Słaba przestrzeń Hausdorffa

Aksjomaty separacji w przestrzeniach topologicznych
Klasyfikacja Kołmogorowa
T0	(Kołmogorow)
T 1	(Frechet)
T 2	(Hausdorffa)
T 2 ½	(Urysohn)
całkowicie T2	(całkowicie Hausdorffa)
T 3	(zwykły Hausdorff)
T 3½	(Tychonow)
T4 _	(normalny Hausdorff)
T 5	(całkowicie normalny Hausdorff)
T 6	(całkowicie normalny Hausdorff)
Historia

W matematyce słaba przestrzeń Hausdorffa lub słabo przestrzeń Hausdorffa to przestrzeń topologiczna , w której obraz każdej ciągłej mapy ze zwartej przestrzeni Hausdorffa do przestrzeni jest domknięty . W szczególności każda przestrzeń Hausdorffa jest słabym Hausdorffem. Jako właściwość separacji jest silniejsza niż T ₁ , co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że punkty są domknięte. Konkretnie, _{przestrzenią} T1 każda słaba przestrzeń Hausdorffa jest .

Pojęcie to zostało wprowadzone przez MC McCorda, aby zaradzić niedogodnościom pracy z kategorią przestrzeni Hausdorffa. Jest często używany w tandemie z kompaktowo generowanymi przestrzeniami w topologii algebraicznej . W tym celu zobacz kategorię zwarto generowanych słabych przestrzeni Hausdorffa .

przestrzenie k-Hausdorffa

Przestrzeń k-Hausdorffa to przestrzeń topologiczna, która spełnia dowolny z następujących równoważnych warunków:

1. Każda zwarta podprzestrzeń jest Hausdorffem .
2. Przekątna ${\ Displaystyle \ {(x, x): x \ in X \}}$ jest k-zamknięta w ${\ Displaystyle X \ razy X.}$
   • Podzbiór ${\ Displaystyle A \ subseteq Y}$ jest k-zamknięty , jeśli dla każdego ${\ Displaystyle A \ cap C}$ jest zamknięty w do {\ displaystyle $}$ zwarty ${\ Displaystyle C \ subseteq Y.}$
3. Każda podprzestrzeń zwarta jest domknięta i silnie lokalnie zwarta.
   • Przestrzeń jest $Displaystyle U \ subseteq X}$ lokalnie zwarta , jeśli dla każdego $otoczenia$ niekoniecznie otwartego) istnieje U \ $displaystyle x,}$ zwarte sąsiedztwo ${\ Displaystyle V \ subseteq X}$ z ${\ Displaystyle x}$ takie, że ${\ Displaystyle V \ subseteq U.}$

Nieruchomości

• Przestrzeń k-Hausdorffa jest słabym Hausdorffem. $to$ jeśli $\displaystyle f(C)}$$Hausdorff$$jest ciągłą$ i $mapą$ zwartej wtedy jest zwarty, stąd Hausdorff, a więc domknięty.
• Przestrzeń Hausdorffa to k-Hausdorffa. $X$ przestrzeń jest Hausdorffa $X\times X,}$$gdy$ w a każdy podzbiór domknięty jest zbiorem k-domkniętym .
• Przestrzeń k-Hausdorffa to KC. Przestrzeń KC jest przestrzenią topologiczną, w której każda zwarta podprzestrzeń jest domknięta.
• Przestrzeń jest Hausdorffa-zwarto generowanym słabym Hausdorffem wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorff-zwarto generowanym k-Hausdorffem.
• Aby pokazać, że spójna topologia indukowana przez zwarte podprzestrzenie Hausdorffa zachowuje zwarte podprzestrzenie Hausdorffa, a ich topologia podprzestrzeni wymaga, aby przestrzeń była k-Hausdorffa; słaby Hausdorff to za mało. Stąd k-Hausdorff może być postrzegany jako bardziej podstawowa definicja.

Przestrzenie Δ-Hausdorffa

Przestrzeń Δ-Hausdorffa to przestrzeń topologiczna, w której obraz każdej ścieżki jest domknięty; $}$ znaczy jeśli ilekroć $f$ 1 zamknięty ${\ Displaystyle X.}$ Każda słaba przestrzeń Hausdorffa to ${\ Displaystyle \ Delta}$ -Hausdorffa, a każda ${\ Displaystyle \ Delta} -$ Przestrzeń Hausdorffa to przestrzeń T ₁ . Przestrzeń jest generowana przez Δ, ${\ Displaystyle \ Delta ^ {n}}$ jej topologia jest najlepszą topologią, taką, że każda mapa z topologii -simplex Δ $f: \ Delta ^ {n} \ do X$$Displaystyle$ do ${\ Displaystyle X}$ jest ciągły. ${\ Displaystyle \ delta}$$-generowanych$ -Hausdorffa mają się do przestrzeni tak, jak słabe przestrzenie Hausdorffa do przestrzeni generowanych kompaktowo.

Zobacz też

• Przestrzeń punktu stałego - przestrzeń topologiczna taka, że ​​każdy endomorfizm ma punkt stały, przestrzeń Hausdorffa, w której każda ciągła funkcja z przestrzeni do siebie ma punkt stały.
• Przestrzeń Hausdorffa – Typ przestrzeni topologicznej
• Lokalnie przestrzeń Hausdorffa
• Konkretna topologia punktu
• Przestrzeń quasitopologiczna – zbiór X wyposażony w funkcję kojarzącą z każdą zwartą przestrzenią Hausdorffa K zbiór map K→C spełniający określone warunki naturalne Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Aksjomat separacji - Aksjomaty w topologii definiujące pojęcia „separacji”