Reprezentacja spinu

W matematyce reprezentacje spinowe są szczególnymi reprezentacjami rzutowymi grup ortogonalnych lub specjalnych grup ortogonalnych w dowolnym wymiarze i sygnaturze (tj. obejmujących nieokreślone grupy ortogonalne ). Dokładniej, są to dwie równoważne reprezentacje grup spinowych , które są podwójnymi pokryciami specjalnych grup ortogonalnych. Zwykle są badane nad rzeczywistymi lub liczby zespolone , ale można je definiować w innych polach .

Elementy reprezentacji spinowej nazywane są spinorami . Odgrywają ważną rolę w fizycznym opisie fermionów , takich jak elektron .

Reprezentacje spinowe można konstruować na kilka sposobów, ale zazwyczaj konstrukcja obejmuje (być może tylko niejawnie) wybór maksymalnej podprzestrzeni izotropowej w reprezentacji wektorowej grupy. W przypadku liczb rzeczywistych zwykle wymaga to zastosowania złożoności reprezentacji wektorowej. Z tego powodu wygodnie jest najpierw zdefiniować reprezentacje spinowe na liczbach zespolonych i wyprowadzić rzeczywiste reprezentacje , wprowadzając rzeczywiste struktury .

Właściwości reprezentacji spinowych zależą w subtelny sposób od wymiaru i sygnatury grupy ortogonalnej. W szczególności reprezentacje spinowe często dopuszczają niezmienne formy dwuliniowe , które można wykorzystać do osadzenia grup spinowych w klasycznych grupach Liego . W niskich wymiarach te osadzenia są suriekcyjne i określają specjalne izomorfizmy między grupami spinowymi a bardziej znanymi grupami Liego; wyjaśnia to właściwości spinorów w tych wymiarach.

Organizować coś

Niech $V$ będzie skończenie wymiarową rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią wektorową o niezdegenerowanej formie kwadratowej $Q$ . (Rzeczywiste lub złożone) odwzorowania liniowe zachowujące $Q$ tworzą grupę ortogonalną $O(V, Q)$ . Składnik identycznościowy grupy nazywamy specjalną grupą ortogonalną $SO(V, Q)$ . (Dla $W$ rzeczywista z nieokreśloną formą kwadratową, ta terminologia nie $jest standardowa tym przypadku )$ : specjalna grupa ortogonalna jest zwykle definiowana jako podgrupa z dwoma składnikami w . grupa spinowa $Spin(V, Q)$ . Istnieje więc homomorfizm grupowy $h : Spin(V, Q) \to SO(V, Q)$ którego jądro ma dwa elementy oznaczone ${1, -1}$ , gdzie $1$ to element tożsamości . Zatem elementy grupowe $g$ i $-g$ Spin $(V, Q)$ są po homomorfizmie równoważne $SO(V, Q)$ ; to znaczy $h (g) = h (-g)$ dla dowolnego $g$ w $Spin (V, Q)$ .

Wszystkie grupy $O(V, Q), SO(V, Q)$ i $Spin(V, Q)$ są grupami Liego , a dla ustalonego $(V, Q)$ mają tę samą algebrę Liego , $czyli (V, Q)$ . Jeśli $V$ jest rzeczywista, to $V$ jest rzeczywistą podprzestrzenią wektorową jej złożoności $V C = V \otimes R C$ , a forma kwadratowa $Q$ rozciąga się naturalnie do postaci kwadratowej $Q C$ na $V C$ . To osadza $SO(V, Q)$ jako podgrupę SO $(V C, Q C)$ , a zatem możemy zrealizować $Spin (V, Q)$ jako podgrupę $Spin (V C, Q ) C)$ . Ponadto $so (V C, Q C)$ jest złożonością $so (V, Q)$ .

W przypadku złożonym formy kwadratowe są określane jednoznacznie aż do izomorfizmu przez $wymiar$ $n$ V . Konkretnie, możemy założyć, $że V = C n$ i

{\ Displaystyle Q (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}.}

Odpowiednie grupy Liego są oznaczone jako $O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C)$ , a ich algebry Liego jako $so (n, C)$ .

W rzeczywistym przypadku formy kwadratowe są określone z dokładnością do izomorfizmu przez parę nieujemnych liczb całkowitych $(p, q)$ , gdzie $n = p + q$ jest wymiarem $V$ , a $p - q$ jest sygnaturą . Konkretnie, możemy założyć, $że V = R n$ i

{\ Displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {p} ^ {2} - ( x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).}

Odpowiednie grupy Liego i algebra Liego są oznaczone jako $O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q)$ i $tak (p, q)$ . Piszemy $R p, q$ zamiast $R n$ , aby podpis był wyraźny.

Reprezentacje spinowe są w pewnym sensie najprostszymi reprezentacjami Spin $(n, C)$ i $Spin(p, q)$ , które nie pochodzą z reprezentacji $SO(n, C)$ i $SO(p, q)$ . Reprezentacja spinowa jest zatem rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią wektorową $S$ wraz z homomorfizmem grupowym $ρ$ ze $Spin(n, C)$ lub $Spin(p, q)$ do ogólnej grupy liniowej $GL(S)$ takiej, że element $-1$ nie jest w jądrze $ρ$ .

Jeśli $S$ jest taką reprezentacją, to zgodnie z relacją między grupami Liego a algebrami Liego indukuje reprezentację algebry Liego , tj. homomorfizm algebry Liego od $so (n, C)$ lub $tak (p, q)$ do algebry Liego $gl (S)$ endomorfizmów S z $nawiasem$ komutatorowym . _

Reprezentacje spinowe można analizować zgodnie z następującą strategią: jeśli $S$ jest rzeczywistą reprezentacją spinową $Spin(p, q)$ , to jej złożoność jest złożoną reprezentacją spinową $Spin(p, q)$ ; jako reprezentacja $so (p, q)$ rozciąga się zatem na złożoną reprezentację $so (n, C)$ . Postępując w odwrotnej kolejności, my zatem pierwsi skonstruować złożone reprezentacje spinowe $Spin(n, C)$ i $tak (n, C)$ , następnie ograniczyć je do złożonych reprezentacji spinowych $so (p, q)$ i $Spin (p, q)$ , a następnie przeanalizować możliwe redukcje do rzeczywistych reprezentacji spinowych .

Złożone reprezentacje spinowe

Niech $V = C n$ ze standardową formą kwadratową $Q$ tak, że

{\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (V, Q) = {\ mathfrak {tak}} (n, \ mathbb {C}).}

Symetryczna forma dwuliniowa na $V$ powiązana z $Q$ przez polaryzację jest oznaczona $⟨.,.⟩$ .

Podprzestrzenie izotropowe i systemy korzeniowe

Standardowa konstrukcja spinowych reprezentacji $so (n, C)$ zaczyna się od wyboru pary $(W, W *)$ maksymalnych całkowicie izotropowych podprzestrzeni (względem $Q$ ) $V$ z $W \cap W * = 0$ . Dokonajmy takiego wyboru. Jeśli $n = 2 m$ lub $n = 2 m + 1$ , to $W$ i $W *$ oba mają wymiar $m$ . Jeśli $n = 2 m$ , to $V = W \oplus W *$ , natomiast jeśli $n = 2 m + 1$ , to $V = W \oplus U \oplus W *$ , gdzie $U$ jest jednowymiarowym dopełnieniem ortogonalnym do $W \oplus W *$ . Forma dwuliniowa $⟨.,.⟩$ związana z $Q$ indukuje parowanie między $W$ i $W *$ , które muszą być niezdegenerowane, ponieważ $W$ i $W *$ są podprzestrzeniami całkowicie izotropowymi, a $Q$ jest niezdegenerowany. Stąd $W$ i $W *$ są podwójnymi przestrzeniami wektorowymi .

Konkretniej, niech $a 1, \dots a m$ będzie bazą dla $W$ . Wtedy istnieje jednoznaczna baza $α 1, ... α m$ z $W *$ taka, że

{\ Displaystyle \ langle \ alfa _ {i}, a_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}

Jeśli $A$ jest macierzą $m \times m$ , to $A$ indukuje endomorfizm $W$ względem tej bazy, a transpozycja $A T$ indukuje transformację $W *$ z

{\ Displaystyle \ langle Aw, w ^ {*} \ rangle = \ langle w, A ^ {\ operatorname {T}} w ^ {*} \ zakres }

$* dla$ wszystkich $w$ w $W$ iw w $W *$ . Wynika z $- AT tego$ , że endomorfizm $ρ A$ z $V$ , równy $A$ na $W$ , na $W *$ i zero na $U$ (jeśli $n$ jest nieparzyste), jest skośny,

{\ Displaystyle \ langle \ rho _ {A} u, v \ rangle = - \ langle u, \ rho _ {A} v \ rangle}

dla wszystkich $u, v$ w $V$ , a zatem ( patrz grupa klasyczna ) element $so (n, C) \subset Koniec (V)$ .

Użycie macierzy diagonalnych w tej konstrukcji definiuje podalgebrę Cartana $h$ z $so (n, C)$ : ranga so $m (n, C)$ to $m$ , a macierze diagonalne $n \times n$ określają $-$ wymiarową podalgebrę abelową.

Niech $ε 1, \dots ε m$ będzie podstawą $h *$ taką, że dla diagonalnej macierzy $A, ε k (ρ A)$ jest $k-$ tą przekątną $A$ . Oczywiście jest to baza dla $h *$ . Ponieważ forma dwuliniowa identyfikuje się $tak (n, do)$ z , wyraźnie, ${\ displaystyle \ klin ^ {2} V}$

{\ Displaystyle x \ klin y \ mapsto \ varphi _ {x \ klin y}, \ quad \ varphi _ {x \ klin y} (v) = 2 (\ langle y, v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\klin y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\ klin y}\w {\mathfrak {tak}}(n,\mathbb {C}),}

teraz łatwo jest zbudować system główny powiązany z $h$ . Przestrzenie pierwiastków (jednoczesne przestrzenie własne dla działania $h$ ) obejmują następujące elementy:

\ Displaystyle a_ {i} \ klin a_ {j}, \; i \ neq j,}

z pierwiastkiem (jednoczesna wartość własna)

{\ Displaystyle \ varepsilon _ { ja} + \ varepsilon _ {j}}

\ Displaystyle a_ {i} \ klin \ alfa _ {j}}

(który jest w

h

, jeśli

i = j)

z pierwiastkiem

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j}}

{\ Displaystyle \ alfa _ {i} \ klin \ alfa _ {j}, \; i \ neq j,}

z korzeniem

{\ Displaystyle - \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j},}

i jeśli $n$ jest nieparzyste, a $u$ jest niezerowym elementem $U$ ,

{\ Displaystyle a_ {i} \ klin u,}

z korzeniem

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {i}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} \ klin u,}

z pierwiastkiem

{\ Displaystyle - \ varepsilon _ {i}.}

Zatem względem podstawy $ε 1, \dots ε m$ pierwiastki są wektorami w $h *$ , które są permutacjami

{\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0, \ kropki, 0)}

razem z permutacjami

{\ Displaystyle (\ pm 1,0, 0, \ kropki, 0)}

jeśli $n = 2 m + 1$ jest nieparzyste.

