Topologia policzalna

Topologia przeliczalna lub przeliczalna topologia dopełnienia na dowolnym zbiorze X składa się ze zbioru pustego i wszystkich przeliczalnych podzbiorów X , czyli wszystkich zbiorów , których dopełnienie w X jest przeliczalne . Wynika z tego, że jedynymi domkniętymi podzbiorami są X i policzalne podzbiory X . Symbolicznie zapisuje się topologię jako

$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} = \ {A \ subseteq X: A = \ varnothing {\ mbox {lub}} X \ setminus A {\ mbox {jest policzalne}} \}.}$$

Każdy zbiór X o topologii policzalnej jest Lindelöfem , ponieważ każdy niepusty zbiór otwarty pomija tylko przeliczalnie wiele punktów X. Jest to również T ₁ , ponieważ wszystkie singletony są domknięte.

Jeśli X jest zbiorem nieprzeliczalnym, to dowolne dwa niepuste zbiory otwarte przecinają się, stąd przestrzeń nie jest Hausdorffem . Jednak w topologii policzalnej wszystkie zbieżne sekwencje są ostatecznie stałe, więc granice są unikalne. Ponieważ zbiory zwarte w X są podzbiorami skończonymi, wszystkie podzbiory zwarte są domknięte, co jest kolejnym warunkiem zwykle związanym z aksjomatem separacji Hausdorffa.

Topologia policzalna na zestawie policzalnym to topologia dyskretna . Topologia policzalna na niepoliczalnym zbiorze jest hiperpołączona , a więc połączona , lokalnie połączona i pseudozwarta , ale ani słabo policzalnie zwarta , ani przeliczalnie metazwarta , a więc nie zwarta.

Zobacz też

• Topologia skończona
• Lista topologii

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446 (zob. przykład 20) .