Miara quasi-niezmienna
W matematyce quasi-niezmiennicza miara μ względem transformacji T z przestrzeni miary X do samej siebie jest miarą , która, mówiąc z grubsza, jest mnożona przez funkcję numeryczną T . Ważna klasa przykładów występuje, gdy X jest gładką rozmaitością M , T jest dyfeomorfizmem M , a μ to dowolna miara, która lokalnie jest miarą o podstawie miary Lebesgue'a na przestrzeni euklidesowej . Wtedy wpływ T na μ jest wyrażalny lokalnie jako mnożenie przez wyznacznik Jakobianu pochodnej ( przesuwanie do przodu ) T .
Aby wyrazić tę ideę bardziej formalnie w kategoriach teorii miary , chodzi o to, że pochodna Radona-Nikodyma przekształconej miary μ ′ względem μ powinna istnieć wszędzie; lub że te dwie miary powinny być równoważne (tj. wzajemnie absolutnie ciągłe ):
Oznacza to, innymi słowy, że T zachowuje pojęcie zbioru miary zero . Biorąc pod uwagę całą klasę równoważności miar ν , równoważnych μ , to samo można powiedzieć, że T zachowuje klasę jako całość, odwzorowując dowolną taką miarę na inną. Dlatego pojęcie miary quasi-niezmiennej jest tożsame z pojęciem klasy miary niezmiennej .
Ogólnie rzecz biorąc, „swoboda” poruszania się w obrębie klasy miar przez mnożenie daje początek kocyklom , gdy składają się przekształcenia.
Na przykład miara Gaussa w przestrzeni euklidesowej Rn nie jest niezmienna przy translacji (jak miara Lebesgue'a), ale jest quasi-niezmienna przy wszystkich translacjach.
Można wykazać, że jeśli E jest separowalną przestrzenią Banacha , a μ jest lokalnie skończoną miarą borelowską na E , która jest quasi-niezmiennicza przy wszystkich translacjach przez elementy E , to albo dim( E ) < + ∞ albo μ jest miarą trywialną μ ≡ 0.
Zobacz też
- Twierdzenie Camerona-Martina - Twierdzenie teorii miary
- Niezmienna miara