Rozmaitość Giesekinga

W matematyce rozmaitość Giesekinga jest zakrzywioną hiperboliczną 3-rozmaitością o skończonej objętości. Jest nieorientowalny i $przybliżeniu$ spośród niezwartych rozmaitości hiperbolicznych, o objętości w Został odkryty przez Hugo Giesekinga ( 1912 ). Objętość nazywana jest stałą Giesekinga i ma postać zamkniętą,

${\ Displaystyle V = \ nazwa operatora {Cl} _ {2} \ lewo ({\ tfrac {1} {3}} \ pi \ po prawej) = {\ Frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} \left(\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(3n+1)^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty}{\ frac {1}{(3n+2)^{2}}}\right)=1,0149416\kropki}$

z funkcją Clausena ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {2} \ lewo (\ varphi \ po prawej)}$ . Porównaj z pokrewną stałą katalońską , która również przejawia się jako objętość,

${\ Displaystyle K = \ operatorname {Cl} _ {2} \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ pi \ prawej) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty}} \frac {1}{(4n+1)^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}= \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=0,91596559\kropki}$

Rozmaitość Giesekinga można skonstruować, usuwając wierzchołki z czworościanu , a następnie sklejając twarze parami za pomocą map afiniczno-liniowych. Oznacz wierzchołki 0, 1, 2, 3. Przyklej ścianę z wierzchołkami 0,1,2 do ściany z wierzchołkami 3,1,0 w tej kolejności. Przyklej twarz 0,2,3 do twarzy 3,2,1 w tej kolejności. W hiperbolicznej strukturze rozmaitości Giesekinga ten idealny czworościan jest kanonicznym rozkładem wielościennym Davida BA Epsteina i Roberta C. Pennera. Co więcej, kąt utworzony przez twarze wynosi ${\ displaystyle \ pi / 3}$ . Triangulacja ma jeden czworościan, dwie ściany, jedną krawędź i żadnych wierzchołków, więc wszystkie krawędzie pierwotnego czworościanu są ze sobą sklejone.

Rozmaitość Giesekinga ma podwójne pokrycie homeomorficzne z dopełnieniem węzła ósemkowego . Podstawowa zwarta rozmaitość ma butelki Kleina , a pierwszą grupą homologii rozmaitości Giesekinga są liczby całkowite.

Rozmaitość Giesekinga to wiązka włókien na okręgu z włóknem raz przebitego torusa i monodromią określoną przez ${\ Displaystyle (x, y) \ to (x + y, x).}$ Kwadrat tej mapy to mapa kota Arnolda , co daje inny sposób zobaczenia, że ​​rozmaitość Giesekinga jest podwójnie pokryta dopełnieniem ósemki węzeł.

Zobacz też

• Lista stałych matematycznych

•   Gieseking, Hugo (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen , Thesis, Muenster, JFM 43.0202.03
•    Adams, Colin C. (1987), „Niezwarty hiperboliczny 3-rozmaitość minimalnej objętości”, Proceedings of the American Mathematical Society , 100 (4): 601–606, doi : 10.2307/2046691 , ISSN 0002-9939 , MR 0894423
•   Epstein, David BA ; Penner, Robert C. (1988). „Rozkłady euklidesowe niezwartych rozmaitości hiperbolicznych” . Dziennik geometrii różniczkowej . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310/jdg/1214441650 . MR 0918457 .