Znikający cykl
W matematyce znikające cykle są badane w teorii osobliwości i innych częściach geometrii algebraicznej . Są to te homologii włókna gładkiego w rodzinie, które zanikają w pojedynczym włóknie.
Na przykład na mapie od połączonej powierzchni złożonej do złożonej linii rzutowej, ogólne włókno jest gładką powierzchnią Riemanna pewnego ustalonego rodzaju g i ogólnie w celu będą izolowane punkty, których przedobrazami są krzywe węzłowe. Jeśli weźmie się pod uwagę izolowaną wartość krytyczną i małą pętlę wokół niej, w każdym włóknie można znaleźć gładką pętlę, tak że pojedyncze włókno można uzyskać przez ściśnięcie tej pętli do punktu. Pętla we włóknach gładkich daje element pierwszej grupy homologii powierzchni, a monodromia wartości krytycznej jest definiowana jako monodromia pierwszej homologii włókien w miarę przechodzenia przez pętlę, czyli odwracalna mapa pierwsza homologia (rzeczywistej) powierzchni rodzaju g.
Klasycznym wynikiem jest wzór Picarda-Lefschetza , szczegółowo opisujący, w jaki sposób monodromia wokół pojedynczego włókna działa na zanikające cykle, poprzez mapowanie ścinania .
Klasyczna, geometryczna teoria Solomona Lefschetza została przekształcona w kategoriach czysto algebraicznych w SGA7 . Stało się tak dla wymagań jego zastosowania w kontekście l-adycznej kohomologii ; i ewentualne zastosowanie do przypuszczeń Weila . Tam definicja używa kategorii pochodnych i wygląda zupełnie inaczej. Obejmuje funktor, pobliski funktor cyklu , z definicją za pomocą wyższego obrazu bezpośredniego i odciągów. Znikający funktor cyklu znajduje się wtedy w a wyróżniony trójkąt z pobliskim funktorem cyklu i bardziej elementarnym funktorem. To sformułowanie ma ciągły wpływ, w szczególności na teorię modułów D.
Zobacz też
- Dimca, Alexandru; Osobliwości i topologia hiperpowierzchni.
- Sekcja 3 Peters, CAM i JHM Steenbrink: Nieskończenie małe wariacje struktury Hodge'a i ogólny problem Torelli dla hiperpowierzchni rzutowych , w: Klasyfikacja rozmaitości algebraicznych , K. Ueno red., Progress inMath. 39, Birkhauser 1983.
- Aby zapoznać się z wersją cohomology étale , patrz rozdział o monodromii w Freitag, E.; Kiehl, Reinhardt (1988), Etale Cohomology and the Weil Conjecture , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-12175-8
- Deligne, Pierre ; Katz, Mikołaj , wyd. (1973), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1967–69 – Groupes de monodromie en géométrie algébrique – (SGA 7) – tom. 2 , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 340, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. x+438 , zob. zwłaszcza Pierre Deligne, Le formalisme des cycles évanescents , SGA 7 XIII i XIV.
- Massey, David (2010). „Uwagi na temat przewrotnych snopów i znikających cykli”. arXiv : matematyka/9908107 .
Linki zewnętrzne
- Znikający cykl w encyklopedii matematyki