Samolot Moore'a

W matematyce płaszczyzna Moore'a , czasami nazywana również płaszczyzną Niemytskiego (lub płaszczyzna Niemyckiego , topologia dysku stycznego Niemyckiego ), jest przestrzenią topologiczną . Jest to całkowicie regularna przestrzeń Hausdorffa (zwana także przestrzenią Tychonowa ), która nie jest normalna . Nosi imię Roberta Lee Moore'a i Wiktora Władimirowicza Niemyckiego .

Definicja

Open neighborhood of the Niemytzki plane, tangent to the x-axis

Jeśli ${\ Displaystyle \ Gamma = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} | y \ geq 0 \}}$ $zamkniętą$ ) górną półpłaszczyzną , wtedy topologię można zdefiniować na ${\ Displaystyle \ Gamma}$ przyjmując bazę lokalną w następujący sposób: ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p, q)}$

$y> 0}$ bazy lokalnej w punktach z $displaystyle$ płaszczyźnie, które są wystarczająco małe, aby mieściły się w $\ displaystyle \ Gama }$ .
$_$ bazy $w$ gdzie _ _ _ górna półpłaszczyzna styczna do osi x w punkcie p .

Oznacza to, że podstawa lokalna jest dana przez

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p, q) = {\ rozpocząć {przypadki} \ {U _ {\ epsilon} (p, q): = \ {(x, y): (xp) ^ {2 }+(yq)^{2}<\epsilon ^{2}\}\mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q>0;\\\{V_{\epsilon }(p ):=\{(p,0)\}\cup \{(x,y):(xp)^{2}+(y-\epsilon )^{2}<\epsilon ^{2}\}\ mid \epsilon >0\},&{\mbox{if }}q=0.\end{przypadki}}}

Zatem topologia podprzestrzeni odziedziczona przez $jest taka sama jak topologia$ ze standardowej topologii płaszczyzny

Reprezentacja graficzna samolotu Moore'a

Nieruchomości

$to$ Moore'a jest rozdzielna , znaczy ma policzalny gęsty podzbiór.
Płaszczyzna Moore'a jest całkowicie regularną przestrzenią Hausdorffa (tzn. przestrzenią Tychonowa ), która nie jest normalna .
Podprzestrzeń ${\ Displaystyle \ {(x, 0) \ in \ Gamma | x \ in R \}}$ z ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ma, jako topologię podprzestrzeni , topologię dyskretną . Zatem płaszczyzna Moore'a pokazuje, że podprzestrzeń przestrzeni rozdzielnej nie musi być rozdzielna.
Płaszczyzna Moore'a jest najpierw policzalna , ale nie druga przeliczalna ani Lindelöfa .
Płaszczyzna Moore'a nie jest lokalnie zwarta .
Płaszczyzna Moore'a jest policzalnie metazwarta , ale nie metazwarta .

Dowód, że płaszczyzna Moore'a nie jest normalna

Fakt, że ta przestrzeń nie jest normalna , można ustalić za pomocą następującego argumentu liczącego (który jest bardzo podobny do argumentu, że płaszczyzna Sorgenfrey nie jest normalna): ${\ displaystyle \ Gamma}$

Z jednej strony zbiór policzalny ${\ Displaystyle S: = \ {(p, q) \ in \ mathbb {Q} \ razy \ mathbb { Q}: q> 0 \}}$ punktów o współrzędnych wymiernych jest gęste w ${\ displaystyle \ Gamma}$ ; stąd każda funkcja ciągła jest określona przez jej ograniczenie do ${\ Displaystyle f: \ Gamma \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle S}$ , więc może być co najwyżej ${\ Displaystyle |\ mathbb {R} | ^ {| S |} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}} wielu ciągłych$ funkcji o wartościach rzeczywistych na ${\ Displaystyle \ Gamma}$ .
Z drugiej strony linia rzeczywista ${\ Displaystyle L: = \ {(p, 0): p \ in \ mathbb {R} \}}$ jest zamkniętą dyskretną podprzestrzeń z $}$ punktami. $displaystyle \ Gamma$ Istnieje więc wiele funkcji ciągłych od L do ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}}> 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ . Nie wszystkie te funkcje można rozszerzyć na funkcje ciągłe na ${\ displaystyle \ Gamma}$ .
Stąd ${\ Displaystyle \ Gamma}$ nie jest normalne, ponieważ twierdzeniem Tietze o rozszerzeniu wszystkie funkcje ciągłe zdefiniowane na zamkniętej podprzestrzeni normalnej przestrzeni można rozszerzyć do funkcji ciągłej na całej przestrzeni.

W rzeczywistości, jeśli X jest separowalną przestrzenią topologiczną mającą nieprzeliczalną zamkniętą dyskretną podprzestrzeń, X nie może być normalna.

Zobacz też

Stefana Willarda. Topologia ogólna , (1970) Addison-Wesley ISBN 0-201-08707-3 .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( przedruk Dover z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446 (przykład 82)
„Samolot Niemyckiego” . Planeta Matematyka .