Liczba około 0,916
W matematyce stała katalońska G jest zdefiniowana przez
sol = β ( 2 ) =
∑
n =
0
∞
( - 1
)
n
( 2 n + 1
)
2
=
1
1
2
-
1
3
2
+
1
5
2
-
1
7
2
+
1
9
2
- ⋯ ,
{\ Displaystyle G =\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac { 1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^ {2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}
gdzie β jest funkcją beta Dirichleta . Jego wartość liczbowa wynosi w przybliżeniu (sekwencja A006752 OEIS )
G = 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774
Nierozwiązany problem z matematyki :
Czy stała katalońska jest irracjonalna? Jeśli tak, to czy jest to transcendentalne?
Nie wiadomo, czy G jest irracjonalne , nie mówiąc już o transcendentalnym . G została nazwana „prawdopodobnie najbardziej podstawową stałą, której irracjonalność i transcendencja (choć mocno podejrzewana) pozostają nieudowodnione”.
Stała katalońska została nazwana na cześć Eugène'a Charlesa Catalana , który znalazł szybko zbieżne serie do swoich obliczeń i opublikował na jej temat wspomnienie w 1865 roku.
Używa
W topologii niskowymiarowej stała katalońska wynosi 1/4 objętości idealnego ośmiościanu hiperbolicznego , a zatem 1/4 objętości hiperbolicznej dopełnienia łącza Whiteheada . Jest to 1/8 objętości dopełnienia pierścieni boromejskich .
W kombinatoryce i mechanice statystycznej powstaje w związku z liczeniem kostek domina , drzewami rozpinającymi i cyklami hamiltonowskimi grafów siatkowych .
W teorii liczb
stała katalońska
pojawia się w domniemanym wzorze na asymptotyczną liczbę
liczb
hipotezą Hardy'ego
i
Littlewooda F . Jednak nierozwiązanym problemem (jeden z problemów Landaua ) jest to, czy istnieje nawet nieskończenie wiele liczb pierwszych tej postaci.
Stała Catalana pojawia się również w obliczeniach rozkładu masy galaktyk spiralnych .
Znane cyfry
Liczba znanych cyfr katalońskiej stałej G dramatycznie wzrosła w ciągu ostatnich dziesięcioleci. Wynika to zarówno ze wzrostu wydajności komputerów, jak iz ulepszeń algorytmicznych.
Liczba znanych cyfr dziesiętnych stałej katalońskiej G
Data
Cyfry dziesiętne
Obliczenia wykonane przez
1832
16
Tomasza Clausena
1858
19
Carla Johana Danielssona Hilla
1864
14
Katalończyk Eugène Charles
1877
20
Jamesa WL Glaishera
1913
32
Jamesa WL Glaishera
1990
000 Greg J. Opłata
1996
000 Greg J. Opłata
14 sierpnia 1996
000 Greg J. Fee i Simon Plouffe
29 września 1996
000 Tomasza Papanikolaou
1996
500 000 Tomasza Papanikolaou
1997
379 957 Patryk Demichel
4 stycznia 1998
500 000 Xaviera Gourdona
2001
000 500 Xaviera Gourdona i Pascala Sebaha
2002
000 000 Xaviera Gourdona i Pascala Sebaha
październik 2006
000 000 000 Shigeru Kondo i Steve'a Pagliarulo
sierpień 2008
000 000 000 Shigeru Kondo i Steve'a Pagliarulo
31 stycznia 2009 r
510 000 000 Alexander J. Yee i Raymond Chan
16 kwietnia 2009
026 000 000 Alexander J. Yee i Raymond Chan
7 czerwca 2015 r
000 001 100 Roberta J. Settiego
12 kwietnia 2016 r
000 000 000 Rona Watkinsa
16 lutego 2019 r
000 000 000 Tiziana Hanselmanna
29 marca 2019 r
000 000 000 Mike A i Ian Cutress
16 lipca 2019 r
000 000 100 Seungmin Kim
6 września 2020 r
000 000 001 337 Andrzej Słońce
9 marca 2022 r
200 000 000 100 Seungmin Kim
Tożsamości integralne
Jak pisze Seán Stewart: „Istnieje bogate i pozornie nieskończone źródło całek oznaczonych, które można zrównać lub wyrazić w kategoriach stałej katalońskiej”. Niektóre z tych wyrażeń obejmują:
sol
= -
1
π ja
0
∫
π 2
ln ln dębnik x ln
=
x re x
sol
dębnik
∬
0
[ , 1
]
2
1
1 +
x
2
y
2
x re y sol
=
0
∫
1
0
∫
1 -
re
1
1 -
x
2
-
y
2
re y re x
x
sol
=
∫
1
∞
ln t
1 +
t
2
re t
sol
= -
0
∫
1
ln t
1 +
t
2
re t
sol
=
1 2
0
∫
π 2
t
grzech t
re t
sol
=
0
∫
π 4
ln łóżko polowe t re t
sol
=
1 2
0
∫
π 2
ln
(
sek t + dębnik t
)
re t
sol
=
0
∫
1
arccos t
1 +
t
