Gęsty sam w sobie

W ogólnej topologii mówi $, że$ podzbiór przestrzeni topologicznej jest sam w sobie gęsty lub zatłoczony $nie$ jeśli ma punktu odizolowanego . Równoważnie, $A}$ $jest$ w sobie gęste, jeśli każdy punkt punktem granicznym ZA $displaystyle$ . Zatem $'$ samo w sobie gęste wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem pochodnym $}$ $⊆$ ZA $′$ { $A$ .

Zbiór domknięty w sobie gęsty nazywany jest zbiorem doskonałym . (Innymi słowy, zbiór doskonały to zbiór domknięty bez izolowanego punktu).

Pojęcie gęstego zbioru nie ma związku z gęstym w sobie . Może to czasem być mylące, ponieważ „X jest gęsty w X” (zawsze prawda) to nie to samo, co „X jest gęsty sam w sobie” (brak odosobnionego punktu).

Przykłady

Prostym przykładem zbioru, który sam w sobie jest gęsty, ale nie jest domknięty (a zatem nie jest to zbiór doskonały), jest zbiór liczb niewymiernych (traktowany jako podzbiór liczb rzeczywistych ). Ten zestaw jest sam w sobie gęsty, ponieważ każde sąsiedztwo liczby niewymiernej $zawiera$ co najmniej jedną inną liczbę niewymierną ${\ displaystyle y \ neq x$ . Z drugiej strony zbiór liczb niewymiernych nie jest domknięty, ponieważ każda liczba wymierna leży w jego domknięciu . Podobnie zbiór liczb wymiernych jest również gęsty sam w sobie, ale nie zamknięty w przestrzeni liczb rzeczywistych.

$gęstymi$ irracjonalne i wymierne, są również zbiorami w swojej przestrzeni topologicznej, a mianowicie . Jako przykład, który jest gęsty sam w sobie, ale nie gęsty w swojej przestrzeni topologicznej, rozważ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$ . Ten zestaw nie jest gęsty w $,$ ale jest gęsty sam w sobie.

Nieruchomości

Pojedynczy podzbiór przestrzeni nigdy nie może być sam w sobie gęsty, ponieważ jego unikalny punkt jest w $izolowany$ .

Gęste w sobie podzbiory dowolnej przestrzeni są domknięte związkami . W przestrzeni gęstej w sobie zawierają wszystkie zbiory otwarte . W gęstej w sobie przestrzeni T ₁ zawierają wszystkie gęste zbiory . Jednak przestrzenie, które nie są T _1, mogą mieć gęste podzbiory, które same w sobie nie są gęste: na przykład w przestrzeni z niedyskretną topologią ${\ Displaystyle X = \ {a, b \}}$ , zbiór $jest$ ale sam w sobie nie

Domknięcie każdego zbioru gęstego w sobie jest zbiorem doskonałym .

Ogólnie rzecz biorąc, przecięcie dwóch zbiorów gęstych samo w sobie nie jest gęste samo w sobie. Ale przecięcie zbioru gęstego w sobie i zbioru otwartego jest gęste samo w sobie.

Zobacz też

Notatki

Engelking, Ryszard (1989). Topologia ogólna . Heldermann Verlag w Berlinie. ISBN 3-88538-006-4 .
Kuratowski K. (1966). Topologia tom. ja . Prasa akademicka. ISBN 012429202X .
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover z 1978 r.). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .

Ten artykuł zawiera materiał z Dense sam w sobie na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .