Wyrafinowanie gwiazdy

W matematyce , szczególnie w badaniu topologii i otwartych pokryć przestrzeni topologicznej X , udoskonalenie gwiazdy jest szczególnym rodzajem udoskonalenia otwartego pokrycia X .

Ogólna definicja ma sens w przypadku dowolnych pokryć i nie wymaga topologii. Niech będzie zbiorem i niech będzie pokryciem $.$$displaystyle X$${\ textstyle X = \ bigcup {\ mathcal {U}}.}$$,$ czyli Biorąc $Displaystyle X},$ uwagę podzbiór ${\$ a następnie gwiazdę $Displaystyle S}$ \ w odniesieniu do jest sumą wszystkich zbiorów, które ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}$$się$${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$ które przecinają się } Jest,

$${\ Displaystyle \ operatorname {st} (S, {\ mathcal {U}}) = \ bigcup {\ duży \ {} U: U \ w {\ mathcal {U}}, \ S \ cap U \ neq \ varnothing {\duży \}}.}$$

Biorąc pod uwagę punkt ${\ Displaystyle x \ w X,}$ piszemy ${\ Displaystyle \ operatorname {st} (x, {\ mathcal {U}})}$ zamiast ${\ Displaystyle \ operatorname {st} (\ {x \}, {\ mathcal {U}}).}$ Zauważ, że ${\ textstyle \ operatorname {st} (S, {\ mathcal {U}}) \ neq \ bigcup _ {O \ in {\ mathcal {U}}} (O \ cap S).}$

Mówi się $}$ pokrycie z $jeśli$ udoskonaleniem pokrycia z X $\ displaystyle X},$ U $\ displaystyle {\ mathcal {V}}$ każdy $pokrycie jest$ zawarty $_$ Mówi się, że U $\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ udoskonalenie barycentryczne $\mathcal {U}})}$ dla każdej gwiazdy $U )$$st$$\ operatorname {st} (x$ jest zawarty w jakimś ${\ Displaystyle V \ in {\ mathcal {V}}.} Wreszcie$ mówi się , że pokrycie jest udoskonaleniem gwiazdy ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$$st} ($$}}$ jeśli dla każdej $) { \ Displaystyle$ st jest zawarty w pewnym ${\ displaystyle V \ w {\ mathcal {V}}.}$

Udoskonalenia gwiazdy są używane w definicji przestrzeni w pełni normalnej iw jednej definicji przestrzeni jednorodnej . Jest to również przydatne do określenia charakterystyki parazwartości.

Zobacz też

• Rodzina zestawów – Dowolny zbiór zestawów lub podzbiorów zestawu

• J. Dugundji , Topologia, Allyn and Bacon Inc., 1966.
•   Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr .; 1970; kontrprzykłady w topologii ; Wydanie drugie (1995) z Dover ISBN 0-486-68735-X ; strona 165.