Twierdzenie Bohra-Mollerupa

W analizie matematycznej twierdzenie Bohra-Mollerupa jest twierdzeniem udowodnionym przez duńskich matematyków Haralda Bohra i Johannesa Mollerupa . Twierdzenie charakteryzuje funkcję gamma , zdefiniowaną dla $x > 0$ przez

{\ Displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ,\mathrm {d} t}

jako jedyną dodatnią funkcję $f$ , o dziedzinie z przedziału $x > 0$ , która ma jednocześnie trzy właściwości:

$fa (1) = 1$ i
$fa (x + 1) = x fa (x)$ dla $x > 0$ i
$f$ jest logarytmicznie wypukła .

Traktowanie tego twierdzenia znajduje się w książce Artina The Gamma Function , która została przedrukowana przez AMS w zbiorze pism Artina.

Twierdzenie zostało po raz pierwszy opublikowane w podręczniku analizy zespolonej , ponieważ Bohr i Mollerup myśleli, że zostało już udowodnione.

Twierdzenie dopuszcza daleko idące uogólnienie do szerokiej gamy funkcji (które mają właściwości wypukłości lub wklęsłości dowolnego rzędu).

Oświadczenie

Twierdzenie Bohra-Mollerupa.

Γ(x)

jest jedyną funkcją, która spełnia

f (x + 1) = x fa (x)

z

log(f (x))

wypukłym, a także z

f (1) = 1

.

Dowód

Niech $Γ(x)$ będzie funkcją o założonych powyżej własnościach: $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ i $log(Γ(x))$ jest wypukła, a $Γ(1) = 1$ . Z $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ możemy ustalić

{\ Displaystyle \ Gamma (x + n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}

Cel zastrzeżenia, że $Γ(1) = 1$ wymusza na własności $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ powielanie silni liczb całkowitych, abyśmy mogli teraz stwierdzić, że $Γ(n) = (n - 1) !$ jeśli $n \in N$ i jeśli $Γ(x)$ w ogóle istnieje. Ze względu na naszą relację dla $Γ(x + n)$ , jeśli możemy w pełni zrozumieć $Γ (x)$ dla $0 < x \leq 1$ , to rozumiemy $Γ (x)$ dla wszystkich wartości $x$ .

Dla $x 1$ , $x 2$ , nachylenie $S (x 1, x 2)$ odcinka łączącego punkty $(x 1, log(Γ (x 1)))$ i $(x 2, log(Γ (x 2)) )$ rośnie monotonicznie w każdym argumencie z $x 1 < x 2$ , ponieważ założyliśmy, że $log(Γ(x))$ jest wypukły. Zatem wiemy to

{\ Displaystyle S (n-1, n) \ równoważnik S ( n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{dla wszystkich}}x\in (0,1].}

Po uproszczeniu przy użyciu różnych właściwości logarytmu, a następnie potęgowaniu (co zachowuje nierówności, ponieważ funkcja wykładnicza jest monotonicznie rosnąca) otrzymujemy

{\ Displaystyle (n-1) ^ {x} (n-1)! \ równoważnik \ Gamma (n + x) \ równoważnik n ^ {x} (n-1) !.}

Z poprzedniej pracy rozszerza się to do

{\ Displaystyle (n-1) ^ {x} (n-1)! \ równoważnik (x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x \ gamma (x) \ równoważnik n^{x}(n-1)!,}

a więc

{\ Displaystyle {\ Frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) \ cdots (x + 1) x}} \ równoważnik \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n +x}{n}}\prawo).}

Ostatnia linijka to mocne stwierdzenie. W szczególności jest to prawdziwe dla wszystkich wartości $n$ . Oznacza to, że $Γ(x)$ nie jest większe niż prawa strona dla dowolnego wyboru $n$ i podobnie $Γ (x)$ nie jest mniejsze niż lewa strona dla dowolnego innego wyboru $n$ . Każda pojedyncza nierówność jest samodzielna i może być interpretowana jako niezależne stwierdzenie. Z tego powodu mamy swobodę wyboru różnych wartości $n$ dla RHS i LHS. W szczególności, jeśli zachowamy $n$ dla RHS i wybierzemy $n + 1$ dla LHS, otrzymamy:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {((n + 1) -1) ^ {x }((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x )\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{ n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x )\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{ n}}\right)\end{wyrównane}}}

Z tego ostatniego wiersza widać wyraźnie, że funkcja jest umieszczona pomiędzy dwoma wyrażeniami, co jest powszechną techniką analizy do udowodnienia różnych rzeczy, takich jak istnienie granicy lub zbieżność. Niech $n \to \infty$ :

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n + x} {n}} = 1}

więc lewa strona ostatniej nierówności jest równa prawej stronie granicy i

{\ Displaystyle {\ Frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots ( x+1)x}}}

jest wciśnięty pomiędzy. To może oznaczać tylko tyle

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) \ cdots (x + 1) x}} = \ Gamma (x).}

W kontekście tego dowodu oznacza to, że

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x+n-1)\cdots (x+1)x}}}

ma trzy określone właściwości należące do $Γ(x)$ . Ponadto dowód dostarcza specyficznego wyrażenia dla $Γ(x)$ . Ostatnią krytyczną częścią dowodu jest zapamiętanie, że granica ciągu jest jednoznaczna. Oznacza to, że dla dowolnego wyboru $0 < x \leq 1$ może istnieć tylko jedna możliwa liczba $Γ(x) .$ Dlatego nie ma innej funkcji o wszystkich właściwościach przypisanych do $Γ(x)$ .

Pozostały luźny koniec to kwestia udowodnienia, że $Γ(x)$ ma sens dla wszystkich $x$ gdzie

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x+n-1)\cdots (x+1)x}}}

istnieje. Problem polega na tym, że nasza pierwsza podwójna nierówność

{\ Displaystyle S (n-1, n) \ równoważnik S (n + x, n) \ równoważnik S (n+1,n)}

została skonstruowana z ograniczeniem $0 < x \leq 1$ . Jeśli, powiedzmy, $x > 1$ , to fakt, że $S$ jest monotonicznie rosnący, sprawi, że $S (n + 1, n) < S (n + x, n)$ , zaprzeczając nierówności, na której zbudowany jest cały dowód. Jednakże,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma (x + 1) & = \ lim _ {n \ do \ infty} x \ cdot \ lewo ({\ Frac {n ^ { x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma ( x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{wyrównane}}}

który pokazuje, jak załadować $Γ (x)$ do wszystkich wartości $x$ , w których zdefiniowano granicę.

Zobacz też

Twierdzenie Wielandta