Całka oscylacyjna

W analizie matematycznej całka oscylacyjna jest rodzajem rozkładu . Całki oscylacyjne przedstawiają rygorystyczne argumenty, które na naiwnym poziomie wydają się wykorzystywać całki rozbieżne. Możliwe jest przedstawienie przybliżonych operatorów rozwiązań dla wielu równań różniczkowych jako całki oscylacyjne.

Definicja

Całka oscylacyjna jest formalnie zapisywana jako ${\ displaystyle f (x)}$

{\ Displaystyle f (x) = \ int e ^ {i \ phi (x, \ xi)} \, a ( x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}

gdzie $\ phi (x, \ xi)$ $są$ na R $\ displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$ z następującymi właściwościami:

Funkcja $\$ wartość rzeczywistą, jest $phi}$ jednorodna stopnia 1 i różniczkowalna w nieskończoność od \ displaystyle Zakładamy również, że nie ma żadnych krytycznych punktów na poparcie ${\ displaystyle$ $}$ . $fazową$ funkcja jest zwykle nazywana funkcją . W niektórych kontekstach rozważane są bardziej ogólne funkcje i nadal są one określane jako funkcje fazowe.
Funkcja $klas$ do jednej z symboli ${\ Displaystyle S_ {1,0} ^ {m} (\ mathbb {R} _ {x } ^ {n} \ razy \ operatorname {R} _ {\ xi} ^ {N}}}$ dla pewnego ${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {R}}$ . $Intuicyjnie$ , te klasy symboli uogólniają pojęcie dodatnio jednorodnych funkcji . Podobnie jak funkcja fazowa ${\ displaystyle \ phi}$ , w niektórych przypadkach przyjmuje się, że funkcja należy do bardziej ogólnych lub po prostu różnych $.$

Kiedy formalna całka definiująca $\$ zbieżna dla wszystkich $displaystyle m <$ nie ma potrzeby dalszej dyskusji na temat $}$ definicja ${\ displaystyle f (x)}$ . Jednak gdy $oscylacyjna$ nadal definiowana jako ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , mimo że całka może nie być zbieżna. W $\ Displaystyle a ($ przypadku rozkład $za$ faktu, że można przybliżyć funkcjami, które mają rozkład wykładniczy w ${\ displaystyle \ xi}$ . Jednym z możliwych sposobów na to jest ustawienie

{\ Displaystyle f (x) = \ lim \ ograniczenia _ {\ epsilon \ do 0 ^ {+}} \ int e ^ {i \ phi (x, \ xi)} \, a (x ,\xi)e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi,}

gdzie granica jest przyjmowana w sensie rozkładów temperowanych . Korzystając z całkowania przez $}$ , można pokazać, że ta granica jest dobrze zdefiniowana i że istnieje operator że wynikowy rozkład działający na dowolny $L$ ${\ displaystyle \ psi}$ w przestrzeni Schwartza jest podane przez

Displaystyle \ langle f, \ psi \ rangle = \ int e ^ { i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}

gdzie ta całka jest zbieżna bezwzględnie. Operator $jest jednoznacznie$ $zdefiniowany , ale można go$ $displaystyle a}$ w taki sposób, który zależy tylko od funkcji fazy $\ phi}$ kolejności symbolu $\ displaystyle$ i ${\ displaystyle N}$ . W rzeczywistości, biorąc pod uwagę dowolną liczbę całkowitą $,$ możliwe jest znalezienie operatora tak aby powyższa całka była ograniczona przez ${\ displaystyle L}$ ${\ Displaystyle C (1 + | \ xi |) ^ {- M}}$ dla ${\ Displaystyle |\ xi |}$ wystarczająco duży. Jest to główny cel definicji klas symboli.

Przykłady

Wiele znanych rozkładów można zapisać jako całki oscylacyjne.

Twierdzenie o odwróceniu Fouriera implikuje , że funkcja delta jest równa ${\ Displaystyle \ delta (x)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix \ cdot \ xi} \, \ operatorname {d } \xi .}

zastosujemy pierwszą metodę definiowania tej całki oscylacyjnej od góry, a także transformatę Fouriera Gaussa , otrzymamy dobrze znany ciąg funkcji przybliżających funkcję delta:

{\ Displaystyle \ delta (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0 ^ {+}} {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{ +}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon}})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon)}.}

Operator w tym przypadku jest podany na przykład przez. ${\ displaystyle L}$

{\ Displaystyle L = {\ Frac {(1- \ Delta _ {x}) ^ {k}} {(1 + | \ xi |^{2})^{k}}},}

gdzie jest liczbą całkowitą większą niż ( $(n-1)/2}$ $\$ $displaystyle k} Δ x {\$ $}$ $_ {x$ . Rzeczywiście, z tym mamy ${\ displaystyle L}$

{\ Displaystyle \ langle \ delta, \ psi \ rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi)^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi}L( \psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}

i ta całka jest zbieżna bezwzględnie.

Jądro Schwartza dowolnego operatora różniczkowego można zapisać jako całkę oscylacyjną. Rzeczywiście, jeśli

{\ Displaystyle L = \ suma \ ograniczenia _ {|\ alfa | \ równoważnik m} p _ {\ alfa} (x) D ^ {\ alfa},}

gdzie ${\ Displaystyle D ^ {\ alfa} = \ częściowe _ {x} ^ {\ alfa} / i ^ {| \ alfa |}} , to$ jądro L ${\ displaystyle L}$ jest podane przez

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {i \ xi \ cdot (xy)} \ suma \ granice _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha}\,\mathrm {d} \xi .}

Związek z rozkładami Lagrange'a

Każdy rozkład Lagrange'a ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} może być reprezentowany lokalnie przez całki oscylacyjne, patrz Hörmander (1983) . I odwrotnie, każda całka oscylacyjna jest rozkładem Lagrange'a. Daje to dokładny opis typów rozkładów, które można przedstawić jako całki oscylacyjne.

Zobacz też

Hörmander , Lars (1983), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
Hörmander , Lars (1971), "Operatory całkowe Fouriera I", Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052