Kategoryczna mechanika kwantowa
Kategoryczna mechanika kwantowa to badanie podstaw kwantowych i informacji kwantowych z wykorzystaniem paradygmatów matematyki i informatyki , zwłaszcza teorii kategorii monoidalnych . Prymitywnymi przedmiotami badań są procesy fizyczne i różne sposoby ich komponowania. Zapoczątkowali ją w 2004 roku Samson Abramsky i Bob Coecke . Kategoryczna mechanika kwantowa to pozycja 18M40 w MSC2020 .
Układ matematyczny
Matematycznie podstawowa konfiguracja jest uchwycona przez sztyletową symetryczną monoidalną kategorię : kompozycja morfizmów modeluje sekwencyjną kompozycję procesów, a iloczyn tensorowy opisuje równoległą kompozycję procesów. Rolą sztyletu jest przypisanie każdemu stanowi odpowiedniego testu. Można je następnie ozdobić większą strukturą, aby badać różne aspekty. Na przykład:
- Zwarta kategoria sztyletu pozwala rozróżnić „wejście” i „wyjście” procesu. W rachunku diagramowym pozwala na zginanie drutów, co pozwala na mniej ograniczony transfer informacji. W szczególności pozwala na stany splątane i pomiary oraz podaje eleganckie opisy protokołów, takich jak teleportacja kwantowa . W teorii kwantowej bycie zwartym domkniętym jest związane z izomorfizmem Choi-Jamiołkowskiego (znanym również jako dualność procesu-stanu ), podczas gdy struktura sztyletu oddaje zdolność przyjmowania sprzężeń map liniowych.
- Biorąc pod uwagę tylko te morfizmy, które są całkowicie dodatnimi mapami , można również obsługiwać stany mieszane , co pozwala kategorycznie badać kanały kwantowe .
- Druty są zawsze dwustronne (i nigdy nie można ich podzielić na Y), odzwierciedlając twierdzenia mechaniki kwantowej o zakazie klonowania i usuwania .
- Specjalny przemienny sztylet Algebry Frobeniusa modelują fakt, że pewne procesy dostarczają klasycznych informacji, które można sklonować lub usunąć, przechwytując w ten sposób klasyczną komunikację .
- We wczesnych pracach biprodukty sztyletu były używane do badania zarówno klasycznej komunikacji , jak i zasady superpozycji . Później te dwie cechy zostały rozdzielone.
- Komplementarne algebry Frobeniusa ucieleśniają zasadę komplementarności , która jest wykorzystywana z dużym skutkiem w obliczeniach kwantowych, jak w rachunku ZX .
Znaczna część matematycznego kręgosłupa tego podejścia pochodzi z australijskiej teorii kategorii, w szczególności z prac Maxa Kelly'ego i ML Laplazy, Andre Joyala i Rossa Streeta , A. Carboniego i RFC Waltersa oraz Steve'a Lacka. Nowoczesne podręczniki zawierają kategorie teorii kwantowej i obrazowania procesów kwantowych .
Rachunek diagramatyczny
Jedną z najbardziej zauważalnych cech kategorycznej mechaniki kwantowej jest to, że strukturę kompozycyjną można wiernie uchwycić za pomocą diagramów strun .
Te języki diagramów wywodzą się z notacji graficznej Penrose'a , opracowanej na początku lat siedemdziesiątych. Rozumowanie schematyczne było już wcześniej stosowane w informatyce kwantowej w modelu obwodów kwantowych , jednak w kategorycznej mechanice kwantowej prymitywne bramki, takie jak bramka CNOT , powstają jako kompozyty bardziej podstawowych algebr, co daje znacznie bardziej zwarty rachunek różniczkowy. W szczególności rachunek ZX wyrósł z kategorycznej mechaniki kwantowej jako schematyczny odpowiednik konwencjonalnego liniowego rozumowania algebraicznego dotyczącego bramek kwantowych . Rachunek ZX składa się z zestawu generatorów reprezentujących wspólne bramki kwantowe Pauliego i bramki Hadamarda wyposażonej w zestaw graficznych reguł przepisywania rządzących ich interakcją. Chociaż nie ustalono jeszcze standardowego zestawu reguł przepisywania, niektóre wersje okazały się kompletne , co oznacza, że każde równanie, które zachodzi między dwoma obwodami kwantowymi przedstawionymi jako diagramy, można udowodnić za pomocą reguł przepisywania. Rachunek ZX był używany do badania na przykład obliczeń kwantowych opartych na pomiarach .
Gałęzie działalności
Aksjomatyzacja i nowe modele
Jednym z głównych sukcesów programu badań kategorycznej mechaniki kwantowej jest to, że z pozornie słabych abstrakcyjnych ograniczeń struktury kompozycyjnej okazało się, że można wyprowadzić wiele zjawisk mechaniki kwantowej. W przeciwieństwie do wcześniejszych podejść aksjomatycznych, które miały na celu zrekonstruowanie przestrzeni Hilberta z rozsądnych założeń, ta postawa nie dążenia do pełnej aksjomatyzacji może prowadzić do nowych interesujących modeli opisujących zjawiska kwantowe, które mogą być przydatne przy tworzeniu przyszłych teorii.
Kompletność i reprezentacja wyników
Istnieje kilka twierdzeń odnoszących abstrakcyjne ustawienie kategorycznej mechaniki kwantowej do tradycyjnych ustawień mechaniki kwantowej.
- Kompletność rachunku diagramowego: równość morfizmów można udowodnić w kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy można to udowodnić w graficznym języku zwartych kategorii sztyletowych.
- Przemienne algebry Frobeniusa Daggera w kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta odpowiadają bazom ortogonalnym . Wersja tej korespondencji ma również dowolny wymiar.
- Pewne dodatkowe aksjomaty gwarantują, że skalary osadzają się w polu liczb zespolonych , a mianowicie istnienie skończonych produktów ubocznych sztyletu i korektorów sztyletu, trafności i ograniczenia liczności skalarów.
- Pewne dodatkowe aksjomaty oprócz poprzedniego gwarantują, że symetryczna monoidalna kategoria sztyletu osadza się w kategorii przestrzeni Hilberta, a mianowicie, czy każda monika sztyletu jest jądrem sztyletu. W takim przypadku skalary tworzą pole inwolucyjne zamiast po prostu osadzać się w jednym. Jeśli kategoria jest zwarta, osadzanie ląduje w skończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta.
- Sześć aksjomatów całkowicie charakteryzuje kategorię przestrzeni Hilberta, wypełniając program rekonstrukcji. Dwa z tych aksjomatów dotyczą sztyletu i iloczynu tensorowego, trzeci dotyczy biproduktów.
- Specjalnym sztyletowym algebrom Frobeniusa w kategorii zbiorów i relacji odpowiadają dyskretne grupoidy abelowe .
- Znajdowanie komplementarnych struktur bazowych w kategorii zbiorów i relacji odpowiada rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych z udziałem kwadratów łacińskich .
- z faktem, że maksymalnie splątane stany trójdzielne są SLOCC - równoważne stanowi GHZ lub W.
Kategoryczna mechanika kwantowa jako logika
Kategoryczną mechanikę kwantową można również postrzegać jako teoretyczną formę logiki kwantowej , która w przeciwieństwie do tradycyjnej logiki kwantowej obsługuje formalne rozumowanie dedukcyjne. Istnieje oprogramowanie , które wspiera i automatyzuje to rozumowanie.
Istnieje inny związek między kategoryczną mechaniką kwantową a logiką kwantową, ponieważ podobiekty w kategoriach jądra sztyletu i kategoriach biproduktów uzupełnionych sztyletem tworzą sieci ortomodularne . W rzeczywistości poprzednie ustawienie dopuszcza kwantyfikatory logiczne , których istnienie nigdy nie zostało w zadowalający sposób uwzględnione w tradycyjnej logice kwantowej.
Kategoryczna mechanika kwantowa jako podstawa mechaniki kwantowej
Kategoryczna mechanika kwantowa pozwala na opis bardziej ogólnych teorii niż teoria kwantowa. Umożliwia to zbadanie, które cechy wyróżniają teorię kwantową w porównaniu z innymi teoriami niefizycznymi, co, miejmy nadzieję, daje pewien wgląd w naturę teorii kwantowej. Na przykład ramy umożliwiają zwięzły opis kompozycyjny teorii zabawek Spekkensa , który pozwala wskazać, który składnik strukturalny powoduje, że różni się ona od teorii kwantowej.
Kategoryczna mechanika kwantowa i DisCoCat
DisCoCat stosują kategoryczną mechanikę kwantową do przetwarzania języka naturalnego . Typy gramatyki pregrup są interpretowane jako układy kwantowe, czyli obiekty kategorii zwartej sztyletu . Derywacje gramatyczne są interpretowane jako procesy kwantowe, np. czasownik przechodni przyjmuje swój podmiot i dopełnienie jako dane wejściowe i tworzy zdanie jako wynik. Słowa funkcyjne, takie jak wyznaczniki, przyimki, zaimki względne, koordynatory itp. Można modelować przy użyciu tych samych algebr Frobeniusa , które modelują klasyczną komunikację. Można to rozumieć jako funktor monoidalny od gramatyki do procesów kwantowych, formalna analogia, która doprowadziła do rozwoju kwantowego przetwarzania języka naturalnego .