Układ pierwiastków dodatnich jest dany przez $ε i + ε j (i \neq j), ε i - ε j (i < j)$ oraz (dla $n$ nieparzystych) $ε i$ . Odpowiednie proste pierwiastki to

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {1} - \ varepsilon _ {2}, \ varepsilon _ {2} - \ varepsilon _ {3}, \ ldots, \ varepsilon _ {m-1} - \ varepsilon _ {m}, \left\{{\begin{macierz}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{macierz}}\right .}

Dodatnie korzenie są nieujemnymi całkowitymi kombinacjami liniowymi pierwiastków prostych.

Reprezentacje spinowe i ich wagi

Jedna konstrukcja reprezentacji spinowych $so (n, C)$ wykorzystuje zewnętrzną algebrę (s)

{\ Displaystyle S = \ klin ^ {\ punktor} W}

i / lub

{\ Displaystyle S '= \ klin ^ {\ punktor} W ^ {*}.}

Istnieje działanie $V$ na $S$ takie, że dla dowolnego elementu $v = w + w *$ w $W \oplus W *$ i dowolnego $ψ$ w $S$ działanie jest określone wzorem:

{\ Displaystyle v \ cdot \ psi = 2 ^ {\ Frac {1} {2}} (w \ klin \ psi + \ jota (w^{*})\psi ),}

gdzie drugim wyrazem jest kontrakcja ( mnożenie wewnętrzne ) zdefiniowana za pomocą postaci dwuliniowej, która tworzy pary $W$ i $W *$ . To działanie respektuje relacje Clifforda $v 2 = Q (v) 1$ , a więc indukuje homomorfizm z algebry Clifforda $Cl n C$ funkcji $V$ do $End(S)$ . Podobną akcję można zdefiniować na $S'$ , tak że zarówno $S$ i $S'$ to moduły Clifforda .

Algebra Liego $so (n, C)$ jest izomorficzna ze złożonym spinem algebry Liego $n C w$ Cl $n C poprzez$ odwzorowanie indukowane przez pokrycie $Spin (n) \to SO (n)$

{\ Displaystyle v \ klin w \ mapsto {\ tfrac {1} {4}} [v, w].}

Wynika z tego, że zarówno $S,$ jak i $S'$ są reprezentacjami $so (n, C)$ . W rzeczywistości są to równoważne reprezentacje, więc skupimy się na S .

Wyraźny opis pokazuje, że elementy $α i \land a i$ podalgebry Cartana $h$ działają na $S$ przez

{\ Displaystyle (\ alfa _ {i} \ klin a_ {i}) \ cdot \ psi = {\ tfrac {1} {4}} (2 ^ {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} (\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1} {2}}\psi -a_{i}\klin (\iota (\alpha _{i})\psi).}

Podstawą dla $S$ są elementy formy

{\ Displaystyle a_ {i_ {1}} \ klin a_ {i_ {2}} \ klin \ cdots \ klin a_ {i_ {k}}}

dla $0 \leq \leq mi ja$ $< ... < ja k k$ 1 . Te wyraźnie obejmują przestrzenie wagowe dla działania $h$ : $α i \land a i$ ma wartość własną −1/2 na danym wektorze bazowym, jeśli $i = i j$ dla pewnego $j$ , i ma wartość własną $1/2$ w przeciwnym razie.

Wynika z tego, że $wagi S$ są wszystkimi możliwymi kombinacjami

{\ Displaystyle {\ bigl (} \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}

a każda przestrzeń wagowa jest jednowymiarowa. Elementy $S$ nazywane są spinorami Diraca .

Kiedy $n$ jest parzyste, $S$ nie jest reprezentacją nieredukowalną : ${\ Displaystyle S_ {+} = \ klin ^ {\ operatorname {parzysty}} W}$ i ${\ Displaystyle S_ {-} = \ klin ^ {\ operatorname {nieparzyste}} W}$ są niezmiennymi podprzestrzeniami. Wagi dzielą się na te z parzystą liczbą znaków minus i te z nieparzystą liczbą znaków minus. Zarówno S _+, jak i S ₋ są nieredukowalnymi reprezentacjami wymiaru 2 ^{m −1} , których elementy nazywane są spinorami Weyla . Są one również znane jako chiralne reprezentacje spinowe lub reprezentacje półspinowe. W odniesieniu do powyższego dodatniego systemu korzeniowego, najwyższe wagi S ₊ i S _- wynoszą

