Zrównoważona funkcja poligamma

W matematyce uogólniona funkcja poligamma lub zrównoważona funkcja negapolygamma to funkcja wprowadzona przez Oliviera Espinosa Aldunate i Victora Hugo Molla .

Uogólnia funkcję poligammy na rząd ujemny i ułamkowy, ale pozostaje jej równa dla rzędów całkowitych dodatnich.

Definicja

Uogólniona funkcja poligamma jest zdefiniowana w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ psi (z, q) = {\frac {\zeta '(z+1,q)+{\bigl (}\psi (-z)+\gamma {\bigr)}\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z )}}}$

lub alternatywnie,

${\ Displaystyle \ psi (z, q) = e ^ {- \ gamma z}{\frac {\częściowy }{\częściowy z}}\left(e^{\gamma z}{\frac {\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z)}}\right )}$

gdzie ψ ( z ) to funkcja Polygamma , a ζ ( z , q ) to funkcja zeta Hurwitza .

Funkcja jest zrównoważona, czyli spełnia warunki

${\ Displaystyle f (0) = f (1) \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ int _ {0} ^ {1 }f(x)\,dx=0}$ .

Relacje

Kilka funkcji specjalnych można wyrazić za pomocą uogólnionej funkcji poligammy.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi (x) i = \ psi (0,x)\\\psi ^{(n)}(x)&=\psi (n,x)\qquad n\in \mathbb {N} \\\Gamma (x)&=\exp \ left(\psi (-1,x)+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi \right)\\\zeta (z,q)&={\frac {\Gamma (1-z) )}{\ln 2}}\left(2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (z-1,q)\right)\\\zeta '(-1,x)&=\psi (- 2,x)+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{12}}\\B_{n}(q) &=-{\frac {\Gamma (n+1)}{\ln 2}}\left(2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q+1}{2} }\right)+2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (-n,q)\right)\end{wyrównane} }}$

gdzie B _n ( q ) to wielomiany Bernoulliego

${\ Displaystyle K (z) = A \ exp \ lewo (\ psi (-2, z) + {\ Frac { z^{2}-z}{2}}\prawo)}$

gdzie K ( z ) to funkcja K , a A to stała Glaishera .

Specjalne wartości

Zrównoważoną funkcję poligammy można wyrazić w postaci zamkniętej w pewnych punktach (gdzie A to stała Glaishera , a G to stała katalońska ):

${\ Displaystyle {\begin{wyrównane}\psi \left(-2,{\tfrac {1}{4}}\right)&={\tfrac {1}{8}}\ln 2\pi +{\tfrac {9 }{8}}\ln A+{\frac {G}{4\pi}}&&\\\psi \left(-2,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac { 1}{4}}\ln \pi +{\tfrac {3}{2}}\ln A+{\tfrac {5}{24}}\ln 2&\\\psi \left(-3,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\ln 2\pi +{\tfrac {1}{2}}\ln A+{\frac {7\zeta (3 )}{32\pi ^{2}}}\\\psi (-2,1)&={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi &\\\psi (-3,1) &={\tfrac {1}{4}}\ln 2\pi +\ln A\\\psi (-2,2)&=\ln 2\pi -1&\\\psi (-3,2) &=\ln 2\pi +2\ln A-{\tfrac {3}{4}}\\\end{wyrównane}}}$