Rozproszona przestrzeń

W matematyce przestrzeń rozproszona to przestrzeń topologiczna X , która nie zawiera żadnego niepustego podzbioru gęstego w sobie . Równoważnie, każdy niepusty podzbiór A z X zawiera punkt izolowany w A .

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem rozproszonym, jeśli jest to przestrzeń rozproszona o topologii podprzestrzeni .

Przykłady

• Każda dyskretna przestrzeń jest rozproszona.
• Każda liczba porządkowa z topologią porządku jest rozproszona. Rzeczywiście, każdy niepusty podzbiór A zawiera element minimalny i ten element jest izolowany w A .
• Przestrzeń X o określonej topologii punktowej , w szczególności przestrzeń Sierpińskiego , jest rozproszona. To jest przykład przestrzeni rozproszonej, która nie _jest przestrzenią T1 .
• Domknięcie zbioru rozproszonego niekoniecznie jest rozproszone. Na przykład na płaszczyźnie euklidesowej $policzalnie$ nieskończony dyskretny zbiór na dysku jednostkowym, z punktami coraz gęstszymi w miarę zbliżania się do granicy. Weźmy na przykład sumę wierzchołków szeregu n-kątów wyśrodkowanych w początku, z promieniem coraz bliższym 1. Wtedy domknięcie A będzie zawierało cały okrąg o promieniu 1, który jest gęsty w- samo.

Nieruchomości

• W przestrzeni topologicznej X domknięcie podzbioru gęstego w sobie jest zbiorem doskonałym . Zatem X jest rozproszony wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnego niepustego zbioru doskonałego.
• Każdy podzbiór przestrzeni rozproszonej jest rozproszony. Bycie rozproszonym jest cechą dziedziczną .
• Każda rozproszona przestrzeń X jest przestrzenią T. ₀ ( $pod$ : biorąc uwagę dwa różne punkty x , y w X , przynajmniej jeden z nich, powiedzmy x , będzie izolowany za że istnieje x w X , który nie zawiera y .)
• ₀₀ W przestrzeni T suma dwóch rozproszonych zbiorów jest rozproszona. Zauważ, że założenie T jest tutaj konieczne. Na przykład $b\}}$ jeśli z topologią niedyskretną , ${\ Displaystyle$ \ $a \}}$$\$ są rozproszone, ale ich połączenie $,$ nie jest rozproszone, ponieważ nie ma odosobnionego punktu
• Każda rozproszona przestrzeń T1 jest _całkowicie rozłączona . ( $),$ : jeśli C jest niepustym połączonym podzbiorem X , zawiera punkt izolowany w C . Więc singleton jest zarówno otwarty w C (ponieważ x jest jak i zamknięty w C (ze względu na właściwość T ₁ ). Ponieważ C jest spójny, musi być równy ${\ Displaystyle \ {x \}}$ . To pokazuje, że każdy połączony składnik X ma jeden punkt.)
• Co druga policzalna rozproszona przestrzeń jest policzalna .
• Każdą przestrzeń topologiczną X można zapisać w unikalny sposób jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i zbioru rozproszonego.
• Każdą drugą przeliczalną przestrzeń X można zapisać w unikalny sposób jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i przeliczalnego rozproszonego zbioru otwartego. ( Dowód: użyj rozkładu doskonałego + rozproszonego i powyższego faktu o drugich policzalnych przestrzeniach rozproszonych, wraz z faktem, że podzbiór drugiej przeliczalnej przestrzeni jest wtórnie przeliczalny.) Ponadto każdy domknięty podzbiór drugiego przeliczalnego X można zapisać jednoznacznie jako rozłączna suma doskonałego podzbioru X i policzalnego rozproszonego podzbioru X . Dotyczy to w szczególności każdego Przestrzeń polska , czyli treść twierdzenia Cantora-Bendixsona .

Notatki

•   Engelking, Ryszard, Topologia ogólna , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover z 1978 r.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topologia ogólna ( przedruk Dover z 1970 r.), Addison-Wesley