrak {f}} (q) & = q ^ {- {\ Frac {1} {24}}} \ prod _ {n> 0} (1 + q ^ { 2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau}{2}}{\big)}\eta (2\ tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q ^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau}}{2}}{\big)}}{\eta (\tau)}},\\{\ mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n })={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau)}{\eta (\tau)}}.\end{wyrównane}}}$

Forma produktu nieskończonego nieznacznie się zmieniła. Ale ponieważ iloraz eta pozostaje taki sam, to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {i} (\ tau) = {\ mathfrak {f}} _ {i } (q)}$ tak długo, jak drugi używa nomu $\ Displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}$ . Użyteczność drugiej postaci polega na pokazaniu powiązań i spójnej notacji z funkcjami G i g Ramanujana oraz Funkcje Jacobi theta , z których oba konwencjonalnie używają nomu.

Związek z funkcjami G i g Ramanujana

Nadal $stosując$ nom G jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 ^ {1/4} G_ {n} & = q ^ {- {\ Frac {1} {24}}} \ prod _ {n> 0} (1 + q ^ {2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau)}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau}}{2}}{\big)}\eta (2 \tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{ 2n-1}) = {\ Frac {\ eta {\ duży (}{\ tfrac {\ tau }{2}}{\ duży )}} {\ eta (\ tau)}}. \ koniec {wyrównane}} }$

Ilorazy eta sprawiają, że ich związek z pierwszymi dwiema funkcjami Webera jest natychmiast widoczny. W nomie załóżmy, że ${\ Displaystyle \ tau = {\ sqrt {-n}}.}$ Następnie,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 ^ {1/4} G_ {n} & = {\ mathfrak {f}} (q) = {\ mathfrak {f}} (\ tau), \\ 2 ^ { 1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{wyrównane}}}$

Ramanujan znalazł wiele relacji między i sol $\ displaystyle g_ {$$\ mathfrak {f}} (q)$$}}$ , co implikuje podobne relacje między i } ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {1} (q)}$ . Jego tożsamość np.

${\ Displaystyle (G_ {n} ^ {8} -g_ {n} ^ {8}) (G_ {n} \, g_ {n})^{8}={\tfrac {1}{4}},}$

prowadzi do

${\ Displaystyle {\ duży [} {\ mathfrak {f}} ^ {8} (q) - {\ mathfrak {f}} _ {1} ^ {8} (q) {\ duży ]} {\ duży [ }{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{ \duży ]}^{8}.}$

Dla wielu wartości n Ramanujan zestawił również w tabeli dla nieparzystych $n$ i dla parzystych n . $}}$$\ mathfrak {f}} _ {1} (q$ automatycznie daje wiele wyraźnych ocen i $\ Displaystyle$ } Na przykład używając ${\ Displaystyle \ tau = {\ sqrt {-5}}, \, {\ sqrt {-13}}, \, {\ sqrt {-37}}} , które są niektórymi wolnymi od$ kwadratów dyskryminatory z klasą nr 2,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G_ {5} & = \ lewo ({\ Frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ prawo) ^ {1/4}, \\ G_ { 13}&=\lewo({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\prawo)^{1/4},\\G_{37}&=\lewo(6+{\ sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{wyrównane}}}$

fa ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ tau) = 2 ^ {1/4} G_ {n}}$ nich, jak również bardziej skomplikowane przykłady znalezione w Notatnikach Ramanujana.

Związek z funkcjami theta Jacobiego

Argumentem klasycznych funkcji theta Jacobiego jest tradycyjnie nom . ${\ Displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau},}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ vartheta _ {10} (0; \ tau) & = \ theta _ {2} (q) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau)}},\\[2pt]\vartheta _{ 00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{ \frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau}{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau)} }={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\ vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\suma _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n ^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau}{2}}\right)}{\eta (\tau)}}.\end{wyrównane}} }$

Dzieląc je przez ${\ Displaystyle \ eta (\ tau)}$ , a także zauważając, że ${\ Displaystyle \ eta (\ tau) = e ^ {\ Frac {- \ pi i} {\, 12}} \ eta (\ tau + 1)}$ , to są to tylko kwadraty funkcji Webera ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {iloraz inteligencji)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ theta _ {2} (q)} {\ eta (\ tau)}} & = {\ mathfrak {f}} _ {2} (q) ^ { 2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2 },\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau)}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{ wyrównany}}}$

z funkcjami theta z parzystym indeksem dolnym celowo wymienionymi jako pierwsze. Używając dobrze znanej tożsamości Jacobiego z parzystymi indeksami na LHS,

${\ Displaystyle \ teta _ {2} (q) ^ {4} + \ teta _ {4} (q) ^ {4} = \ teta _ {3} (q) ^ {4};}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {2} (q) ^ {8} + {\ mathfrak {f}} _ {1} (q) ^ {8} = {\ mathfrak {f}} (q )^{8}.}$

Związek z funkcją j

Trzy pierwiastki równania sześciennego

${\ Displaystyle j (\ tau) = {\ Frac {(x-16) ^ {3}} {x}}}$

gdzie j ( τ ) to funkcja j są podane przez ${\ Displaystyle x_ {i} = {\ mathfrak {f }}(\tau)^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau)^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau)^{ 24}}$ . Również, ponieważ

${\ Displaystyle j (\ tau) = 32 {\ Frac {{\ duży (} \ teta _ {2} (q) ^ {8} + \ teta _ {3} (q) ^ {8} + \ teta _ {4}(q)^{8}{\Duża}}^{3}}{{\Duża (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Duży}}^{8}}}}$

i używając definicji funkcji Webera w kategoriach funkcji theta Jacobiego, plus fakt, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {2} (q) ^ {2} \, {\ mathfrak {f}} _ {1} (q) ^ {2} \, {\ mathfrak { f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau)}}{\frac {\theta_{4}(q)}{\ eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2}$ , wtedy

${\ Displaystyle j (\ tau) = \ lewo ({\ Frac {{\ mathfrak {f}} (\ tau) ^ {16} + {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) ^ {16 }+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right )^{3}}$

fa ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {i} (\ tau) = {\ mathfrak {f}} _ {i} (q$ } formuły w kategoriach funkcji Dedekinda eta ${\ Displaystyle \ eta (\ tau)}$ .

Zobacz też

• Seria Ramanujan – Sato, poziom 4

• Duke, William (2005), Ułamki ciągłe i funkcje modułowe (PDF) , Bull. Amer. Matematyka soc. 42
•   Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (w języku niemieckim), tom. 3 (wyd. 3), Nowy Jork: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
•   Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), „O wartościach osobliwych funkcji modułowych Webera”, Mathematics of Computation , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00854-5 , MR 1415803