Samolot Sorgenfreya

Ilustracja anty-przekątnej i otwartego prostokąta na płaszczyźnie Sorgenfrey, który styka się z anty-przekątną w jednym punkcie.

W topologii płaszczyzna Sorgenfreya jest często cytowanym kontrprzykładem dla wielu skądinąd wiarygodnie brzmiących przypuszczeń. Składa się z iloczynu dwóch kopii linii Sorgenfreya , która jest $.$ rzeczywistą w topologii półotwartego przedziału Linia i płaszczyzna Sorgenfreya zostały nazwane na cześć amerykańskiego matematyka Roberta Sorgenfreya .

Podstawą płaszczyzny Sorgenfrey, oznaczanej od teraz, jest zatem zestaw prostokątów obejmujących zachodnią krawędź, południowo-zachodni róg i południową krawędź, z pominięciem południowo-wschodniego rogu, wschodniej krawędzi, S {\ Displaystyle \ mathbb {S $}$ północno-wschodni róg, północna krawędź i północno-zachodni róg. Zbiory otwarte w $.$ związkami takich prostokątów

${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ jest przykładem przestrzeni, która jest iloczynem przestrzeni Lindelöfa , która sama nie jest przestrzenią Lindelöfa. Tak zwana antyprzekątna jest ${\ Displaystyle \ Delta = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {R} \}}$ niepoliczalny dyskretny podzbiór tej przestrzeni, a to jest niepodzielny podzbiór przestrzeni separowalnej ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ . Pokazuje, że separowalność nie dziedziczy po zamkniętych podprzestrzeniach . K. ${\ Displaystyle K = \ {(x, -x) \ mid x \ in \ mathbb {Q} \}}$ Δ $\ Displaystyle \ Delta \setminus K}$ to zbiory domknięte; można udowodnić, że nie można ich rozdzielić zbiorami otwartymi, pokazując, że nie jest normalne ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ . W ten sposób służy jako kontrprzykład dla poglądu, że iloczyn normalnych przestrzeni jest normalny; w rzeczywistości pokazuje, że nawet skończony iloczyn doskonale normalnych przestrzeni nie musi być normalny.

Zobacz też

• Lista topologii
• Samolot Moore'a

• Kelley, John L. (1955). Topologia ogólna . van Nostranda . Przedrukowany jako   Kelley, John L. (1975). Topologia ogólna . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90125-6 .
• Robert Sorgenfrey, „O iloczynie topologicznym przestrzeni parazwartych”, Bull. Amer. Matematyka soc. 53 (1947) 631–632.
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover z 1978 r.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .