Topologia dolnej granicy

W matematyce topologia $dolnej$ granicy lub topologia prawego półotwartego przedziału jest topologią zdefiniowaną na liczb rzeczywistych ; różni się od standardowej topologii na $)$ generowanej przez otwarte przedziały i ma wiele interesujących właściwości. Jest to topologia generowana na podstawie wszystkich przedziałów półotwartych [ a , b ) , gdzie aib to liczby rzeczywiste.

Powstała przestrzeń topologiczna jest nazywana linią Sorgenfreya na cześć Roberta Sorgenfreya lub strzałką i czasami jest zapisywana. ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ . Podobnie jak zbiór Cantora i długa linia , linia Sorgenfreya często służy jako użyteczny kontrprzykład dla wielu skądinąd wiarygodnie brzmiących przypuszczeń w ogólnej topologii . Iloczyn R $l}}$ { sama w sobie jest również użytecznym kontrprzykładem, znanym jako płaszczyzna Sorgenfreya .

W pełnej analogii można również zdefiniować topologię górnej granicy lub topologię lewego półotwartego przedziału .

Nieruchomości

• Topologia dolnej granicy jest dokładniejsza (ma więcej zbiorów otwartych) niż topologia standardowa na liczbach rzeczywistych (która jest generowana przez otwarte przedziały). Powodem jest to, że każdy przedział otwarty można zapisać jako (przeliczalnie nieskończoną) sumę przedziałów półotwartych.
• Za $\ Displaystyle a}$ i $}$$Displaystyle \$ , przedział jest zamknięty w $l} }$ (tj. zarówno otwarte , jak i zamknięte ). , dla wszystkich rzeczywistych $\$ zestawy za ${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R}: x <a \}}$ i ${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R}: x \ geq a \} }$ są również zamknięte. To pokazuje, że linia Sorgenfrey jest całkowicie odłączona .
• Każdy zwarty podzbiór musi być co najwyżej przeliczalnym zbiorem . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ Aby to zobaczyć, rozważmy niepusty zwarty podzbiór do $\ displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} _ {l}}$ . Napraw $C}$$\$ do :

$.} Ponieważ jest zwarty, to pokrycie ma skończone podpokrycie,$

${\ Displaystyle {\ bigl \ {} [x, + \ infty) {\ bigr \}} \ kubek {\ Bigl \ {} {\ bigl (} - \ infty, x - {\ tfrac {1} {n}$

$}$ a zatem istnieje liczba rzeczywista ${\ Displaystyle a (x)}$ taki, że przedział ${\ Displaystyle (a (x), x]}$ nie zawiera punktu poza do $\ Displaystyle C}$ poza ${\ Displaystyle x}$ To jest prawdziwe dla wszystkich $x$ liczbę ${\ Displaystyle (a (x), x]}$$\ in (a (x), x] \ cap \ mathbb {Q}}$ Od przedziałów , sparametryzowane przez $} ,$$do$ funkcja jest iniekcyjna, więc $}$ jest co najwyżej policzalny. Można zauważyć, że podzbiór do $\ displaystyle C}$$($ wtedy, gdy jest ograniczony od dołu i jest dobrze uporządkowany, gdy jest obdarzony porządkiem co w szczególności oznacza, że ​​​​jest ograniczony z góry).

• Nazwa „topologia dolnej granicy” pochodzi z następującego faktu: sekwencja (lub netto ) ${\ Displaystyle (x_ {\ alfa})}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ zbiega się do granicy wtedy i tylko wtedy, gdy „zbliża się z prawej strony”, co oznacza, że $każdego$$}$ L $alfa _{0}}$$L$$displaystyle$ takie, że ${\ Displaystyle \ forall \ alfa \ geq \ alfa _ {0}: L \ równoważnik x _ {\ alfa <L + \ epsilon}$ . Linię Sorgenfreya można zatem wykorzystać do badania $funkcją$ prawostronnych : jeśli , zwykła ${\ displaystyle f}$ w ${\ displaystyle x}$ (gdy kodomena przenosi standardową topologię) jest taka sama jak zwykła granica w x $\$$displaystyle x},$ domena jest wyposażona w topologię dolnego limitu, a kodomena przenosi standardowa topologia.
• Jeśli chodzi o $doskonale$ separacji , jest to normalna przestrzeń .
• Jeśli chodzi o $aksjomaty$ policzalności , jest to policzalne i rozdzielne ale nie drugie .
• Jeśli chodzi o właściwości zwartości, to $paracompact$ i , ale nie σ- zwarty lokalnie zwarty .
• ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ nie jest metryzowalny , ponieważ rozdzielne przestrzenie metryczne są przeliczalne w drugiej kolejności. Jednak topologia linii Sorgenfrey jest generowana przez quasimetryczny .
• ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ jest przestrzenią Baire'a .
• ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {l}}$ nie ma żadnych połączonych kompaktyfikacji.

Zobacz też

• Lista topologii

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446