{\ Displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac { 1}{2}}, {\ tfrac {1}{2}} {\ bigr)}}

i

{\ Displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}

odpowiednio. Działanie Clifforda identyfikuje Cl _n C z End( S ), a parzystą podalgebrę identyfikuje się z endomorfizmami zachowującymi S ₊ i S ₋ . Drugi moduł Clifforda S ′ jest w tym przypadku izomorficzny z S.

Kiedy n jest nieparzyste, S jest nieredukowalną reprezentacją so ( n , C ) o wymiarze 2 ^m : działanie Clifforda wektora jednostkowego u ∈ U jest określone wzorem

\ Displaystyle u \ cdot \ psi = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} \ psi & {\ hbox {if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {parzyste} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {nieparzyste} }W\end{ macierz}}\prawo.}

a więc elementy so ( n , C ) postaci u ∧ w lub u ∧ w ^∗ nie zachowują parzystych i nieparzystych części zewnętrznej algebry W . Największa waga S to

{\ Displaystyle {\ bigl {} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}.}

Działanie Clifforda nie jest wierne na S : Cl _n C można utożsamiać z End( S ) ⊕ End( S ′), gdzie u działa ze znakiem przeciwnym na S ′. Dokładniej, te dwie reprezentacje są powiązane przez inwolucję parzystości α Cl n _C ( znaną również jako główny automorfizm), która jest tożsamością na parzystej podalgebrze i minus tożsamość na nieparzystej części Cl _n C . Innymi słowy, istnieje izomorfizm liniowy od S do S ′, co utożsamia działanie A w Cl _n C na S z działaniem α ( A ) na S ′.

Formularze dwuliniowe

jeśli λ jest wagą S , to jest również - λ . Wynika z tego, że S jest izomorficzne z podwójną reprezentacją S ^∗ .

Kiedy n = 2 m + 1 jest nieparzyste, izomorfizm B : S → S ^∗ jest unikalny w skali lematu Schura , ponieważ S jest nieredukowalny i definiuje niezdegenerowaną niezmienną postać dwuliniową β na S przez

{\ Displaystyle \ beta (\ varphi, \ psi) = B (\ varphi) (\ psi).}

Tutaj niezmienność oznacza to

{\ Displaystyle \ beta (\ xi \ cdot \ varphi, \ psi) + \ beta (\ varphi, \ xi \ cdot \ psi) = 0 }

dla wszystkich ξ w so ( n , C ) i φ , ψ w S — innymi słowy działanie ξ jest skośne względem β . W rzeczywistości więcej jest prawdą: S ^∗ jest reprezentacją przeciwnej algebry Clifforda, a zatem, ponieważ Cl _n C ma tylko dwa nietrywialne proste moduły S i S ′, powiązane przez inwolucję parzystości α , istnieje antyautomorfizm τ Cl _n C taki, że

{\ Displaystyle \ quad \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ beta (\ varphi, \ tau ( A)\cdot \psi )\qquad (1)}

dla dowolnego A w Cl _n C . W rzeczywistości τ jest rewersją (antyautomorfizm wywołany identycznością na V ) dla parzystych m i koniugacją (antyautomorfizm wywołany przez minus identyczność na V ) dla m nieparzystych. Te dwa antyautomorfizmy są powiązane przez inwolucję parzystości α , która jest automorfizmem indukowanym przez minus identyczność na V . Oba spełniają τ ( ξ ) = − ξ dla ξ w tzw ( n , do ).

