problemu McMullena

Nierozwiązany problem z matematyki :

Dla ilu punktów zawsze można rzutowo przekształcić punkty w położenie wypukłe?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Problem McMullena jest otwartym problemem w geometrii dyskretnej , nazwany na cześć Petera McMullena .

Oświadczenie

W 1972 roku David G. Larman opisał następujący problem:

Określ największą liczbę taką $nu$ że dla dowolnego danego punktu w ogólnej pozycji w ${\ Displaystyle \$ afinicznym $}$ przestrzeń ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ istnieje transformacja rzutowa odwzorowująca te punkty na pozycję wypukłą (tak, że tworzą wierzchołki wypukłej polytope ).

Larman przypisał problem prywatnej komunikacji Petera McMullena.

Równoważne preparaty

Transformacja Gale'a

Korzystając z transformacji Gale'a , problem ten można przeformułować jako:

${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x _ {\ mu (d)} \}}$ najmniejszą ${$ zestawu $,$ x w liniowo ogólnym położeniu na kuli ${\ Displaystyle S ^ {d-1}}$ można wybrać zestaw ${\ Displaystyle Y = \ {\varepsilon _{1}x_{1},\varepsilon _{2}x_{2},\kropki,\varepsilon _{\mu (d)}x_{\mu (d)}\}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {i} = \ pm 1}$ dla ${\ Displaystyle i = 1,2, \ kropki, \ mu (d)}$ , tak, że każda otwarta półkula ${\ Displaystyle S ^ {d-1} }$ zawiera co najmniej dwóch członków ${\ displaystyle Y}$ .

Liczby oryginalnego sformułowania problemu McMullena i $\ displaystyle \ nu}$ transformacji Gale'a są połączone relacjami ${$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mu (k)&=\min\{w\mid w\leq \nu (wk-1)\}\\\nu (d)&=\max\{w\mid w\geq \mu (wd-1 )\}\end{wyrównane}}}$$

Podział na prawie rozłączne kadłuby

Ponadto, za pomocą prostej obserwacji geometrycznej, można go przeformułować jako:

Określ najmniejszą liczbę taką, że dla każdego zestawu $Displaystyle$ w λ $lambda (d)}$$\$$\ \ mathbb {R} ^{d}}$ istnieje podział X ${\ displaystyle X}$ na dwa zbiory ${\ displaystyle A}$ i $displaystyle B}$ z

$${\ Displaystyle \ operatorname {conv} (A \ backslash \ {x \}) \ cap \ operatorname {conv} (B \ backslash \ {x \}) \ not = \ varnothing \ forall x \ in X. \, }$$

Relacja między i ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ lambda}$ jest

$${\ Displaystyle \ mu (d + 1) = \ lambda (d), \ qquad d \ geq 1 \,}$$

Dualizm projekcyjny

Układ linii podwójnych do pięciokąta foremnego. Każdy pięcioliniowy układ rzutowy, taki jak ten, ma komórkę dotykaną przez wszystkie pięć linii. Jednak dodanie linii w nieskończoności daje układ sześciu linii z sześcioma pięciokątnymi ścianami i dziesięcioma trójkątnymi ścianami; żadna twarz nie jest dotknięta wszystkimi liniami. Dlatego rozwiązaniem problemu McMullena dla d = 2 jest ν = 5.

Równoważnym podwójnym twierdzeniem projekcyjnym dla $\ nu (d)$ określenie największej liczby takiej, że każdy zestaw hiperpłaszczyzn w ogólnej pozycji $displaystyle$ w d -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni rzutowej tworzą układ hiperpłaszczyzn , w którym jedna z komórek jest ograniczona wszystkimi hiperpłaszczyznami.

Wyniki

Ten problem jest nadal otwarty. Jednak granice są w następujących wynikach: ${\ Displaystyle \ nu (d)}$

• David Larman udowodnił to w 1972 roku
  $${\ Displaystyle 2d + 1 \ równoważnik \ nu (d) \ równoważnik (d + 1) ^ {2}.}$$
• Michel Las Vergnas udowodnił to w 1986 roku
  $${\ Displaystyle \ nu (d) \ równoważnik {\ Frac {(d + 1) (d + 2)} {2}}.}$$
• Jorge Luis Ramírez Alfonsín udowodnił to w 2001 roku
  $${\ Displaystyle \ nu (d) \ równoważnik 2d + \ lewo \ lceil {\ Frac {d + 1} {2}} \ prawo \ rceil.}$$

Przypuszczenie tego problemu jest takie, że ${\ Displaystyle \ nu (d) = 2d + 1}$ . Zostało to udowodnione dla ${\ displaystyle d = 2,3,4}$ .