Operacja Suslina

W matematyce operacja Suslina 𝓐 jest operacją, która konstruuje zbiór ze zbioru zbiorów indeksowanych skończonymi ciągami dodatnich liczb całkowitych . Operację Suslin wprowadzili Aleksandrow ( 1916 ) i Suslin ( 1917 ). W Rosji nazywa się to czasem operacją A na cześć Aleksandrowa. Zwykle jest oznaczony symbolem 𝓐 (kaligraficzna wielka litera A).

Definicje

Schemat Suslina to rodzina ${\ Displaystyle P = \ {P_ {s}: s \ w \ omega ^ {<\ omega} \}}$ podzbiorów zbioru ${\ displaystyle X}$ indeksowane przez skończone sekwencje nieujemnych liczb całkowitych. Operacja Suslina zastosowana do tego schematu daje zbiór

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} P = \ bigcup _ {x \ in {\ omega ^ {\ omega}}} \ bigcap _ {n \in \omega }P_{x\upharpoonright n}}$

$}$ załóżmy mamy Suslina , słowy funkcję od dodatnich liczb całkowitych do $Displaystyle M$ zestawy ${\ Displaystyle M_ {n_ {1}, ..., n_ {k}}$ . Wynikiem operacji Suslina jest zbiór

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} (M) = \ bigcup \ lewo (M_ {n_{1}}\cap M_{n_{1},n_{2}}\cap M_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cap \kropki \right)}$

gdzie związek obejmuje wszystkie nieskończone sekwencje ${\ Displaystyle n_ {1}, \ kropki, n_ {k}, \ kropki}$

Jeśli $jest$$X$ zbioru , to jest ${$$displaystyle X}$$displaystyle$ uzyskany przez zastosowanie operacji Suslina $,$ gdzie wszystkie zbiory $k}}}$ są w ${\ displaystyle M}$ . Operacja Suslina na zbiorach podzbiorów $ma$ właściwość, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} ({\ mathcal {A}} (M ))={\mathcal {A}}(M)}$ . Rodzina $policzalnych$ związków lub przecięć, ale generalnie nie jest zamknięta

Jeśli jest rodziną $M}$ podzbiorów przestrzeni topologicznej , to elementy nazywane są zbiorami Suslina zbiorami analitycznymi $jeśli$ M { przestrzeń jest polską przestrzenią .

Przykład

${\ Displaystyle s \ in \ omega ^ {n}}$${\ Displaystyle N_ {s} = \ {x \ w \ omega ^ {\ omega}: x \ upharpoonright n = s \}}$ niech = będą nieskończonymi sekwencjami, które rozciągają się ${\ displaystyle s}$ . To jest zamknięty podzbiór ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ . Jeśli $Displaystyle P_{s}={\overline {f[N_{s}]}}}$ Displaystyle $ciągłą$$}$ polska przestrzeń i P. = . P. $\ {P_ {s}: s \ w \ omega ^ {<\ omega} \}}$ jest schematem Suslina składającym się z zamkniętych podzbiorów $i$ ZA $]}$ .

• Aleksandrov, PS (1916), „Sur la puissance des zespoły mierzalne B ”, CR Acad. nauka Paryż , 162 : 323–325
• „A-operacja” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Suslin, M. Ya. (1917), „Sur un definicja zespołów mierzalnych B sans nombres transfinis”, CR Acad. nauka Paryż , 164 : 88–91