Funkcja G Barnesa

Wykres funkcji podwójnej gamma Barnesa G(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

W matematyce funkcja G Barnesa G ( z ) jest funkcją , która jest rozszerzeniem superczynników na liczby zespolone . Jest powiązany z funkcją gamma , funkcją K i stałą Glaishera-Kinkelina i został nazwany na cześć matematyka Ernesta Williama Barnesa . Można to zapisać w kategoriach podwójnej funkcji gamma .

G Barnesa jest zdefiniowana w następującej postaci iloczynu Weierstrassa :

${\ Displaystyle G (1 + z) = (2 \ pi) ^ {z / 2} \ exp \ lewo (- {\ Frac {z + z ^ {2} (1 + \ gamma)} {2}} \ prawo)\,\prod _{k=1}^{\infty}\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\ frac {z^{2}}{2k}}-z\prawo)\prawo\}}$

gdzie ${\ Displaystyle \, \ gamma}$ jest stałą Eulera-Mascheroniego , exp ( x ) = e ^x jest funkcją wykładniczą, a Π oznacza mnożenie ( wielkie litery pi ).

Jako cała funkcja G jest rzędu drugiego i typu nieskończonego . Można to wywnioskować z podanego poniżej rozwinięcia asymptotycznego.

Funkcja G Barnesa wzdłuż części osi rzeczywistej

Równanie funkcyjne i argumenty całkowite

G Barnesa spełnia równanie funkcyjne

${\ Displaystyle G (z + 1) = \ Gamma (z) \, G (z)}$

z normalizacją G (1) = 1. Zwróć uwagę na podobieństwo między równaniem funkcyjnym funkcji G Barnesa i funkcji gamma Eulera :

${\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = Z \, \ Gamma (z).}$

Z równania funkcjonalnego wynika, że ​​G przyjmuje następujące wartości jako argumenty całkowite :

${\ Displaystyle G (n) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i {\ tekst {jeśli}} n = 0, -1, -2, \ kropki \\\ prod _ {i = 0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{przypadki}}}$

(w szczególności ${\ Displaystyle \, G (0) = 0, G (1) = 1}$ )

${\ Displaystyle G (n) = {\ Frac {(\ Gamma (n)) ^ {n-1}} {K (n)} }}$

gdzie oznacza funkcję gamma $,$ a K oznacza funkcję K. } Równanie funkcjonalne jednoznacznie definiuje funkcję G, jeśli warunek wypukłości,

${\ Displaystyle \, {\ Frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} G (x) \ geq 0}$

jest dodany. Dodatkowo funkcja Barnesa G spełnia wzór na duplikację,

${\ Displaystyle G (x) G \ lewo (x + {\ Frac {1} {2}} \ prawo) ^ {2} G (x + 1) = e ^ {\ Frac {1} {4}} A ^ {-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\ Prawidłowy)}$

Charakteryzacja

Podobnie jak w przypadku twierdzenia Bohra-Mollerupa dla funkcji gamma , dla stałej mamy dla $sol$${\ Displaystyle f (x) = cG$

${\ Displaystyle f (x + 1) = \ Gamma (x) f (x)}$

i dla ${\ displaystyle x> 0}$

${\ Displaystyle f (x + n) \ sim \ Gamma (x) ^ {n} n ^ {x \ wybierz 2} f (N)}$

jak ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ .

Wartość na 1/2

${\ Displaystyle G \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ prawo) = 2 ^ {\ Frac {1} {24}} e ^ {{\ Frac {3} {2}} \ zeta '( -1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Formuła odblaskowa 1.0

Równanie różnicowe dla funkcji G, w połączeniu z równaniem funkcyjnym dla funkcji gamma , może być użyte do uzyskania następującego wzoru odbicia dla funkcji G Barnesa (pierwotnie udowodnionego przez Hermanna Kinkelina ):

${\ Displaystyle \ log G (1-z) = \ log G (1 + z) -z \ log 2 \ pi + \ int _ {0} ^ {z} \ pi x \ łóżeczko \ pi x \, dx. }$

Całkę logarytmiczną styczną po prawej stronie można ocenić za pomocą funkcji Clausena (rzędu 2), jak pokazano poniżej:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ log \ lewo ({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\ po prawej)+\nazwa operatora {Cl} _{2}(2\pi z)}$

$,$ zależy od następującej oceny całki cotangens: wprowadzenie notacji ${\ Displaystyle \, (d / dx) \ log (\ sin \ pi x) = \ pi \ łóżeczko \ pi x} daje całkowanie$ cotangens i wykorzystanie faktu przez części

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Lc} (z) & = \ int _ {0} ^ {z} \ pi x \ łóżeczko \ pi x \, dx \\& = z \ log (\ sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{ z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0 }^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \, y = 2 \ pi x \ Strzałka w prawo dx = dy / (2 \ pi$ re )

${\ Displaystyle Z \ log (2 \ sin \ pi z) - {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi z} \ log \ lewo (2 \ sin {\ frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

Funkcja Clausena – drugiego rzędu – ma reprezentację całkową

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {2} (\ teta) = - \ int _ {0} ^ {\ teta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {2}} \Bigg |}\,dx.}$

Jednak w przedziale znak wartości bezwzględnej w całce $funkcji$ pominąć , „ półsinus” w jest ściśle dodatnia i ściśle różna od zera. Porównując tę ​​definicję z powyższym wynikiem dla całki log tangens, wyraźnie zachodzi następująca zależność:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Lc} (z) = z \ log (2 \ sin \ pi z) + {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ nazwa operatora {Cl} _ {2} (2 \ pi z ).}$

Tak więc, po niewielkim przestawieniu terminów, dowód jest zakończony:

${\ Displaystyle 2 \ pi \ log \ lewo ({\ Frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} \ prawej) = 2 \ pi z \ log \ lewo ({\ frac {\ sin \pi z}{\pi }}\right)+\nazwa_operatora {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Korzystając z relacji ${\ Displaystyle \, G (1 + z) = \ Gamma (z) \, G (z)}$ i dzieląc wzór odbicia przez współczynnik z ${\ Displaystyle \, 2 \ pi}$ daje równoważną formę:

${\ Displaystyle \ log \ lewo ({\ Frac {G (1-z)} {G (z)}} \ prawej) = z \ log \ lewo ({\ Frac {\ sin \ pi z} {\ pi} }\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Ref: patrz Adamchik poniżej, aby uzyskać równoważną formę wzoru na odbicie , ale z innym dowodem.

Odblaskowa formuła 2.0

Zastąpienie z przez (1/2) - z'' w poprzednim wzorze na odbicie daje, po pewnym uproszczeniu, równoważny wzór pokazany poniżej (z udziałem wielomianów Bernoulliego ):

${\ Displaystyle \ log \ lewo ({\ Frac {G \ lewo ({\ Frac {1} {2}} + z \ prawej)} {G \ lewo ({\ Frac {1} 2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi + {\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Rozwinięcie szeregu Taylora

Z twierdzenia Taylora i biorąc pod uwagę pochodne logarytmiczne funkcji Barnesa, można otrzymać następujące rozwinięcie szeregu:

${\ Displaystyle \ log G (1 + z) = {\ Frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - \ lewo ({\ Frac {z + (1+ \ gamma) z ^ {2}} {2 }}\right)+\sum _{k=2}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1} .}$

Jest ważny dla ${\ displaystyle \, 0 <z <1}$ . Tutaj jest funkcją Riemanna Zeta : ${\ Displaystyle \, \ zeta (x)}$

${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {s}}}.}$

Potęgowanie obu stron rozwinięcia Taylora daje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (1 + z) & = \ exp \ lewo [{\ Frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - \ lewo ({\ Frac {z + (1+ \ gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+ 1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2} }{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}} z^{k+1}\right].\end{wyrównane}}}$

Porównanie tego z postacią iloczynu Weierstrassa funkcji Barnesa daje następującą zależność:

${\ Displaystyle \ exp \ lewo [\ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} {\ Frac {\ zeta (k)}} {k + 1}} z ^ {k + 1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left( {\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Formuła mnożenia

Podobnie jak funkcja gamma, funkcja G ma również wzór na mnożenie:

${\ Displaystyle G (nz) = K (n) n ^ {n ^ {2} z ^ {2}/2-nz} (2 \ pi) ^ {- {\ Frac {n ^ {2} -n} {2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n} }\Prawidłowy)}$

gdzie ${\ Displaystyle K (n)}$ jest stałą określoną wzorem: K. ( n ) {\ Displaystyle K (n)}

${\ Displaystyle K (n) = e ^ {- (n ^ {2} -1) \ zeta ^ {\ pierwsza} (-1)} \ cdot n ^ {\ Frac {5} {12}} \ cdot ( 2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^ {\frac {5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.}$

Tutaj $zeta$ pochodną funkcji Riemanna i $jest$ - Kinkelina .

Całkowita wartość

Prawdą jest, że ${\ Displaystyle G ({\ overline {z}}) = {\ overline {G (z)}}}$ , więc ${\ Displaystyle | G (z) | ^ {2} = G (z) G ({\ overline {z}})}$ . Z tej zależności oraz z przedstawionej powyżej formy iloczynu Weierstrassa można to wykazać

${\ Displaystyle | G (x + iy) | = | G (x) | \ exp \ lewo (y ^ {2} {\ Frac {1+ \ gamma} {2}} \ prawo) {\ sqrt {1+ {\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty}\left(1+{\frac {y^{2 }}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

$_$ relacja _ ${\ Displaystyle y \ w \ mathbb {R}}$ . Jeśli ${\ displaystyle x = 0}$ , zamiast tego obowiązuje poniższa formuła:

${\ Displaystyle | G (iy) | = y \ exp \ lewo (y ^ {2} {\ Frac {1+ \ gamma} {2}} \ prawo) {\ sqrt {\ prod _ {k = 1} ^ {\infty}\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2 }}{k}}\prawo)}}}$

dla dowolnego rzeczywistego y .

Ekspansja asymptotyczna

Logarytm G ( z + 1) ma następującą ekspansję asymptotyczną, ustaloną przez Barnesa :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ log G (z + 1) = {} i {\ Frac {Z ^ {2}} {2}} \ log Z - {\ Frac {3z ^ {2}} { 4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12 }}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} }~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{wyrównane}}}$

Tutaj ${\ displaystyle B_ {k}}$ to liczby Bernoulliego $to stała$ a Glaishera -Kinkelina . (Zauważ ${\ Displaystyle (-1) ^ {$ że nieco myląco w czasach Barnesa liczba Bernoulliego zostałaby zapisana jako $b$$aktualna$ .) To rozwinięcie obowiązuje dla sektora niezawierającego ujemnej osi rzeczywistej z ${\ displaystyle | z|}$ duży.

Związek z całką loggamma

Parametryczną Loggammę można ocenić w kategoriach funkcji G Barnesa (zob. ten wynik znajduje się w Adamchik poniżej, ale podany bez dowodu):

${\ Displaystyle \ int _ {0 }^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\ log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

Dowód jest nieco pośredni i obejmuje najpierw rozważenie logarytmicznej różnicy funkcji gamma i funkcji G Barnesa:

${\ Displaystyle z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z)}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z}\prod _{k=1}^{\infty}\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\} }$

i jest stałą $Mascheroniego$ – .

Biorąc logarytm postaci iloczynu Weierstrassa funkcji Barnesa i funkcji gamma, otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z) = - z \ log \ lewo ({\ Frac {1} {\ Gamma ( z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[ 5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}} -{\frac {z^{2}\gamma}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty}{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z }{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{wyrównane}}}$

Niewielkie uproszczenie i zmiana kolejności terminów daje rozwinięcie serii:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Bigg \ {} (k + z) \log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={ }&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2} }-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{wyrównane}}}$

Na koniec weź logarytm postaci iloczynu Weierstrassa funkcji gamma i zintegruj po przedziale, aby otrzymać: ${\ Displaystyle \, [0, \, z]}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = - \ int _ {0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log zz)} -{\frac {z^{2}\gamma}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty}{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{ \frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{wyrównane}}}$

Zrównanie dwóch ocen kończy dowód:

${\ Displaystyle \ int _ {0 }^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\ log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

A ponieważ $) \, G (z)}$ z

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = {\ Frac {z (1-z)}} {2}} + {\ Frac {z} {2}} \log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}$

•    Askey, RA; Roy, R. (2010), „Funkcja G Barnesa” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

• Adamchik, Viktor S. (2003). „Wkład w teorię funkcji Barnesa”. arXiv : matematyka/0308086 .