Układ hiperpłaszczyzn

W geometrii i kombinatoryce układ hiperpłaszczyzn to układ skończonego zbioru A hiperpłaszczyzn w przestrzeni liniowej , afinicznej lub rzutowej S. _ Pytania o układ hiperpłaszczyzn A generalnie dotyczą geometrycznych, topologicznych lub innych właściwości dopełnienia , M ( A ) , czyli zbioru, który pozostaje po usunięciu hiperpłaszczyzn z całej przestrzeni. Można zapytać, w jaki sposób te właściwości są powiązane z układem i półsiatką przecięcia. Półsieć przecięcia , które uzyskuje się przez A , zapisana jako L ( A ), jest zbiorem wszystkich podprzestrzeni przecięcie niektórych hiperpłaszczyzn; wśród tych podprzestrzeni znajduje się S , wszystkie indywidualne hiperpłaszczyzny, wszystkie przecięcia par hiperpłaszczyzn itp. (wyłączając, w przypadku afinicznym, zbiór pusty). Te podprzestrzenie przecięcia A są również nazywane mieszkaniami A . Półkrata przecięcia L ( A ) jest częściowo uporządkowana przez inkluzję odwrotną .

Jeśli cała przestrzeń S jest dwuwymiarowa, hiperpłaszczyzny są liniami ; taki układ jest często nazywany układem linii . Historycznie rzecz biorąc, pierwszymi zbadanymi układami były rzeczywiste układy linii. Jeśli S jest trójwymiarowy, to mamy układ płaszczyzn .

Układ hiperpłaszczyznowy w przestrzeni

Teoria ogólna

Półkrata przecięcia i matroid

Półsieć przecięcia L ( A ) jest półkratą spotykaną, a dokładniej jest półkratą geometryczną. Jeśli układ jest liniowy lub rzutowy, lub jeśli przecięcie wszystkich hiperpłaszczyzn nie jest puste, siatka przecięcia jest siatką geometryczną . (Właśnie dlatego półsieć musi być uporządkowana przez inkluzje odwrotne - a nie inkluzje, co może wydawać się bardziej naturalne, ale nie dałoby geometrycznej (pół)kraty.)

Kiedy L ( A ) jest siatką, matroid A , zapisany jako M ( A ), ma A jako zbiór podstawowy i ma funkcję rang r ( S ) := codim ( I ) , gdzie S jest dowolnym podzbiorem A i I jest przecięciem hiperpłaszczyzn w S . Ogólnie rzecz biorąc, gdy L ( A ) jest półsiatką, istnieje analogiczna struktura przypominająca matroid, zwana półmatroidą, która jest uogólnieniem matroidu (i ma taki sam stosunek do półsieci przecięcia, jak matroid do sieci w przypadek kraty), ale nie jest matroidem, jeśli L ( A ) nie jest kratą.

Wielomiany

Dla podzbioru B z A zdefiniujmy f ( B ) := przecięcie hiperpłaszczyzn w B ; to jest S , jeśli B jest puste. Charakterystyczny wielomian A , zapisany p _A ( y ), można zdefiniować przez

{\ Displaystyle p_ {A} (y): = \ suma _ {B} (-1) ^ {| B |} y ^ {\ dim f (B)}}

zsumowane po wszystkich podzbiorach B z A , z wyjątkiem, w przypadku afinicznym, podzbiorów, których przecięcie jest puste. (Wymiar zbioru pustego jest zdefiniowany jako −1.) Ten wielomian pomaga rozwiązać kilka podstawowych pytań; patrz poniżej. Innym wielomianem powiązanym z A jest wielomian liczby Whitneya w _A ( x , y ), zdefiniowany przez

{\ Displaystyle w_ {A} (x, y): = \ suma _ {B} x ^ {n- \ dim f (B)} \ suma _ {C} (-1) ^{|CB|}y^{\dim f(C)},}

zsumowane po B ⊆ C ⊆ A takie, że f ( B ) jest niepuste.

Będąc siatką geometryczną lub półsiatką, L ( A ) ma charakterystyczny wielomian p _{L ( A )} ( y ), który ma obszerną teorię (patrz matroid ). Warto więc wiedzieć, że p _A ( y ) = y ⁱ p _{L ( A )} ( y ), gdzie i jest najmniejszym wymiarem dowolnego mieszkania, z wyjątkiem tego, że w przypadku rzutowym jest on równy y ^{i + 1} p _{L ( A )} ( y ). Wielomian liczby Whitneya A jest podobnie spokrewniony z wielomianem L ( A ). (Zbiór pusty jest wykluczony z półsieci w przypadku afinicznym, aby te relacje były ważne).