Kiedy n = 2 m , sytuacja bardziej zależy od parzystości m . Dla m parzystej waga λ ma parzystą liczbę znaków minus wtedy i tylko wtedy, gdy - λ ma; wynika z tego, że istnieją oddzielne izomorfizmy B _± : S _± → S _±^∗ każdej reprezentacji półspinu z jej podwójną, z których każdy jest określony jednoznacznie w skali. Można je połączyć w izomorfizm B : S → S ^∗ . Dla m nieparzystego λ jest wagą S ₊ wtedy i tylko wtedy, gdy − λ jest wagą S ₋ ; tak więc istnieje izomorfizm od S ₊ do S _-^∗ , ponownie unikalny w skali, a jego transpozycja zapewnia izomorfizm od S _- do S ₊^∗ . Można je ponownie połączyć w izomorfizm B : S → S ^∗ .

Zarówno dla m parzystego, jak i mod nieparzystego swoboda wyboru B może być ograniczona do ogólnej skali, nalegając, aby dwuliniowa forma β odpowiadająca B spełniała (1), gdzie τ jest ustalonym antyautomorfizmem (albo rewersją, albo koniugacją).

Symetria i kwadrat tensorowy

Właściwości symetrii β : S ⊗ S → C można określić za pomocą algebr Clifforda lub teorii reprezentacji. W rzeczywistości można powiedzieć o wiele więcej: kwadrat tensorowy S ⊗ S musi rozłożyć się na bezpośrednią sumę form k na V dla różnych k , ponieważ jego wagami są wszystkie elementy w h ^∗ , których składowe należą do {−1,0,1 }. Teraz ekwiwariantne odwzorowania liniowe S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ odpowiadają bijektywnie mapom niezmiennym ∧ ^k V ⊗ S ⊗ S → C i niezerowym takie mapy można skonstruować poprzez włączenie ∧ ^k V do algebry Clifforda. Ponadto, jeśli β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) i τ ma znak ε _k na ∧ ^k V, to

{\ Displaystyle \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ varepsilon \ varepsilon _ {k} \ beta (A \ cdot \psi ,\varphi )}

dla A w ∧ ^k V .

Jeśli n = 2 m +1 jest nieparzyste, to z lematu Schura wynika, że

{\ Displaystyle S \ czasami S \ cong \ bigoplus _ {j = 0} ^ {m} \ klin ^ {2j} V ^ {*}}

(obie strony mają wymiar 2 ^{2 m} , a reprezentacje po prawej stronie są nierównoważne). Ponieważ symetriami rządzi inwolucja τ , która jest koniugacją lub rewersją, symetria składowej ∧ ^2j V ^∗ zmienia się z j . Kombinatoryka elementarna daje

{\ Displaystyle \ suma _ {j = 0} ^ {m} (-1) ^ {j} \ dim \ klin ^ {2j} \ mathbb {C} ^ {2m + 1} = (- 1) ^ {{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)} (\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}

a znak określa, które reprezentacje występują w S ² S , a które w ∧ ² S . W szczególności

{\ Displaystyle \ beta (\ fi, \ psi) = (-1) ^ {{\ Frac {1 }{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi )}

i

{\ Displaystyle \ beta (v \ cdot \ fi, \ psi) = (-1) ^ {m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta ( \phi ,v\cdot \psi )}

dla v ∈ V (które jest izomorficzne z ∧ ^{2 m} V ), potwierdzając, że τ jest rewersją dla m parzystej, a koniugacją dla m nieparzystej.

Jeśli n = 2 m jest parzyste, analiza jest bardziej skomplikowana, ale wynikiem jest bardziej wyrafinowany rozkład: S ² S _± , ∧ ² S _± i S ₊ ⊗ S ₋ można rozłożyć jako bezpośrednią sumę k - formy (gdzie dla k = m następuje dalszy rozkład na samodualne i antysamodualne m -formy).

