Aleksander Warczenko

Aleksander Warczenko
Urodzić się	( 06.02.1949 ) 6 lutego 1949 Rosja
Alma Mater	Moskiewski Uniwersytet Państwowy (1971)
Znany z	Twierdzenie Warczenki
Kariera naukowa
Pola	Matematyka
Instytucje	Uniwersytet Północnej Karoliny
Doradca doktorski	Władimir Arnold

Alexander Nikolaevich Varchenko ( rosyjski : Александр Николаевич Варченко , urodzony 6 lutego 1949) to radziecki i rosyjski matematyk zajmujący się geometrią , topologią , kombinatoryką i fizyką matematyczną .

Edukacja i kariera

Od 1964 do 1966 Varchenko studiował w moskiewskiej szkole z internatem nr 18 Kołmogorowa dla uzdolnionych uczniów szkół średnich, gdzie Andriej Kołmogorow i Ja. A. Smorodinsky wykładali matematykę i fizykę. Warczenko ukończył Moskiewski Uniwersytet Państwowy w 1971 roku. Był uczniem Władimira Arnolda . Warczenko obronił doktorat. rozprawa Twierdzenia o topologicznej równości rodzin zbiorów i map algebraicznych w 1974 r. oraz praca doktorska Asymptoty całek i niezmienników algebraicznych punktów krytycznych funkcji w 1982 r. W latach 1974-1984 był pracownikiem naukowym na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, w latach 1985-1990 profesor w Gubkin Institute of Gas and Oil , a od 1991 jest Ernest Eliel Professor na University of North Carolina w Chapel Hill .

Badania

W 1969 Varchenko zidentyfikował grupę monodromii punktu krytycznego typu $A_$ nieparzystej liczby zmiennych z grupą symetryczną. ${n}}$ która jest grupą Weyla prostej algebry Liego typu ${\ displaystyle A_ {n}}$ .

W 1971 roku Varchenko udowodnił, że rodzina złożonych quasi-rzutowych zbiorów algebraicznych o nieredukowalnej podstawie tworzy topologicznie lokalnie trywialną wiązkę nad otwartym podzbiorem Zariskiego podstawy. To stwierdzenie, przypuszczalne przez Oscara Zariskiego , wypełniło lukę w dowodzie twierdzenia Zariskiego o grupie podstawowej dopełnienia złożonej hiperpowierzchni algebraicznej , opublikowanym w 1937 r. W 1973 r. Varchenko udowodnił hipotezę René Thoma , że ​​zarodek ogólna gładka mapa jest topologicznie równoważna zarodkowi mapy wielomianowej i ma skończoną wielomianową topologiczną deformację versal, podczas gdy mapy nieogólne tworzą podzbiór nieskończonego współwymiaru w przestrzeni wszystkich zarodków.

Warczenko był jednym z twórców teorii wielokątów Newtona w teorii osobliwości, w szczególności podał wzór odnoszący wielokąty Newtona i asymptotyki całek oscylacyjnych związanych z punktem krytycznym funkcji. Korzystając ze wzoru, Varchenko skonstruował kontrprzykład dla hipotezy półciągłości VI Arnolda, że ​​jasność światła w punkcie na kaustyce jest nie mniejsza niż jasność w sąsiednich punktach.

Varchenko sformułował hipotezę o półciągłości widma punktu krytycznego przy deformacjach punktu krytycznego i udowodnił ją dla deformacji o małej masie quasi-jednorodnych osobliwości. Korzystając z półciągłości, Varchenko oszacował z góry liczbę punktów osobliwych rzutowej hiperpowierzchni o danym stopniu i wymiarze.

Varchenko wprowadził asymptotyczną mieszaną strukturę Hodge'a do kohomologii, znikając w krytycznym punkcie funkcji, badając asymptotyki całek holomorficznych form różniczkowych po rodzinach znikających cykli. Taka całka zależy od parametru – wartości funkcji. Całka ma dwie właściwości: jak szybko dąży do zera, gdy parametr dąży do wartości krytycznej, oraz jak zmienia się całka, gdy parametr zbliża się do wartości krytycznej. Pierwsza właściwość została wykorzystana do określenia filtracji Hodge'a asymptotycznej mieszanej struktury Hodge'a, a druga właściwość została wykorzystana do określenia filtracji wagowej.

Druga część szesnastego problemu Hilberta polega na rozstrzygnięciu, czy istnieje górna granica liczby cykli granicznych w wielomianowych polach wektorowych danego stopnia. Nieskończenie mały szesnasty problem Hilberta, sformułowany przez VI Arnolda, polega na rozstrzygnięciu, czy istnieje górna granica liczby zer całki postaci różniczkowej wielomianu w rodzinie krzywych poziomów hamiltonianu wielomianu pod względem stopni współczynniki postaci różniczkowej i stopnia hamiltonianu. Varchenko udowodnił istnienie granicy w nieskończenie małym szesnastym problemie Hilberta.

