Argument Eckmanna-Hiltona

W matematyce argument Eckmanna-Hiltona (lub zasada Eckmanna-Hiltona lub twierdzenie Eckmanna-Hiltona ) jest argumentem dotyczącym dwóch jednostkowych struktur magmy na zbiorze , w którym jeden jest homomorfizmem drugiego. Biorąc to pod uwagę, struktury są takie same, a powstała magma jest monoidem przemiennym . Można to następnie wykorzystać do udowodnienia przemienności wyższych grup homotopii . Zasada została nazwana na cześć Beno Eckmanna i Petera Hiltona , którzy wykorzystali ją w artykule z 1962 roku.

Wynik Eckmanna-Hiltona

Niech będzie zbiorem wyposażonym w dwie operacje binarne , które zapiszemy i załóżmy: $displaystyle$ $\$ $X$

${\ Displaystyle \ circ}$ i ${\ Displaystyle \ otimes}$ oba są ${\ Displaystyle X}$ , co oznacza, że istnieją elementy tożsamości ${\ Displaystyle 1 _ {\ circ}}$ i ${\ Displaystyle 1 _ {\ otimes}}$ X takie, że ${\ Displaystyle 1 _ {\ circ} \ circ a = a = a \ circ 1_ {\ circ}}$ i ${\ Displaystyle 1 _ {\ otimes} \ otimes a = a = a \ otimes 1_ {\ otimes}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle a \ in X}$ .
${\ Displaystyle (a \ otimes b) \ circ (c \ otimes d) = (a \ circ c) \ otimes ( b \ circ d)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle a, b, c, d \ in X}$ .

Wtedy $przemienne$ są takie same iw rzeczywistości i $.$

Uwagi

Operacje i ${\ displaystyle \ otimes}$ $są$ często określane jako struktury monoidalne lub mnożenia, ale sugeruje to W rzeczywistości następuje asocjatywność. Podobnie nie musimy wymagać, aby dwie operacje miały ten sam element neutralny; to jest konsekwencja.

Dowód

Najpierw zauważ, że jednostki tych dwóch operacji pokrywają się: ${\ Displaystyle 1 _ {\ circ} = 1 _ {\ circ} \ circ 1_ {\ circ} = (1 _ {\ otimes} \ otimes 1_ {\ circ}) \ circ ( 1_{\circ}\otimes 1_{\otimes})=(1_{\otimes}\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes})=1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes}=1_{\otimes}}$ .

Teraz niech za $\ Displaystyle a, b \ in X}$ . Wtedy ${\ Displaystyle a \ circ b = (1 \ czasami a) \ circ (b \ czasami 1) = (1 \ circ b) \ czasami (a \ circ 1) = b \ otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a}$ . To ustala, że dwie operacje pokrywają się i są przemienne.

Dla asocjatywności ${\ Displaystyle (a \ czasami b )\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)}$ .

Dwuwymiarowy dowód

Powyższy dowód ma również „dwuwymiarową” prezentację, która lepiej ilustruje zastosowanie do wyższych grup homotopii . W tej wersji dowodu zapiszemy dwie operacje jako zestawienie pionowe i poziome, tj. za $\ displaystyle {\ rozpocząć {macierz} a \\ [-60 pkt] b \ koniec {macierz}}}$ i $a\ b$ . Właściwość zamiany można zatem wyrazić w następujący sposób:

za ${\ Displaystyle a, b, c, d \ w X}$ ( $\ Displaystyle {\ rozpocząć { matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix } b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}}$ , więc możemy napisać $\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} a \ b\\[-60pt] c\ d\ koniec {macierz }}}$ bez dwuznaczności.

Niech i $będą$ jednostkami odpowiednio kompozycji pionowej $poziomej$ Wtedy ${\ Displaystyle \ punktor = {\ rozpocząć {macierz} \ punktor \\ [-60 pkt] \ punktor \ koniec {macierz}} = {\ rozpocząć {macierz} \bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ } , więc obie$ jednostki są sobie równe.

Teraz dla wszystkich ${\ Displaystyle a \ b={\begin{macierz}a\ \\bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{macierz}}={\begin{macierz}a\\[-60pt]b\end{macierz }}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[ -60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}} , więc kompozycja pozioma jest taka sama jak kompozycja pionowa i obie operacje$ $\ Displaystyle a, b \ in X}$ , są przemienny.

Wreszcie, dla wszystkich ${\ Displaystyle a, b, c \ w X$ ${\ Displaystyle a \ (b\ c) = a \ {\ początek {pmatrix} b \\ [-60pt] c \ koniec {pmatrix}} = {\ początek {macierz} a \ \ b \\ [- 60pt]\bullet \ \ c\end{macierz}}={\begin{macierz}(a\ b)\\[-60pt]c\end{macierz}}=(a\ b)\ c} , więc$ , złożenie jest asocjacyjny.