2
re t
sol
=
0
∫
1
arcsinh t
1 -
t
2
re t
sol
=
1 2
0
∫
∞
arctan t
t
1 +
t
2
re t
sol
=
0
∫
∞
arccot
mi
t
re t
sol
=
1 4
0
∫
π
2
/
4
csc
t
re t
sol
=
1 16
(
π
2
+ 4
∫
1
∞
arccsc
2
t re t
)
sol
=
1 2
0
∫
∞
t
kos t
re t
sol
=
π 2
∫
1
∞
(
t
4
- 6
t
2
+ 1
)
ln ln t
(
1 +
t
2
)
3
re t
sol
=
1 2
0
∫
∞
arcsin
(
grzech t
)
t
re t
{
0
∫
α
(
1 + 6
t
2
sol
t
4
)
arctan
t
t
(
1 -
t
2
)
2
re t + 2 artanh
α
-
π α
1 -
α
2
}
= 1 +
lim
α →
1
-
+
sol
= 1 -
1 8
∬
R
2
x grzech
(
2 x y
/
π
)
(
x
2
+
π
2
)
pałka x sinh y
re x re y
sol
=
0
∫
∞
0
∫
∞
x
4
(
x
y
- 1
)
( x + 1
)
2
y
4
( y + 1
)
2
log ( x y )
re x re r
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G & = - {\ Frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} \ ln \ ln \ tan x \ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2} }}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2 }-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}} }\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&= {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&= \int _{0}^{\frac {\pi}{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^ {\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\ arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\ sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty}{\frac {\arctan t }{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\ ,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\ ,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty}\operatorname {arccsc} ^{2} t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty}{\frac {t}{\cosh t}}\,dt \\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty}{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\ prawo)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty}{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to { 1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha}\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\ arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha}-{\frac {\pi \alpha} {1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\! \!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,} }\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty}{\frac {{\sqrt[{4}]{x }}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+ 1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{wyrównane}}}
gdzie ostatnie trzy wzory odnoszą się do całek Malmstena .
Jeśli K( k ) jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju , jako funkcja modułu eliptycznego k
sol =
1 2
0
∫
1
K.
( k ) re k
{\ Displaystyle G = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {K} (k) \, dk}
Jeśli E( k ) jest zupełną całką eliptyczną drugiego rodzaju , jako funkcja modułu eliptycznego k
sol = -
1 2
+
0
∫
1
mi
( k ) re k
{\ Displaystyle G = - {\ tfrac {1} {2}} + \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {E} (k) \ ,dk}
Z funkcją gamma Γ( x + 1) = x !
sol
=
π 4
0
∫
1
Γ
(
1 +
x 2
)
Γ
(
1 -
x 2
)
re x
=
π 2
0
∫
1 2
Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 - y ) re r
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane }G&={\frac {\pi}{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1 -{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\ Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{wyrównane}}}
Całka
sol =
Ti
2
( 1 ) =
0
∫
1
arctan t
t
re t
{\ Displaystyle G = \ operatorname {Ti} _ {2} (1) = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {\ arctan t}{t}}\,dt}
jest znaną funkcją specjalną, zwaną
odwrotną całką styczną , i była szeroko badana przez
Srinivasa Ramanujana .
Stosunek do innych funkcji specjalnych
G pojawia się w wartościach drugiej funkcji poligamma , zwanej także funkcją trygamma , przy argumentach ułamkowych:
ψ
1
(
1 4
)
=
π
2
+ 8 sol
ψ
1
(
3 4
)
=
π
2
- 8 sol .
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi _ {1} \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) & = \ pi ^ {2} + 8G \\\ psi _ {1} \ left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{wyrównane}}}
Simon Plouffe podaje nieskończony zbiór tożsamości między funkcją trygamma, π 2 i stałą katalońską; można je wyrazić jako ścieżki na wykresie.
Stała katalońska występuje często w odniesieniu do funkcji Clausena , całki odwrotnej stycznej , całki odwrotnej sinusoidalnej , funkcji G Barnesa , a także całek i szeregów sumowalnych pod względem wyżej wymienionych funkcji.
Jako szczególny przykład, wyrażając najpierw całkę styczną odwrotną w jej postaci zamkniętej - za pomocą funkcji Clausena - a następnie wyrażając te funkcje Clausena za pomocą funkcji G Barnesa , uzyskuje się następujące wyrażenie ( więcej w funkcji Clausena ) :
sol = 4 π log
(
sol
(
3 8
)
sol
(
7 8
)
sol
(
1 8
)
sol
(
5 8
)
)
+ 4 π log
(
Γ
(
3 8
)
Γ
(
1 8
)
)
+
π 2
log
(
1 +
2
2
(
2 -
2
)
)
.
{\ Displaystyle G = 4 \ pi \ log \ lewo ({\ Frac {G \ lewo ({\ Frac {3} {8}} \ prawo) G \ lewo ({\ Frac {7} {8}} \ prawo )}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left ({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{ \frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right ).}
Jeśli zdefiniujemy transcendent Lercha Φ( z , s , α ) (związany z funkcją zeta Lercha ) przez
Φ ( z , s , α ) =
∑
n =
0
∞
z
n
( n + α
)
s
,
{\ Displaystyle \ Phi (z, s, \ alfa) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty}} \frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},}
Następnie
sol =
1 4
Φ
(
- 1 , 2 ,
1 2
)
.
{\ Displaystyle G = {\ tfrac {1} {4}} \ Phi \ lewo (-1,2, {\ tfrac {1} {2}} \ prawo).}
Szybko zbieżne szeregi
Następujące dwa wzory obejmują szybko zbieżne szeregi i dlatego są odpowiednie do obliczeń numerycznych:
sol
= 3
∑
n =
0
∞
1
2
4 n
(
-
1
2 ( 8 n + 2
)
2
+
1
2
2
( 8 n + 3
)
2
-
1
2
3
( 8 n + 5
)
2
+
1
2
3
( 8 n + 6
)
2
-
1
2
4
( 8 n + 7
)
2
+
1
2 ( 8 n + 1
)
2
)
-
- 2
∑
n =
0
∞
1
2
12 n
(
1
2
4
( 8 n + 2
)
2
+
1
2
6
( 8 n + 3
)
2
-
1
2
9
( 8 n + 5
)
2
-
1
2
10
( 8 n + 6
)
2
-
1
2
12
( 8 n + 7
)
2
+
1
2
3
( 8 n + 1
)
2
)
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G & = 3 \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {4n}}} \ lewo (- {\ frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2 ^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{ 4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\suma _{n= 0}^{\infty}{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\ frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac { 1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1} {2^{3}(8n+1)^{2}}}\prawo)\end{wyrównane}}}
I
sol =
π 8
log
(
2 +
3
)
+
3 8
∑
n =
0
∞
1
( 2 n + 1
)
2
(
2 n
n
)
.
{\ Displaystyle G = {\ Frac {\ pi} {8}} \ log \ lewo (2 + {\ sqrt {3}} \ prawo) + {\ Frac {3} {8}} \ suma _ {n = 0}^{\infty}{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}
Teoretyczne podstawy dla takich szeregów podaje Broadhurst dla pierwszego wzoru i Ramanujan dla drugiego wzoru. Algorytmy szybkiego obliczania stałej katalońskiej zostały skonstruowane przez E. Karatsubę. Korzystając z tych szeregów, obliczenie stałej katalońskiej jest teraz mniej więcej tak szybkie, jak obliczenie stałej Apery'ego ,
ζ ( 3 )
{\ Displaystyle \ zeta (3)}
Inne szybko zbieżne serie, dzięki Guillera i Pilehrood i wykorzystywane przez oprogramowanie y-cruncher , obejmują:
sol =
1 2
∑
k =
0
∞
( - 8
)
k
( 3 k + 2 )
( 2 k + 1
)
3
(
2 k
k
)
3
{\ Displaystyle G = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k=0}^{\infty}{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{ 3}}}}
sol =
1 64
∑
k = 1
∞
256
k
( 580
k
2
- 184 k + 15 )
k
3
( 2 k - 1 )
(
6 k
3 k
)
(
6 k
4 k
)
(
4 k
2 k
)
{\ Displaystyle G = {\ Frac {1} {64}} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {256 ^ {k} (580k ^ {2} -184k + 15) }{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}
G = −
1 1024
∑
k = 1
∞
( - 4096
)
k
( 45136
k
4
- 57184
k
3
+ 21240
k
2
- 3160 k + 165 )
k
3
( 2 k - 1
)
3
(
( 2 k )
!
6
( 3 k )
!
3
k
!
3
( 6 k )
!
3
)
{\ Displaystyle G = - {\ Frac {1} {1024}} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-4096) ^ {k }(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {( 2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}
Wszystkie te szeregi mają złożoność czasową
O ( n log ( n
)
3
)
{\ Displaystyle O (n \ log (n) ^ {3})}
Ciąg dalszy ułamka
G można wyrazić w następującej postaci
sol =
1
1 +
1
4
8 +
3
4
16 +
5
4
24 +
7
4
32 +
9
4
40 + ⋱
{\ Displaystyle G = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1 ^ {4}} {8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4} }}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}}
Ułamek prosty ciągły jest dany przez
G =
1
1 +
1
10 +
1
1 +
1
8 +
1
1 +
1
88 + ⋱
{\ styl wyświetlania G = {\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\ cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}
Zobacz też
Dalsza lektura
Adamczyk, Wiktor (2002). „Pewna seria związana ze stałą katalońską” . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. doi : 10.4171/ZAA/1110 MR 1929434 .
Opłata, Gregory J. (1990). „Obliczanie stałej katalońskiej za pomocą wzoru Ramanujana”. W Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (red.). Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokio, Japonia, 20-24 sierpnia 1990 . ACM. s. 157–160. doi : 10.1145/96877.96917 ISBN 0201548925 S2CID 1949187 .
Bradley, David M. (1999). „Klasa wzorów na przyspieszenie szeregów dla stałej katalońskiej”. Dziennik Ramanujana . 3 (2): 159–173. ar Xiv : 0706.0356 doi : 10.1023/A:1006945407723 . MR 1703281 . S2CID 5111792 .
Bradley, David M. (2007). „Klasa wzorów na przyspieszenie szeregów dla stałej katalońskiej”. Dziennik Ramanujana . 3 (2): 159–173. ar Xiv : 0706.0356 Bibcode : 2007arXiv0706.0356B . doi : 10.1023/A:1006945407723 . S2CID 5111792 .
Linki zewnętrzne
Adamczyk, Wiktor. „33 reprezentacje stałej katalońskiej” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 07.08.2016 r.
Plouffe, Simon (1993). „Kilka tożsamości (III) z katalońskim” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2019-06-26. (Zapewnia ponad sto różnych tożsamości).
Plouffe, Simon (1999). „Kilka tożsamości ze stałą katalońską i Pi ^ 2” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2019-06-26. (Zapewnia graficzną interpretację relacji)
Opłata, Greg (1996). Stała katalońska (wzór Ramanujana) (Zawiera pierwsze 300 000 cyfr stałej katalońskiej)
Bradley, David M. (2001). Reprezentacje stałej katalońskiej . CiteSeerX 10.1.1.26.1879
Johansson, Fredrik. "0,915965594177219015054603514932" . Ordner, katalog liczb rzeczywistych w Fungrim .
„Stała katalońska” . YouTube
Weisstein, Eric W. „Stała katalońska” . MathWorld
„Stała katalońska: reprezentacje szeregów” . Witryna Wolfram Functions.
„Stała katalońska” . Encyklopedia matematyki EMS Naciśnij . 2001 [1994].
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8aed0ff470bb023379161972b34cb57118b217)
