Mapowanie ścinania

Poziome ścinanie płaszczyzny, przekształcające niebieski w czerwony kształt. Czarna kropka to pochodzenie.

W dynamice płynów mapowanie ścinania przedstawia przepływ płynu między równoległymi płytami w ruchu względnym.

W geometrii płaskiej mapowanie ścinania jest mapą liniową , która przesuwa każdy punkt w ustalonym kierunku o wartość proporcjonalną do jego znaku odległości od linii równoległej do tego kierunku i przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Ten typ mapowania jest również nazywany transformacją ścinającą , transwekcją lub po prostu ścinaniem .

$, y$ mapowanie, które przenosi dowolny punkt o y , $x$ } W tym przypadku przemieszczenie jest poziome o współczynnik 2, gdzie stała linia jest osią $,$ a podpisana odległość to ${\ displaystyle y}$ koordynować. Zwróć uwagę, że punkty po przeciwnych stronach linii odniesienia są przesunięte w przeciwnych kierunkach.

Odwzorowań ścinania nie należy mylić z obrotami . Zastosowanie mapy ścinania do zestawu punktów płaszczyzny spowoduje zmianę wszystkich kątów między nimi (z wyjątkiem kątów prostych ) oraz długości dowolnego odcinka linii , który nie jest równoległy do kierunku przemieszczenia. Dlatego zwykle zniekształca kształt figury geometrycznej, na przykład zamieniając kwadraty w równoległoboki , a koła w elipsy . Jednak ścinanie chroni ten obszar figur geometrycznych oraz wyrównania i względnych odległości punktów współliniowych . Odwzorowanie ścinania jest główną różnicą między stylami liter pionowych i ukośnych (lub kursywą) .

Ta sama definicja jest używana w geometrii trójwymiarowej , z wyjątkiem tego, że odległość jest mierzona od ustalonej płaszczyzny. Trójwymiarowa transformacja ścinająca zachowuje objętość figur bryłowych, ale zmienia obszary figur płaskich (z wyjątkiem tych, które są równoległe do przemieszczenia). Ta transformacja jest używana do opisania laminarnego przepływu płynu między płytami, z których jedna porusza się w płaszczyźnie powyżej i równolegle do pierwszej.

W ogólnej $jest$ przestrzeni kartezjańskiej $odległość$ mierzona od ustalonej hiperpłaszczyzny równoległej przemieszczenia. Ta transformacja geometryczna jest $zachowuje$ transformacją , która wymiarową $($ ) dowolnego zestawu .

Definicja

Poziome i pionowe ścinanie płaszczyzny

Poziome ścinanie kwadratu na równoległoboki ze współczynnikami

{\ Displaystyle \ łóżeczko (60 ^ {\ circ}) \ około 0,58}

i

{\ Displaystyle \ łóżeczko (45 ^{\cyr})=1}

W płaszczyźnie ścinanie poziome (lub ścinanie równoległe do osi x ) ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}}$ $(x + mój, y$ , która pobiera ogólny punkt o współrzędnych ( $y )$ ) gdzie ${\ displaystyle m}$ jest stałym parametrem, zwanym współczynnikiem ścinania .

Efektem tego mapowania jest przesunięcie każdego punktu w poziomie o wielkość proporcjonalną do $jego$ . Każdy punkt powyżej $-$ jest przesunięty w prawo (zwiększając $\$ , jeśli $displaystyle m> 0}$ i w lewo, jeśli ${\ displaystyle m <0} }$ . Punkty poniżej $-$ poruszają się w przeciwnym kierunku, podczas gdy punkty na osi pozostają nieruchome.

Linie proste równoległe do $-$ pozostają tam, gdzie są, podczas gdy wszystkie inne linie są obracane (o różne kąty) wokół punktu, w którym przecinają oś ${\ displaystyle x}$ . W szczególności linie pionowe stają się liniami ukośnymi o nachyleniu ${\ displaystyle 1/m}$ . Dlatego współczynnik ścinania $cotangensem$ kąta ścinania φ { $Displaystyle \ varphi}$ między dawnymi pionami a osią ${\ displaystyle x}$ . (W przykładzie po prawej stronie kwadrat jest nachylony o 30°, więc kąt ścinania wynosi 60°).

Jeśli współrzędne punktu są zapisane jako wektor kolumnowy ( macierz 2 × 1 ), odwzorowanie ścinania można zapisać jako mnożenie przez macierz 2 × 2:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} x ^ {\ pierwsza} \\ y ^ {\ pierwsza} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} x + mój \\ y \ koniec {pmatrix}} = { \begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

Pionowe ścinanie ( lub ścinanie równoległe do $)$ linii jest podobne, z wyjątkiem tego, $że$ $zamienione$ są . Odpowiada to mnożeniu wektora współrzędnych przez transponowaną macierz :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} x ^ {\ pierwsza} \\ y ^ {\ pierwsza} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} x \\ mx + y \ koniec {pmatrix}} = { \begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

$punkty$ na prawo od $-$ w górę lub w dół, w zależności od . Pozostawia linie pionowe niezmienne, ale przechyla wszystkie inne linie wokół punktu, w którym stykają się z osią - ${\ displaystyle y}$ . W szczególności linie poziome są pochylane pod kątem ścinania, $stać$ $się$ liniami o .

Ogólne odwzorowania ścinania

Dla przestrzeni wektorowej V i podprzestrzeni W , ścinanie W powoduje translację wszystkich wektorów w kierunku równoległym do W .

Dokładniej, jeśli V jest bezpośrednią sumą W i W ′ , a wektory zapisujemy jako

v = w + w′

odpowiednio, typowe mocowanie ścinane L W jest

L ( v ) = ( Lw + Lw′ ) = ( w + Mw′ ) + w′ ,

gdzie M jest liniowym odwzorowaniem od W′ do W . Dlatego w terminach macierzy blokowej L można przedstawić jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} I & M \\ 0 i ja \ koniec {pmatrix}}.}

Aplikacje

Następujące zastosowania mapowania ścinania zostały odnotowane przez Williama Kingdona Clifforda :

„Kolejność nożyc pozwoli nam zredukować każdą figurę ograniczoną liniami prostymi do trójkąta o równej powierzchni”.

„... możemy ściąć dowolny trójkąt w trójkąt prostokątny i nie zmieni to jego pola. Zatem pole dowolnego trójkąta jest równe połowie pola prostokąta o tej samej podstawie i wysokości równej prostopadłej na podstawy z przeciwnego kąta”.

Właściwość mapowania ścinania zachowująca obszar może być wykorzystana do wyników obejmujących obszar. Na przykład twierdzenie Pitagorasa zostało zilustrowane mapowaniem ścinania, a także powiązane twierdzenie o średniej geometrycznej .

Algorytm autorstwa Alana W. Paetha wykorzystuje sekwencję trzech odwzorowań ścinania (poziomo, pionowo, a następnie ponownie poziomo) do obracania obrazu cyfrowego o dowolny kąt. Algorytm jest bardzo prosty do wdrożenia i bardzo wydajny, ponieważ każdy krok przetwarza tylko jedną kolumnę lub jeden rząd pikseli naraz.

W typografii normalny tekst przekształcony przez mapowanie ścinające daje w rezultacie czcionkę ukośną .

W przedeinsteinowskiej teorii względności Galileusza transformacje między układami odniesienia to odwzorowania ścinające zwane transformacjami Galileusza . Są one również czasami widoczne podczas opisywania ruchomych ramek odniesienia względem „preferowanej” klatki, czasami określanej jako bezwzględny czas i przestrzeń .

Zobacz też