Stała Glaishera-Kinkelina

W matematyce stała Glaishera -Kinkelina lub stała Glaishera , zwykle oznaczana jako A , jest stałą matematyczną związaną z funkcją K i funkcją G Barnesa . Stała pojawia się w wielu sumach i całekach , zwłaszcza tych obejmujących funkcje gamma i funkcje zeta . Jej nazwa pochodzi od matematyków Jamesa Whitbread Lee Glaishera i Hermanna Kinkelina .

Jego przybliżona wartość to:

A = 1,282 427 129 100 622 636 87 ... (sekwencja A074962 w OEIS ).

Stałą Glaishera-Kinkelina A można określić jako granicę :

${\ Displaystyle A = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ Frac {H (n)}} n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac { n^{2}}{4}}}}}}$

gdzie H ( n ) = Π
ⁿ _{k = 1} k ^k jest hiperczynnikiem . Ta formuła wykazuje podobieństwo między A i π , co być może najlepiej ilustruje wzór Stirlinga :

${\ Displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}} = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n!} {n ^ {n + {\ frac {1} 2}}}\,e^{-n}}}}$

co pokazuje, że tak jak π uzyskuje się z przybliżenia silni , A można również uzyskać z podobnego przybliżenia do hipersilni.

Równoważna definicja dla A uwzględniająca funkcję G Barnesa , dana przez G ( n ) = Π
^{n −2} _{k =1} k ! = [Γ( n )] ^{n −1} / K ( n ) gdzie Γ( n ) to funkcja gamma to:

${\ Displaystyle A = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}} \frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12} }}e^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}$ .

Stała Glaishera-Kinkelina pojawia się również w ocenach pochodnych funkcji zeta Riemanna , takich jak:

${\ Displaystyle \ zeta '(-1) = {\ tfrac {1} {12}} - \ ln A}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {\ ln k} {k ^ {2}}} = - \ zeta '(2) = {\ Frac {\ pi ^ {2 }}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right)}$

gdzie γ jest stałą Eulera – Mascheroniego . Ta ostatnia formuła prowadzi bezpośrednio do następującego produktu znalezionego przez Glaishera :

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {\ Frac {1} {k ^ {2} }}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Alternatywna formuła produktu, zdefiniowana na liczbach pierwszych , brzmi

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} p_ {k} ^ {\ Frac {1} {p_ {k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma}}},}$

gdzie p _k oznacza k -tą liczbę pierwszą .

Poniżej przedstawiono niektóre całki, które obejmują tę stałą:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Frac {1} {2}} \ ln \Gamma (x)\,dx={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \ pi }$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {x \ ln x} {e ^ {2 \ pi x }-1}}\,dx={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A}$

Szeregowa reprezentacja tej stałej wynika z szeregu funkcji zeta Riemanna podanego przez Helmuta Hassego .

${\ Displaystyle \ ln A = {\ tfrac {1} {8}} - {\ tfrac {1} {2}} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 1}}\suma _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}$

•   Guillera, Jezus; Sondow, Jonathan (2008). „Całki podwójne i iloczyny nieskończone dla niektórych stałych klasycznych poprzez analityczne kontynuacje transcendencji Lercha”. Dziennik Ramanujana . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID 14910435 .
•   Guillera, Jezus; Sondow, Jonathan (2008). „Całki podwójne i iloczyny nieskończone dla niektórych stałych klasycznych poprzez analityczne kontynuacje transcendencji Lercha”. Dziennik Ramanujana . 16 (3): 247–270. arXiv : matematyka/0506319 . doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID 14910435 . (Zapewnia różnorodne relacje.)
• Weisstein, Eric W. „Stała Glaishera – Kinkelina” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Funkcja Zeta Riemanna” . MathWorld .

Linki zewnętrzne

• Stała Glaishera-Kinkelina do 20 000 miejsc po przecinku