Głównym rezultatem jest realizacja so ( n , C ) jako podalgebry klasycznej algebry Liego na S , zależnej od n modulo 8, zgodnie z poniższą tabelą:

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
algebry spinora	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (S_ {+}) \ oplus {\ mathfrak {tak}} (S_ {-})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (S)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S_ {+}) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (S_ {-})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (S)}$

Dla n ≤ 6 te osadzenia są izomorfizmami (raczej na sl niż gl dla n = 6):

{\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (2, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {gl}} (1, \mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2, \ mathbb {C}) \ qquad (= {\ mathfrak {sl}} (2 \ mathbb {C}}}}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (4, \ mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C})\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C})}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (5 \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (4 \ mathbb {C})}

{\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (6, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sl}} (4, \ mathbb {C}).}

Prawdziwe reprezentacje

Złożone reprezentacje spinowe so ( n , C ) dają rzeczywiste reprezentacje S so ( p , q ) poprzez ograniczenie działania do rzeczywistych podalgebr . Istnieją jednak dodatkowe struktury „rzeczywistości”, które są niezmienne pod działaniem rzeczywistych algebr Liego. Występują one w trzech rodzajach.

Istnieje niezmienne zespolone odwzorowanie antyliniowe r : S → S gdzie r ² = id _S . Zbiór punktów stałych r jest wtedy rzeczywistą podprzestrzenią wektorową S _R z S z S _R ⊗ C = S . Nazywa się to prawdziwą strukturą .
Istnieje niezmienne zespolone odwzorowanie antyliniowe j : S → S z j ² = −id _S . Wynika z _tego , że potrójne i , j i k := ij czynią S kwaternionową przestrzenią wektorową SH . Nazywa się to strukturą czwartorzędową .
Istnieje niezmienna zespolona mapa antyliniowa b : S → S ^∗ , która jest odwracalna. To definiuje dwuliniową postać pseudohermitowską na S i jest nazywane strukturą hermitowską .

Typ niezmiennika struktury pod so ( p , q ) zależy tylko od sygnatury p - q modulo 8 i jest podany w poniższej tabeli.

p − q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Struktura	R + R	R	C	H	H + H	H	C	R

Tutaj R , C i H oznaczają odpowiednio struktury rzeczywiste, hermitowskie i czwartorzędowe, a R + R i H + H wskazują, że reprezentacje półspinowe dopuszczają odpowiednio struktury rzeczywiste lub czwartorzędowe.

Opis i tabele

Aby uzupełnić opis rzeczywistej reprezentacji, musimy opisać, w jaki sposób te struktury oddziałują na niezmienne formy dwuliniowe. Ponieważ n = p + q ≅ p − q mod 2, istnieją dwa przypadki: wymiar i podpis są parzyste, a wymiar i podpis są nieparzyste.

Przypadek nieparzysty jest prostszy, istnieje tylko jedna zespolona reprezentacja spinu S , a struktury hermitowskie nie występują. Poza trywialnym przypadkiem n = 1, S jest zawsze parzyste, powiedzmy dim S = 2 N . Rzeczywiste formy so (2 N , C ) to tak ( K , L ) gdzie K + L = 2 N i tak ^∗ ( N , H ), podczas gdy rzeczywiste formy sp (2 N , C ) to sp (2 N , R ) i sp ( K , L ) z K + L = N . Obecność działania Clifforda V na S wymusza K = L w obu przypadkach, chyba że pq = 0, w którym to przypadku KL = 0, co oznacza się po prostu tak (2 N ) lub sp ( N ). Stąd nieparzyste reprezentacje spinów można podsumować w poniższej tabeli.

	n mod 8	1, 7	3, 5
p - q mod 8		więc (2 N , C )	sp (2 N , C )
1, 7	R	tak ( N , N ) lub tak (2 N )	sp (2 N , R )
3, 5	H	więc ^∗ ( N , H )	sp ( N /2, N /2) ^† lub sp ( N )

(†) $N$ jest parzyste dla $n > 3$ i dla $n = 3$ , to jest $sp (1)$ .

