Rozszerzenie produktów operatora

W kwantowej teorii pola rozwinięcie iloczynu operatora ( OPE ) jest używane jako aksjomat definiujący iloczyn pól jako sumę tych samych pól. Jako aksjomat oferuje nieperturbacyjne podejście do kwantowej teorii pola. Jednym z przykładów jest algebra operatorów wierzchołków , która została wykorzystana do skonstruowania dwuwymiarowych konforemnych teorii pola . To, czy wynik ten można ogólnie rozszerzyć na QFT, rozwiązując w ten sposób wiele trudności związanych z podejściem perturbacyjnym, pozostaje otwartym pytaniem badawczym.

W praktycznych obliczeniach, takich jak te potrzebne do rozpraszania amplitud w różnych eksperymentach ze zderzaczami, rozwinięcie iloczynu operatora jest używane w regułach sumy QCD do łączenia wyników obliczeń perturbacyjnych i nieperturbacyjnych (kondensat).

Dwuwymiarowa euklidesowa kwantowa teoria pola

W dwuwymiarowej euklidesowej teorii pola rozwinięcie iloczynu operatora jest rozwinięciem szeregu Laurenta związanego z dwoma operatorami. Szereg Laurenta jest uogólnieniem szeregu Taylora w tym sensie, że do szeregu Taylora dodaje się skończenie wiele potęg odwrotności zmiennej rozszerzającej: bieguny skończonego rzędu są dodawane do szeregu.

Heurystycznie, w kwantowej teorii pola interesuje nas wynik fizycznych obserwabli reprezentowanych przez operatory . Jeśli $ktoś$ $chce$ poznać wynik dwóch obserwacji fizycznych w dwóch punktach można uporządkować te operatory w rosnącym czasie.

Jeśli odwzorowuje się współrzędne w sposób konforemny, często interesuje się uporządkowaniem radialnym. Jest to odpowiednik uporządkowania czasu, w którym rosnący czas został odwzorowany na pewnym rosnącym promieniu na płaszczyźnie zespolonej. Interesuje nas również normalne uporządkowanie operatorów kreacji.

OPE uporządkowane radialnie można zapisać jako OPE uporządkowane normalnie minus terminy nieuporządkowane normalnie. Terminy o innym porządku niż normalnie można często zapisać jako komutator i mają one użyteczne tożsamości upraszczające. Uporządkowanie radialne zapewnia zbieżność ekspansji.

Rezultatem jest zbieżne rozwinięcie iloczynu dwóch operatorów pod względem niektórych wyrazów, które mają bieguny na płaszczyźnie zespolonej (człony Laurenta) i wyrazów, które są skończone. Ten wynik przedstawia rozwinięcie dwóch operatorów w dwóch różnych punktach jako rozwinięcie wokół tylko jednego punktu, gdzie bieguny reprezentują miejsce, w którym dwa różne punkty są tym samym punktem, np.

{\ Displaystyle 1 / (zw)}

.

Związane z tym jest to, że operator na $displaystyle {\ bar {z}}}$ zespolonej jest ogólnie zapisywany jako funkcja i $\$ . Nazywa się je holomorficznymi i antyholomorficznymi , ponieważ są one ciągłe i różniczkowalne, z wyjątkiem (skończonej liczby) osobliwości. Właściwie należy je nazwać meromorficznymi , ale holomorficznymi to potoczna mowa. Ogólnie rzecz biorąc, rozwinięcie iloczynu operatora może nie dzielić się na części holomorficzne i antyholomorficzne, zwłaszcza jeśli w rozwinięciu występują terminy ${\ displaystyle \ log z} .$ Jednak pochodne OPE mogą często rozdzielać ekspansję na ekspansje holomorficzne i antyholomorficzne. To wyrażenie jest również OPE i ogólnie jest bardziej przydatne.

Algebra iloczynu operatorów

W ogólnym przypadku otrzymuje się zestaw pól (lub operatorów) $zakłada$ cenione w pewnej algebrze . $Na$ przykład ustalając , można przyjąć, algebrę Liego Pozwalając x swobodnie żyć na rozmaitości, iloczyn operatora $jest wtedy po prostu$ elementem w pierścieniu funkcji . Ogólnie rzecz biorąc, takie pierścienie nie mają wystarczającej struktury, aby składać sensowne stwierdzenia; w związku z tym rozważa się dodatkowe aksjomaty w celu wzmocnienia systemu.

Algebra iloczynu operatora jest algebrą asocjacyjną formy

\ Displaystyle A ^ {i} (x) B ^ {j} (y) = \ suma _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}

$Wymaga$ się stałe strukturalne a jakiejś Ponadto wymagane jest, aby pola obejmowały pierścień funkcji. W praktycznych obliczeniach zwykle wymaga się, aby sumy były analityczne w pewnym promieniu zbieżności ; zazwyczaj o promieniu zbieżności ${\ Displaystyle | xy |}$ . Zatem pierścień funkcji można przyjąć jako pierścień funkcji wielomianowych .

Powyższe można postrzegać jako wymóg nałożony na pierścień funkcji; nałożenie tego wymogu na pola konforemnej teorii pola jest znane jako konforemny bootstrap .

Przykładem algebry iloczynu operatora jest algebra operatora wierzchołków . Obecnie oczekuje się, że algebry iloczynów operatorów będą mogły zostać użyte do aksjomatyzacji całej kwantowej teorii pola; z powodzeniem zrobili to w przypadku konforemnych teorii pola, a to, czy można je wykorzystać jako podstawę dla nieperturbacyjnego QFT, jest otwartym obszarem badawczym.

Rozszerzenie produktów operatora

W kwantowej teorii pola rozwinięcie iloczynu operatora ( OPE ) jest zbieżnym rozwinięciem iloczynu dwóch pól w różnych punktach jako suma (prawdopodobnie nieskończona) pól lokalnych.

Dokładniej, jeśli $punktem$ , a polami $z$ operatora są pola, to istnieje otwarte sąsiedztwo $displaystyle O$ $\ displaystyle O }$ y $\$ taki, że dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w O \ setminus \ {y \}}$

{\ Displaystyle A (x) B (y) = \ suma _ {i} c_ {i} (xy) ^ {i}C_{i}(y)}

gdzie suma obejmuje skończoną lub przeliczalnie wiele wyrazów, do ^ja są polami o wartościach operatora, do ja _są funkcjami analitycznymi nad , a suma jest zbieżna w operatorze ${\ Displaystyle O \ setminus \ {y \}}$ topologia w obrębie ${\ Displaystyle O \ setminus \ {y \}}$ .

OPE są najczęściej używane w konforemnej teorii pola .

Notacja $y)$ ( x,y) pozostaje analityczna w punktach x=y. To jest relacja równoważności .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

OPE w Scholarpedii