Uwagi

Jeśli operacje są asocjacyjne, każda z nich definiuje strukturę monoidu na $a powyższe warunki są równoważne$ $homomorfizmem$ bardziej abstrakcyjnym warunkiem, że jest monoidu ${\ Displaystyle (X, \ circ) \ razy (X, \ circ) \ do (X, \ circ)}$ (lub odwrotnie). $Jeszcze bardziej abstrakcyjnym$ sformułowania twierdzenia jest: Jeśli jest monoidem z kategorii monoidów, to w rzeczywistości jest monoidem $.$

Ważne jest, że podobny argument NIE daje takiego banalnego wyniku w przypadku obiektów monoidalnych w kategoriach małych kategorii lub grupoid. Zamiast tego pojęcie obiektu grupowego w kategorii groupoidów okazuje się równoważne pojęciu modułu skrzyżowanego . Prowadzi to do pomysłu wykorzystania wielu obiektów grupowych w teorii homotopii.

Mówiąc bardziej ogólnie, argument Eckmanna-Hiltona jest szczególnym przypadkiem zastosowania prawa wymiany w teorii (ścisłych) kategorii podwójnych i wielokrotnych. (Ścisła) kategoria podwójna to zbiór lub klasa wyposażona w dwie struktury kategorii, z których każda jest morfizmem drugiej struktury. Jeśli kompozycje w dwóch strukturach kategorii są zapisane, to prawo wymiany brzmi: ${\ Displaystyle \ circ, \ otimes}$

{\ Displaystyle (a \ circ b) \ otimes (c \ circ d) = (a \ otimes c) \ circ ( b\czasami d)}

zawsze, gdy obie strony są zdefiniowane. Aby zapoznać się z przykładem jego użycia i pewną dyskusją, zobacz artykuł Higginsa, do którego odwołuje się poniżej. Prawo wymiany implikuje, że podwójna kategoria zawiera rodzinę monoidów abelowych.

Historia w odniesieniu do grup homotopii jest interesująca. Badacze topologii początku XX wieku byli świadomi, że podstawowa grupa nieabelowa jest przydatna w geometrii i analizie; że abelowe grupy homologii można zdefiniować we wszystkich wymiarach; i że dla połączonej przestrzeni pierwsza grupa homologii była grupą podstawową uczynioną abelową . Istniała więc chęć uogólnienia nieabelowej grupy podstawowej na wszystkie wymiary.

W 1932 roku Eduard Čech przedstawił na Międzynarodowym Kongresie Matematyki w Zurychu artykuł o wyższych grupach homotopii . Jednak Pavel Alexandroff i Heinz Hopf szybko udowodnili $tylko$ że te grupy są abelowe i na tej podstawie przekonali Čecha do wycofania swojego artykułu, tak że w Proceedings pojawił mały . Mówi się, że Witold Hurewicz był na tej konferencji, a jego pierwsza praca o wyższych grupach homotopii ukazała się w 1935 roku. ^{[ potrzebne źródło ]} Tak więc marzenia wczesnych topologów od dawna uważane były za miraż. ^{[ potrzebne źródło ]}

cytowanej poniżej książce Nonabelian algebraic topology , która rozwija podstawową topologię algebraiczną, w tym wyższe analogi do twierdzenia Seiferta – Van Kampena , bez użycia homologii pojedynczej lub uproszczonego przybliżenia.

John Baez: Zasada Eckmanna-Hiltona (tydzień 89)
John Baez: zasada Eckmanna-Hiltona (tydzień 100)
Eckmann, B.; Hilton, PJ (1962), „Struktury grupowe w kategoriach ogólnych. I. Mnożenia i kombinacje”, Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi : 10.1007 / bf01451367 , MR 0136642 .
Hurewicz , W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen , Nederl. Akad. Wetenscha. proc. Ser. A, tom. 38, s. 112-119, 521-528 .
Brązowy , R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011), Nieabelowa topologia algebraiczna: przefiltrowane przestrzenie, skrzyżowane kompleksy, sześcienne homotopie grupowe , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, tom. 15, str. 703, arXiv : math/0407275 , MR 2841564 .
Higgins, PJ (2005), „Cienkie elementy i powłoki przemienne w sześciennych $ \ omega $ -kategoriach” , Teoria i zastosowanie kategorii , 14 : 60–74, MR 2122826 .
James, IM (1999), Historia topologii , Holandia Północna
Murray Bremner i Sara Madariaga. (2014) Permutacja elementów w podwójnych półgrupach

Linki zewnętrzne