Kategoria dyskretna
W matematyce , w dziedzinie teorii kategorii , kategorią dyskretną jest kategoria, której jedynymi morfizmami są morfizmy tożsamościowe :
- hom C ( X , X ) = {id X } dla wszystkich obiektów X
- hom C ( X , Y ) = ∅ dla wszystkich obiektów X ≠ Y
Ponieważ na mocy aksjomatów zawsze istnieje morfizm tożsamościowy między tym samym obiektem, możemy to wyrazić jako warunek liczności zbioru hom
- | dom do ( X , Y ) | wynosi 1, gdy X = Y i 0, gdy X nie jest równe Y .
Niektórzy autorzy preferują słabsze pojęcie, w którym dyskretna kategoria musi jedynie być równoważna z taką kategorią.
Proste fakty
Każda klasa obiektów definiuje dyskretną kategorię, gdy jest powiększona o mapy tożsamości.
Każda podkategoria kategorii dyskretnej jest dyskretna. Ponadto kategoria jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podkategorie są pełne .
Granica dowolnego funktora z kategorii dyskretnej do innej kategorii nazywana jest iloczynem , natomiast granica kograniczna nazywana jest koproduktem . Tak więc na przykład kategoria dyskretna zawierająca tylko dwa obiekty może być użyta jako diagram lub funktor diagonalny do zdefiniowania produktu lub koproduktu dwóch obiektów. Alternatywnie dla kategorii ogólnej C i kategorii dyskretnej 2 można rozważyć funktor kategorii C 2 . Diagramy 2 w tej kategorii to pary obiektów, a granicą diagramu jest iloczyn.
Funktor z Set to Cat , który wysyła zbiór do odpowiedniej kategorii dyskretnej, pozostaje połączony z funktorem wysyłającym małą kategorię do swojego zbioru obiektów . (W przypadku prawego sprzężenia zobacz kategorię niedyskretną ).
- Roberta Goldblatta (1984). Topoi, kategorialna analiza logiki (Studia z logiki i podstawy matematyki, 98). Holandia Północna. Przedruk 2006 przez Dover Publications i dostępny online na stronie domowej Roberta Goldblatta .