Vadim Schechtman i Varchenko zidentyfikowali w równaniach Knizhnika – Zamolodczikowa (lub równaniach KZ) odpowiednie połączenie Gaussa – Manina i skonstruowali wielowymiarowe hipergeometryczne rozwiązania równań KZ. W tej konstrukcji rozwiązania oznaczono elementami odpowiedniej grupy homologicznej. Następnie utożsamiono grupę homologii z przestrzenią krotności iloczynu tensorowego reprezentacji odpowiedniej grupy kwantowej, a monodromiczną reprezentację równań KZ zidentyfikowano z powiązaną reprezentacją macierzy R. Konstrukcja ta dała geometryczny dowód twierdzenia Kohno-Drinfelda o monodromii równań KZ. Podobny obraz został opracowany dla kwantowych równań KZ (lub równań różnicowych typu qKZ) we wspólnych pracach z Giovannim Felderem i Witalijem Tarasowem. Funkcje wagi występujące w wielowymiarowych rozwiązaniach hipergeometrycznych zostały później zidentyfikowane ze stabilnymi obwiedniami w ekwiwariantnej geometrii wyliczeniowej Andrieja Okounkowa .

W drugiej połowie lat 90. Felder, Pavel Etingof i Varchenko opracowali teorię dynamicznych grup kwantowych. Równania dynamiczne, zgodne z równaniami typu KZ, zostały wprowadzone we wspólnych pracach z G. Felderem, Y. Markowem, W. Tarasowem. W zastosowaniach równania dynamiczne pojawiają się jako kwantowe równania różniczkowe wiązek cotangensów częściowych odmian flag.

W Jewgienij Mukhin, Tarasov i Varchenko udowodnili hipotezę Borisa Shapiro i Michaela Shapiro w rzeczywistej geometrii algebraicznej : jeśli wyznacznik Wrońskiego złożonej skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej wielomianów w jednej zmiennej ma tylko pierwiastki rzeczywiste, to przestrzeń wektorowa ma baza wielomianów o rzeczywistych współczynnikach.

Klasycznie wiadomo, że wskaźnik przecięcia odmian Schuberta w Grassmannie płaszczyzn N -wymiarowych pokrywa się z wymiarem przestrzeni niezmienników w odpowiednim iloczynze tensorowym reprezentacji ogólnej grupy liniowej ${\ displaystyle \ operatorname {GL } _{N}}$ . W Mukhin, Tarasov i Varchenko skategoryzowali ten fakt i wykazali, że algebra Bethe modelu Gaudina na takiej przestrzeni niezmienników jest izomorficzna z algebrą funkcji na przecięciu odpowiednich rozmaitości Schuberta. Jako zastosowanie wykazali, że jeśli rozmaitości Schuberta są zdefiniowane w odniesieniu do różnych rzeczywistych flag oscylacyjnych, to rozmaitości przecinają się poprzecznie, a wszystkie punkty przecięcia są rzeczywiste. Właściwość ta nazywana jest rzeczywistością rachunku Schuberta .

Uznanie

Varchenko był zaproszonym prelegentem na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1974 roku w Vancouver (sekcja geometrii algebraicznej) oraz w 1990 roku w Kioto (przemówienie plenarne). W 1973 otrzymał Moskiewskiego Towarzystwa Matematycznego .

Został wybrany do klasy 2023 Fellows of the American Mathematical Society „za wkład w teorię osobliwości, rzeczywistą geometrię algebraiczną i teorię kwantowych systemów całkowalnych”.

Książki

•   Arnold, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Osobliwości map różniczkowalnych. Tom. I. Klasyfikacja punktów krytycznych, kaustyki i czoła fal. Monografie z matematyki, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. xi + 382 s. ISBN 0-8176-3187-9
•   Arnold, VI; Guseĭn-Zade, SM; Varchenko, AN Osobliwości map różniczkowalnych. Tom. II. Monodromia i asymptotyki całek. Monografie z matematyki, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. viii + 492 s. ISBN 0-8176-3185-2
•   Etingof, P.; Varchenko, A. Dlaczego granica okrągłej kropli staje się krzywą rzędu czwartego (seria wykładów uniwersyteckich), AMS 1992, ISBN 0821870025
•   Varchenko, A. Wielowymiarowe funkcje hipergeometryczne i teoria reprezentacji algebr Liego i grup kwantowych. Advanced Series in Mathematical Physics, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x + 371 s. ISBN 981-02-1880-X
•   Varchenko, A. Funkcje specjalne, równania typu KZ i teoria reprezentacji. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 98. Opublikowano dla Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, 2003. viii + 118 s. ISBN 0-8218-2867-3

Linki zewnętrzne

• Alexander Varchenko w Mathematics Genealogy Project
• Strona główna Varchenko na stronie internetowej University of North Carolina