Dualizm stanu kanału

W kwantowej teorii informacji dwoistość stanu kanału odnosi się do zgodności między kanałami kwantowymi a stanami kwantowymi (opisanymi przez macierze gęstości ). Inaczej mówiąc, dualność to izomorfizm między całkowicie dodatnimi mapami (kanałami) od A do C ^{n × n} , gdzie A jest algebrą C * , a C ^{n × n} oznacza wpisy zespolone n × n , a dodatnimi funkcjonałami liniowymi ( stany ) na iloczyn tensorowy

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n \ razy n} \ otimes A.}$

Detale

Niech H ₁ i H ₂ będą (skończenie wymiarowymi) przestrzeniami Hilberta. Rodzina operatorów liniowych działających na H _i będzie oznaczana przez L ( Hi ₎ . Rozważmy dwa układy kwantowe, indeksowane przez 1 i 2, których stany są odpowiednio macierzami gęstości w L ( Hi _{) .} Kanał kwantowy na obrazie Schrödingera jest całkowicie dodatnią (w skrócie CP), zachowującą ślady mapą liniową

${\ Displaystyle \ Phi: L (H_ {1}) \ strzałka w prawo L (H_ {2})}$

który przenosi stan systemu 1 do stanu systemu 2. Następnie opisujemy stan dualny odpowiadający Φ.

Niech E _{i j} oznacza jednostkę macierzową, której ij -tym wpisem jest 1, a gdzie indziej zero. Macierz (operatora).

${\ Displaystyle \ rho _ {\ Phi} = (\ Phi (E_ {ij})) _ {ij} \in L(H_{1})\czasami L(H_{2})}$

nazywana jest macierzą Choi Φ. Z twierdzenia Choi na całkowicie dodatnich mapach Φ jest CP wtedy i tylko wtedy, gdy ρ _Φ jest dodatnie (półokreślone). Można postrzegać ρ _Φ jako macierz gęstości, a zatem stan podwójny do Φ.

Dwoistość między kanałami i stanami odnosi się do mapy

${\ Displaystyle \ Phi \ strzałka w prawo \ rho _ {\ Phi},}$

bijekcja liniowa. Ta mapa jest również nazywana izomorfizmem Jamiołkowskiego lub izomorfizmem Choi-Jamiołkowskiego .

Aplikacje

Ten izomorfizm jest używany do pokazania, że ​​protokoły „Przygotuj i zmierz” Quantum Key Distribution (QKD), takie jak protokół BB84 opracowany przez CH Bennetta i G. Brassarda , są równoważne protokołom QKD „ opartym na splątaniu ”, wprowadzonym przez AK Ekert . Więcej szczegółów na ten temat można znaleźć np. w książce Quantum Information Theory autorstwa M. Wilde'a.