Algebra Orlika-Solomona

Półkrata przecięcia wyznacza kolejny kombinatoryczny niezmiennik układu, algebrę Orlika – Salomona. Aby go zdefiniować, ustal przemienny podpierścień K pola podstawowego i utwórz algebrę zewnętrzną E przestrzeni wektorowej

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {H \ w A} Ke_ {H}}

generowane przez hiperpłaszczyzny. Złożona struktura łańcuchowa jest zdefiniowana na E za pomocą zwykłego operatora brzegowego ${\ displaystyle \ częściowy}$ . Algebra Orlika-Solomona jest więc ilorazem E przez ideał generowany przez elementy postaci ${\ Displaystyle e_ {H_ {1}} \ klin \ cdots \ klin e_ {H_ {p }}}$ dla których ${\ Displaystyle H_ {1}, \ kropki, H_ {p}}$ mają puste przecięcie i przez granice elementów tej samej postaci, dla których ${\ Displaystyle H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {p}}$ ma kowymiar mniejszy niż p .

Prawdziwe układy

W rzeczywistej przestrzeni afinicznej dopełnienie jest rozłączne: składa się z oddzielnych elementów zwanych komórkami lub regionami lub komorami , z których każdy jest albo ograniczonym regionem, który jest wypukłym polytopem , albo nieograniczonym regionem, który jest wypukłym regionem wielościennym , który biegnie w nieskończoność. Każde mieszkanie A jest również podzielone na części przez hiperpłaszczyzny, które nie zawierają mieszkania; elementy te nazywane są ścianami A . Regiony są ścianami, ponieważ cała przestrzeń jest płaska. Ściany o kowymiarze 1 można nazwać ściankami A . Półkrata twarzy układu jest zbiorem wszystkich ścian uporządkowanych według inkluzji . Dodanie dodatkowego górnego elementu do półkola twarzy daje siatkę twarzy .

W dwóch wymiarach (tj. na rzeczywistej płaszczyźnie afinicznej ) każdy region jest wielokątem wypukłym ( jeśli jest ograniczony) lub wielokątem wypukłym, który zmierza do nieskończoności.

Na przykład, jeśli układ składa się z trzech równoległych linii, półkrata przecięcia składa się z płaszczyzny i trzech linii, ale nie zbioru pustego. Istnieją cztery regiony, żaden z nich nie jest ograniczony.
Jeśli dodamy linię przecinającą trzy równoleżniki, wówczas półkrata przecięcia składa się z płaszczyzny, czterech prostych i trzech punktów przecięcia. Istnieje osiem regionów, ale żaden z nich nie jest ograniczony.
Jeśli dodamy jeszcze jedną prostą, równoległą do poprzedniej, otrzymamy 12 regionów, z których dwa to ograniczone równoległoboki .

Typowe problemy związane z układem w n -wymiarowej przestrzeni rzeczywistej polegają na określeniu, ile jest regionów, ile jest ścian wymiaru 4 lub ile jest obszarów ograniczonych. Na te pytania można odpowiedzieć tylko z półsieci przecięcia. Na przykład dwa podstawowe twierdzenia Zaslavsky'ego (1975) mówią, że liczba regionów układu afinicznego jest równa (−1) ⁿ p _A (−1), a liczba regionów ograniczonych jest równa (−1) ⁿ p _A ( 1). Podobnie, liczbę k -wymiarowych ścian lub ścian ograniczonych można odczytać jako współczynnik x ^{n − k} w (−1) ⁿ w _A (− x , −1) lub (−1) ⁿ w _A (− x , 1).

Meiser (1993) zaprojektował szybki algorytm wyznaczania ściany układu hiperpłaszczyzn zawierającego punkt wejściowy.

Innym pytaniem dotyczącym ułożenia w przestrzeni rzeczywistej jest ustalenie, ile regionów jest uproszczonych ( n -wymiarowe uogólnienie trójkątów i czworościanów ). Nie można na to odpowiedzieć wyłącznie na podstawie półsieci przecięcia. Problem McMullena wymaga najmniejszego ułożenia danego wymiaru w położeniu ogólnym w rzeczywistej przestrzeni rzutowej, dla którego nie istnieje komórka dotykana przez wszystkie hiperpłaszczyzny.