Przypadek parzystowymiarowy jest podobny. Dla $n > 2$ złożone reprezentacje półspinu są parzyste. Mamy dodatkowo do czynienia ze strukturami hermitowskimi i postaciami rzeczywistymi $sl (2 N, C)$ , którymi są $sl ( 2 N, R)$ , $su (K, L)$ gdzie $K + L = 2 N$ , oraz $sl (N, H)$ . Wynikowe reprezentacje parzystego spinu podsumowano w następujący sposób.

	n mod 8	0	2, 6	4
p - q mod 8		więc (2 N , C ) + więc (2 N , C )	sl (2 N , C )	sp (2 N , do ) + sp (2 N , do )
0	R + R	więc ( N , N )+ więc ( N , N ) ^∗	sl (2 N , R )	sp (2 N , R ) + sp (2 N , R )
2, 6	C	więc (2 N , C )	su ( N , N )	sp (2 N , C )
4	H + H	więc ^∗ ( N , H )+ więc ^∗ ( N , H )	sl ( N , H )	sp ( N /2, N /2)+ sp ( N /2, N /2) ^†

(*) Dla $pq = 0$ zamiast tego mamy $so (2 N) + so (2 N)$

(†) $N$ jest parzyste dla $n > 4$ i dla $pq = 0$ (co obejmuje $n = 4$ z $N = 1$ ), zamiast tego mamy $sp (N) + sp (N)$

Izomorfizmy niskowymiarowe w przypadku złożonym mają następujące postacie rzeczywiste.

Sygnatura euklidesowa	podpis Minkowskiego	Inne podpisy
${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (2) \ cong {\ mathfrak {u}} (1)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (1,1) \ cong \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (3) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (2,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R})}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (4) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1) \ oplus {\ mathfrak {sp} }(1)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (3,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (2,2) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R})}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (5) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (4,1) \ kong {\ mathfrak {SP}} (1,1)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3,2) \ kong {\ mathfrak {sp}} (4, \ mathbb {R})}$
${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (6) \ cong {\ mathfrak {su}} (4)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (5,1) \ kong {\ mathfrak {SL}} (2, \ mathbb {H})}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (4,2) \ cong {\ mathfrak {su}} (2,2)}$	${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (3,3) \ kong {\ mathfrak {SL}} (4, \ mathbb {R})}$

Jedynymi specjalnymi izomorfizmami rzeczywistych algebr Liego, których brakuje w tej tabeli, są ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} ^ {*} (3, \ mathbb {H } ) \ cong {\ mathfrak {su}} (3,1)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} ^ {*} (4, \ mathbb {H}) \ cong {\ mathfrak {więc}} (6,2).}$

Notatki

Brauer, Ryszard ; Weyl, Hermann (1935), „Spinory w n wymiarach”, American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, tom. 57, nr 2, 57 (2): 425–449, doi : 10.2307/2371218 , JSTOR 2371218 .
Cartan, Élie (1966), Teoria spinorów , Paryż, Hermann (przedruk 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9 .
Chevalley, Claude (1954), algebraiczna teoria spinorów i algebr Clifforda , Columbia University Press (przedruk 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9 .
Deligne, Pierre (1999), „Notatki o spinorach”, w: P. Deligne; P. Etingof; DS Uwolniony; LC Jeffrey; D. Kazdan; JW Morgana; DR Morrison; E. Witten (red.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians , Providence: American Mathematical Society, s. 99–135 . Zobacz także stronę internetową programu , aby zapoznać się z wersją wstępną.
Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoria reprezentacji. Kurs pierwszy , Teksty magisterskie z matematyki , Lektury z matematyki, t. 129, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97495-4 , MR 1153249 .
Harvey, F. Reese (1990), Spinory i kalibracje , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4 .
Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0 .
Weyl, Hermann (1946), Klasyczne grupy: ich niezmienniki i reprezentacje (wyd. 2), Princeton University Press (przedruk 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .