Wiele funkcji gamma

Aby zapoznać się z pochodnymi logarytmu funkcji gamma, zobacz funkcja polygamma .

Wykres funkcji podwójnej gamma Barnesa G(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

W matematyce wielokrotna funkcja gamma jest uogólnieniem funkcji gamma $Eulera$ i Barnesa . Podwójna funkcja gamma była badana przez Barnesa (1901) . Na końcu tego artykułu wspomniał o istnieniu wielu funkcji gamma uogólniając to i zbadał je dalej w Barnes (1904) .

$,$ funkcje gamma $związane$ ściśle związane z funkcją q-gamma potrójne funkcje gamma z eliptyczną funkcją gamma .

Definicja

dla $\ Displaystyle \ Re a_ {i}> 0}$ , niech

${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} ( w\mid a_{1},\ldots,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}$

gdzie jest funkcją zeta Barnesa ${\ displaystyle \ zeta _ {N}}$ . (Różni się to o stałą od pierwotnej definicji Barnesa).

Nieruchomości

Uważany za funkcję meromorficzną , $N$$})}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {$ nie ma zer. $} n_ {i} a_ {i}}$ za dla nieujemnych liczb całkowitych ${\ displaystyle n_ {i}}$ . Te bieguny są proste, chyba że niektóre z nich się pokrywają. ${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N})$ } jest unikalną meromorficzną funkcją skończonego rzędu z tymi zerami i biegunami.

• ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} (w \ środek) = {\ Frac {1} {w}} \}$
• ${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (w \ mid a) = {\ Frac {a ^ {a ^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}$
• ${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N}) = \ Gamma _ {N-1} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N -1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots,a_{N})\ .}$

Nieskończona reprezentacja produktu

Wielokrotna funkcja gamma ma nieskończoną reprezentację iloczynu, co pokazuje, że jest meromorficzna, a także ujawnia pozycje jej biegunów. W przypadku podwójnej funkcji gamma jest to reprezentacja

${\ Displaystyle \ Gamma _ {2} (w \ mid a_ {1}, a_ {2}) = {\ Frac {e ^ {\ lambda _ {1} w + \ lambda _ {2} w ^ {2}} }{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2 })\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{ \frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+ {\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

gdzie definiujemy $-niezależne$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = - {\ underset {s = 1} {\ operatorname {Res} _ {0} }}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {2} = {\ Frac {1} {2}} {\ underset {s = 2} {\ nazwa operatora {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2} {\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ underset {s = s_ {0}} {\ operatorname {Res } _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f( s) \, ds}$ jest $rzędu$ w ${\ displaystyle s_ {0}}$ .

Redukcja do funkcji G Barnesa

Podwójna funkcja gamma z parametrami jest zgodna z relacjami ${\ displaystyle 1,1}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {2} (w + 1 | 1,1) = {\ Frac {\ sqrt {2 \ pi}} {\ Gamma (w)}} \ Gamma _ {2} (w | 1, 1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi}}\ .}$

Jest to związane z funkcją G Barnesa przez

${\ Displaystyle \ Gamma _ {2} (w | 1,1) = {\ Frac {(2 \ pi) ^ {\ Frac {w} {2}}} {G (w)}} \ .}$

Podwójna funkcja gamma i konforemna teoria pola

Dla funkcji ${\ Displaystyle \ Re b> 0}$ i ${\ Displaystyle Q = b + b ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {b} (w) = {\ Frac {\ Gamma _ {2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right) }}\ ,}$

jest niezmiennikiem pod ${\ Displaystyle b \ do b ^ {- 1}}$ i przestrzega relacji

${\ Displaystyle \ Gamma _ {b} (w + b) = {\ sqrt {2 \ pi}}} {\ Frac {b ^ {bw- {\ Frac {1} {2}}}} {\ Gamma (mc) )}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi}}{\frac {b^{ -b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

Dla ${\ displaystyle \ Re w> 0}$ ma reprezentację całkową

${\ Displaystyle \ log \ Gamma _ {b} (w) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {dt} {t}} \ lewo [{\ Frac {e ^ {-wt} - e^{-{\frac {Q}{2}}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}- w}{t}}\prawo]\ .}$

Z funkcji definiujemy ${\ Displaystyle \ Upsilon _ {b} (w)}$ funkcję sinusoidalną i funkcję Upsilon ${\ Displaystyle S_ {b} (w)} Γ b ( w ) {$$b} (w)}$ przez

${\ Displaystyle S_ {b} (w) = {\ Frac {\ Gamma _ {b} (w)} {\ Gamma _ {b} (Qw)}} \ quad, \ quad \ Upsilon _ {b} (w )={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Qw)}}\ .}$

Funkcje te są zgodne z relacjami

${\ Displaystyle S_ {b} (w + b) = 2 \ sin (\ pi bw) S_ {b} (w) \ quad, \ quad \ Upsilon _ {b} (w + b) = {\ frac { \Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}$

plus relacje, które są uzyskiwane przez ${\ Displaystyle b \ do b ^ {- 1}}$ . Dla ${\ Displaystyle 0 <\ Re w <\ Re Q}$ mają reprezentacje całkowe

${\ Displaystyle \ log S_ {b} (w) = \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {dt} {t}} \ lewo [{\ Frac {\ sinh \ lewo ({\ frac { Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b ^{-1}t\right)}} - {\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\ Displaystyle \ log \ Upsilon _ {b} (w) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {dt} {t}} \ lewo [\ lewo ({\ Frac {Q} {2 }}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2} }-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t \prawo)}}\prawo]\ .}$

Funkcje i pojawiają się w funkcjach korelacji dwuwymiarowej konforemnej teorii pola ${\ Displaystyle \ Gamma _ {b}, S_ {b}}$ Υ $Displaystyle \ Upsilon _ {b}}$ \ ${\ displaystyle b}$ jest powiązany z centralnym ładunkiem podstawowej algebry Virasoro . W szczególności funkcja trzypunktowa teorii Liouville'a jest zapisana w kategoriach funkcji ${\ displaystyle \ Upsilon _ {b}}$ .

Dalsza lektura

• Barnes, EW (1899), „Geneza podwójnych funkcji gamma” , Proc. Matematyka Londynu. soc. , s1-31: 358–381, doi : 10.1112/plms/s1-31.1.358
•     Barnes, EW (1899), „Teoria podwójnej funkcji gamma”, Proceedings of the Royal Society of London , 66 (424–433): 265–268, doi : 10.1098 / rspl.1899.0101 , ISSN 0370-1662 , JSTOR 116064 , S2CID 186213903
•    Barnes, EW (1901), „Teoria podwójnej funkcji gamma”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Seria A, zawierająca dokumenty o charakterze matematycznym lub fizycznym , 196 (274–286): 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN 0264-3952 , JSTOR 90809
• Barnes, EW (1904), „O teorii wielokrotnej funkcji gamma”, tłum. Camb. Filoz. soc. , 19 : 374–425
•    Friedman Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), „Funkcje zeta i gamma Shintaniego – Barnesa”, Advances in Mathematics , 187 (2): 362–395, doi : 10.1016 / j.aim.2003.07.020 , ISSN 0001-8708 , MR 2078341
•    Ruijsenaars, SNM (2000), „O wielu funkcjach zeta i gamma Barnesa” , Advances in Mathematics , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006 / aima.2000.1946 , ISSN 0001-8708 , MR 1800255