₀ Rzeczywisty układ liniowy oprócz swojej półsieci czołowej posiada zestaw regionów , inny dla każdego regionu. Ta pozycja jest tworzona przez wybranie dowolnego regionu bazowego B i powiązanie z każdym regionem R zestawu S ( R ) składającego się z hiperpłaszczyzn oddzielających R od B . Regiony są częściowo uporządkowane tak, że R ₁ ≥ R ₂ jeśli S ( R ₁ , R ) zawiera S ( R ₂ , R ). W szczególnym przypadku, gdy hiperpłaszczyzny powstają z systemu korzeniowego , wynikowa pozycja jest odpowiednią grupą Weyla o słabym porządku. Ogólnie zestaw regionów jest uszeregowany według liczby oddzielających hiperpłaszczyzn, a jego funkcja Möbiusa została obliczona ( Edelman 1984 ).

Vadim Schechtman i Alexander Varchenko wprowadzili macierz indeksowaną według regionów. Element macierzy dla regionu $która$ ${$ $}}$ R_ { jest dany przez iloczyn zmiennych nieokreślonych każdej hiperpłaszczyzny H, oddziela te dwa regiony. Jeśli te zmienne są wyspecjalizowane, $dla$ nazywa się to macierzą q (w domenie euklidesowej i wiele informacji jest zawartych w jego postać normalna Smitha .

Złożone układy

W złożonej przestrzeni afinicznej (co jest trudne do zobrazowania, ponieważ nawet złożona płaszczyzna afiniczna ma cztery rzeczywiste wymiary) dopełnienie jest połączone (wszystko w jednym kawałku) z otworami, w których usunięto hiperpłaszczyzny.

Typowym problemem związanym z rozmieszczeniem w złożonej przestrzeni jest opisanie otworów.

Podstawowe twierdzenie o układach złożonych mówi, że kohomologia dopełnienia M ( A ) jest całkowicie określona przez półsieć przecięcia. Mówiąc ściślej, pierścień kohomologii M ( A ) (ze współczynnikami całkowitymi) jest izomorficzny z algebrą Orlika-Solomona na Z .

Izomorfizm można opisać jawnie i daje prezentację kohomologii w kategoriach generatorów i relacji, gdzie generatory są reprezentowane (w kohomologii de Rham ) jako logarytmiczne formy różniczkowe

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} {\ Frac {d \ alfa} {\ alfa}}.}

z $liniową$ definiującą ogólną hiperpłaszczyznę układu.

techniczne

Czasami wygodnie jest pozwolić, aby zdegenerowana hiperpłaszczyzna , czyli cała przestrzeń S , należała do układu. Jeśli A zawiera zdegenerowaną hiperpłaszczyznę, to nie ma regionów, ponieważ dopełnienie jest puste. Jednak nadal ma mieszkania, półsiatkę przecięcia i twarze. W powyższej dyskusji założono, że zdegenerowana hiperpłaszczyzna nie występuje w układzie.

Czasami chce się pozwolić na powtarzające się hiperpłaszczyzny w układzie. Nie rozważaliśmy tej możliwości w poprzedniej dyskusji, ale nie ma to istotnego znaczenia.

Zobacz też

„Układ hiperpłaszczyzn” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Edelman, Paul H. (1984), „Częściowy porządek w regionach $rozciętych$ przez hiperpłaszczyzny”, of the American Mathematical Society , 283 (2): –631, doi : 10.2307/1999150 , JSTOR 1999150 , MR 0737888 .
Meiser, Stefan (1993), „Położenie punktu w układach hiperpłaszczyzn”, Information and Computation , 106 (2): 286–303, doi : 10.1006/inco.1993.1057 , MR 1241314 .
Orlik, Piotr ; Terao, Hiroaki (1992), Układy hiperpłaszczyzn , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 300, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-02772-1 , ISBN 978-3-642-08137-8 , MR 1217488 .
Stanley, Richard (2011). „3.11 Układy hiperpłaszczyznowe”. Kombinatoryka wyliczeniowa . Tom. 1 (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-1107602625 .
Zaslavsky, Thomas (1975), „W obliczu uzgodnień: formuły obliczania twarzy dla partycji przestrzeni przez hiperpłaszczyzny”, Memoirs of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 1 (154), doi : 10.1090 / memo /0154 , MR 0357135 .