Dualizm Eckmanna-Hiltona

Argument o tym, że niektóre monoidy muszą być przemienne, można znaleźć w argumencie Eckmanna-Hiltona .

W dyscyplinach matematycznych, takich jak topologia algebraiczna i teoria homotopii , dualizm Eckmanna-Hiltona w swojej najbardziej podstawowej formie polega na wzięciu danego diagramu dla określonej koncepcji i odwróceniu kierunku wszystkich strzałek, podobnie jak w teorii kategorii z ideą przeciwieństwa kategoria . Znacznie głębsza forma dowodzi, że fakt, że dualne pojęcie granicy jest współgranicą , pozwala nam zmienić aksjomaty Eilenberga-Steenroda dla homologii , aby dać aksjomaty dla kohomologii . Jej nazwa pochodzi od Beno Eckmanna i Petera Hiltona .

Dyskusja

Przykład podaje currying , który mówi nam, że dla dowolnego obiektu mapa jest taka sama jak mapa $\ displaystyle X \ razy I \ do Y$$}$$}$${ \ displaystyle X \ do$$}$ , gdzie jest obiektem wykładniczym , podanym przez wszystkie mapy od do $ja {\ displaystyle$$}$ . W przypadku przestrzeni topologicznych , jeśli przyjmiemy przedział jednostkowy, prowadzi to do dwoistości między i $Y$ ja ${$$} }$ , co następnie daje dwoistość między $a$ zawieszeniem , które jest ilorazem , przestrzenią pętli $\ Omega$$Y$ , która jest podprzestrzenią ${\ displaystyle Y ^ {I}}$ . $_$ do sprzężonej _ _ , które dają początek teoriom kohomologii .

Możemy również bezpośrednio powiązać $reprezentowanej$ i kofibracje : jest definiowana przez posiadanie właściwości podnoszenia homotopii poniższy diagram

$reprezentowanej$ kofibracja jest zdefiniowana przez posiadanie właściwości rozszerzenia podwójnej homotopii diagramu:

Powyższe rozważania mają również zastosowanie, patrząc na sekwencje związane z fibracją lub kofibracją, ponieważ biorąc pod uwagę fibrację, otrzymujemy sekwencję ${\ Displaystyle F \ do E \ do B}$

$Displaystyle \ cdots \ do \ Omega ^ {2} B \ do \ Omega F \ do \ Omega E \ do \ Omega B$

i biorąc pod uwagę kofibrację, otrzymujemy sekwencję ${\ Displaystyle A \ do X \ do X/A}$

${\ Displaystyle A \ do X \ do X/A \ do \ Sigma A \ do \ Sigma X \ do \ Sigma \ lewo (X/A \ prawo) \ do \ Sigma ^ {2} A \ do \ cdots. \ ,}$

i bardziej ogólnie, dwoistość między dokładnymi i współdokładnymi sekwencjami Puppe'a .

Pozwala nam to również powiązać homotopię i kohomologię: wiemy, że grupy homotopii to klasy homotopii map z n -sfery do naszej przestrzeni, zapisane ${\ Displaystyle \ pi _ {n}(X,p)\cong \langle S^{n},X\rangle }$ i wiemy, że kula ma jedną niezerową (zredukowaną) grupę kohomologiczną . Z drugiej strony grupy kohomologii to klasy homotopii odwzorowań do przestrzeni z pojedynczą niezerową grupą homotopii. Jest to podane przez przestrzenie Eilenberga – MacLane'a i relację ${\ Displaystyle K (G, n)}$

${\ Displaystyle H ^ {n} (X; G) \ cong \ langle X, K (G, n) \ rangle.}$

Formalizację powyższych nieformalnych relacji daje dualność Fuksa.

Zobacz też

• Kategoria modeli

•   Hatcher, Allen (2002), Topologia algebraiczna , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 .
• „Dwoistość Eckmanna-Hiltona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]