K -funkcja

Aby zapoznać się z funkcją k , zobacz Funkcja Batemana .

W matematyce funkcja K funkcję , zwykle oznaczana jako K ( z ), jest uogólnieniem funkcji hipersilni na liczby zespolone , podobnie jak uogólnienie silni na gamma .

Definicja

Formalnie funkcja K jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle K (z) = (2 \ pi) ^ {- {\ Frac {z-1} {2}}} \ exp \ lewo [{\ binom {z} {2}} + \ int _ {0 }^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}$

Można go również podać w formie zamkniętej, np

${\ Displaystyle K (z) = \ exp {\ bigl [} \ zeta '(-1, z) -\ zeta '(-1){\bigr ]}}$

gdzie ζ ′( z ) oznacza pochodną funkcji zeta Riemanna , ζ ( a , z ) oznacza funkcję zeta Hurwitza i

${\ Displaystyle \ zeta '(a, z) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ \ lewo. {\ Frac {\ częściowe \ zeta (s, z)} {\ częściowe s}} \right|_{s=a}.}$

Innym wyrażeniem wykorzystującym funkcję polygamma jest

${\ Displaystyle K (z) = \ exp \ lewo [\ psi ^ {(-2 )}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]}$

Lub używając zrównoważonego uogólnienia funkcji polygamma :

${\ Displaystyle K (z) = A \ exp \ lewo [\ psi (-2, z) + {\ Frac { z^{2}-z}{2}}\right]}$

gdzie A jest stałą Glaishera .

Podobnie jak twierdzenie Bohra-Mollerupa dla funkcji Gamma , funkcja logarytmu K jest unikalnym (aż do stałej addytywnej) ostatecznie 2-wypukłym rozwiązaniem równania $\ ln (x)}$${\ Displaystyle \Delta f (x) =$$przednim$ gdzie jest operatorem różnicowym.

Nieruchomości

Można pokazać, że dla α > 0 :

${\ Displaystyle \ int _ {\ alfa} ^ {\ alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2} \left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Można to pokazać, definiując funkcję f taką, że:

${\ Displaystyle f (\ alfa) = \ int _ {\ alfa} ^ {\ alfa + 1} \ ln K (x) \, dx }$

Zróżnicowanie tej tożsamości teraz w odniesieniu do wydajności α :

${\ Displaystyle f '(\ alfa) = \ ln K (\ alfa + 1) - \ ln K (\ alfa)}$

Stosując regułę logarytmu, którą otrzymujemy

${\ Displaystyle f '(\ alfa) = \ ln {\ Frac {K (\ alfa + 1)} {K (\ alfa)}} }$

Z definicji funkcji K piszemy

${\ Displaystyle f '(\ alfa) = \ alfa \ ln \ alfa}$

A więc

${\ Displaystyle f (\ alfa) = {\ tfrac {1} {2}} \ alfa ^ {2} \ lewo (\ ln \ alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)+C}$

Ustawienie α = 0 mamy

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ ln K (x )\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\ prawo)\prawo]+C\ =C}$

Teraz można wywnioskować powyższą tożsamość.

Funkcja K jest ściśle związana z funkcją gamma i funkcją G Barnesa ; dla liczb naturalnych n mamy

${\ Displaystyle K (n) = {\ Frac {{\ bigl (} \ Gamma (n) {\ bigr)} ^ {n-1}} {G (n)}}.}$

Można napisać bardziej prozaicznie

${\ Displaystyle K (n + 1) = 1 ^ {1} \ cdot 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {3} \ cdots n ^ {n}.}$

Pierwsze wartości to

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sekwencja A002109 w OEIS ).

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Funkcja K” . MathWorld .