Całkowicie metryzowalna przestrzeń
W matematyce przestrzeń całkowicie metryzowalna ( przestrzeń metrycznie topologicznie kompletna ) to przestrzeń topologiczna ( X , T ) dla której istnieje co najmniej jedna metryka d na X taka , że ( X , d ) jest kompletną przestrzenią metryczną i d indukuje topologię T. _ Termin przestrzeń topologicznie kompletna jest używany przez niektórych autorów jako synonim przestrzeni całkowicie metryzowalnej , ale czasami jest również używany dla innych klas przestrzeni topologicznych, takich jak przestrzenie całkowicie uniformizowalne lub przestrzenie Čecha-zupełne.
Różnica między pełną przestrzenią metryczną a całkowicie metryzowalną przestrzenią
Różnica między całkowicie metryzowalną przestrzenią a kompletną przestrzenią metryczną polega na tym, że istnieje co najmniej jedna metryka w definicji całkowicie metryzowalnej przestrzeni, co nie jest tym samym, co dana metryka (ta ostatnia dawałaby definicję kompletnej przestrzeni metrycznej ). Gdy już dokonamy wyboru metryki na przestrzeni całkowicie metryzowalnej (spośród wszystkich metryk kompletnych zgodnych z topologią), otrzymamy pełną przestrzeń metryczną. Innymi słowy, kategoria przestrzeni całkowicie metryzowalnych jest podkategorią kategorii przestrzeni topologicznych, podczas gdy kategoria kompletnych przestrzeni metrycznych nie jest (zamiast tego jest podkategorią kategorii przestrzeni metrycznych). Całkowita metryzowalność jest właściwością topologiczną, podczas gdy kompletność jest właściwością metryki.
Przykłady
- Przestrzeń (0,1) ⊂ R , otwarty przedział jednostkowy, nie jest pełną przestrzenią metryczną z jej zwykłą metryką odziedziczoną po R , ale jest całkowicie metryzowalna, ponieważ jest homeomorficzna z R .
- Przestrzeń Q liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni odziedziczoną po R jest metryzowalna, ale nie całkowicie metryzowalna.
Nieruchomości
- Przestrzeń topologiczna X jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy X jest metryzowalna , a G δ w jej zwartości Stone-Čech β X .
- Podprzestrzeń całkowicie metryzowalnej przestrzeni X jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest G δ w X .
- Przeliczalny iloczyn niepustych metryzowalnych przestrzeni jest całkowicie metryzowalny w topologii produktu wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik jest całkowicie metryzowalny. Stąd iloczyn niepustych przestrzeni metryzowalnych jest całkowicie metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy co najwyżej przeliczalnie wiele czynników ma więcej niż jeden punkt, a każdy czynnik jest całkowicie metryzowalny.
- Dla każdej przestrzeni metryzowalnej istnieje przestrzeń całkowicie metryzowalna, zawierająca ją jako gęstą podprzestrzeń, ponieważ każda przestrzeń metryczna ma dopełnienie . Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele takich całkowicie metryzowalnych przestrzeni, ponieważ uzupełnienia przestrzeni topologicznej w odniesieniu do różnych metryk zgodnych z jej topologią mogą dawać topologicznie różne uzupełnienia.
Całkowicie metryzowalne abelowe grupy topologiczne
Mówiąc o przestrzeniach o większej strukturze niż tylko topologia, takich jak grupy topologiczne , naturalnym znaczeniem słów „całkowicie metryzowalny” byłoby prawdopodobnie istnienie kompletnej metryki, która jest również kompatybilna z tą dodatkową strukturą, oprócz indukowania jej topologii. Dla abelowych grup topologicznych i topologicznych przestrzeni wektorowych „zgodność z dodatkową strukturą” może oznaczać, że metryka jest niezmienna przy translacjach.
Jednak nie może powstać nieporozumienie, gdy mówimy o abelowej grupie topologicznej lub topologicznej przestrzeni wektorowej, które są całkowicie metryzowalne: można udowodnić, że każda abelowa grupa topologiczna (a więc także każda topologiczna przestrzeń wektorowa), która jest całkowicie metryzowalna jako przestrzeń topologiczna (tj. , dopuszcza kompletną metrykę, która indukuje jego topologię) dopuszcza również niezmienną kompletną metrykę, która indukuje jego topologię.
Oznacza to np., że każda całkowicie metryzowalna topologiczna przestrzeń wektorowa jest zupełna. Rzeczywiście, topologiczna przestrzeń wektorowa jest nazywana zupełną, jeśli jej jednorodność (indukowana przez jej topologię i operację dodawania) jest zupełna; jednorodność wywołana przez metrykę niezmienną od translacji, która indukuje topologię, pokrywa się z pierwotną jednorodnością.
Zobacz też
Notatki
- Kelley, John L. (1975). Topologia ogólna . Skoczek. ISBN 0-387-90125-6 .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1970). Kontrprzykłady w topologii . Holt, Rinehart i Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8 .
- Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Wydawnictwo Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9 .