Odwrotna całka styczna

Całka odwrotna styczna jest funkcją specjalną , zdefiniowaną przez:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ arctan t} t}}\,dt}$

Równoważnie można to zdefiniować za pomocą szeregu potęgowego lub za pomocą dilogarytmu , ściśle powiązanej funkcji specjalnej.

Definicja

Odwrotna całka styczna jest zdefiniowana przez:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ arctan t} t}}\,dt}$

Arcus tangens jest uważany za gałąź główną ; to znaczy − π /2 < arctan( t ) < π /2 dla wszystkich rzeczywistych t .

Jego reprezentacją w szeregu potęg jest

${\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (x) = x - {\ Frac {x ^ { 3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+ \cdots}$

który jest bezwzględnie zbieżny dla ${\ Displaystyle | x | \ równoważnik 1.}$

$^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$${\ textstyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = \ suma _ {n =$ 1 } i można to wyrazić w prosty sposób:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (z) = {\ Frac {1} {2i}}\left(\nazwa operatora {Li} _{2}(iz)-\nazwa operatora {Li} _{2}(-iz)\right)}$

To jest,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (x) = \ nazwa operatora {Im} (\ nazwa operatora {Li} _ {2} ( ix))}$

dla wszystkich rzeczywistych x .

Nieruchomości

Odwrotna całka styczna jest funkcją nieparzystą :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (-x) = - \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (x)}$

Wartości Ti ₂ ( x ) i Ti ₂ ( 1/ x ) są powiązane identycznością

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (x) - \ nazwa operatora {Ti} _ {2} \ lewo ({\ frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\log x}$

ważne dla wszystkich x > 0 (lub bardziej ogólnie dla Re ( x ) > 0). Można to udowodnić różnicując i używając tożsamości ${\ Displaystyle \ arctan (t) + \ arctan (1/t) = \ pi / 2}$ .

Wartość specjalna Ti ₂ (1) jest stałą katalońską ${\ textstyle 1- {\ Frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \około 0,915966}$ .

Uogólnienia

Podobny do polilogarytmu ${\ textstyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty}} \frac {z^{k}}{k^{n}}}}$ , funkcja

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {n} (x) = x - {\ Frac {x ^ { 3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+ \cdots}$

definiuje się analogicznie. Spełnia to zależność powtarzalności:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {n} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac { \operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,dt}$

Stosunek do innych funkcji specjalnych

Odwrotna całka styczna jest związana z funkcją Legendre chi ${\ textstyle \ chi _ {2} (x) = x + {\ Frac {x ^ {3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots }$ przez:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (x) = -i \ chi _ {2} (ix)}$

χ ${\ Displaystyle \ chi _ {2} (x)}$ można wyrazić jako $\ frac {\ operatorname {artanh} t}{t}}\,dt}$ , podobnie do całki odwrotnej stycznej, ale zamiast tego z odwrotną styczną hiperboliczną .

Całkę odwrotną styczną można również zapisać w kategoriach przestępnej Lercha ${\ textstyle \ Phi (z, s, a) = \ suma _{n=0}^{\infty}{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}:}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ti} _ {2} (x) = {\ Frac {1} {4}} x \ Phi (-x^{2},2,1/2)}$

Historia

Oznaczenie Ti ₂ i Ti _n pochodzi od Lewina. Spence (1809) badał funkcję, używając notacji do $(x)}$ . Funkcja ta była również badana przez Ramanujana .

•    Lewin, L. (1958). Dilogarytmy i związane z nimi funkcje . Londyn: Macdonald. MR 0105524 . Zbl 0083.35904 .
•   Lewin, L. (1981). Polilogarytmy i powiązane funkcje . Nowy Jork: Holandia Północna. ISBN 978-0-444-00550-2 .