Twierdzenie Oseledesa

W matematyce multiplikatywne twierdzenie ergodyczne lub twierdzenie Oseledeca dostarcza teoretycznych podstaw do obliczania wykładników Lapunowa nieliniowego układu dynamicznego . Zostało to udowodnione przez Valery'ego Oseledetsa (pisanego również jako „Oseledec”) w 1965 roku i zgłoszone na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Moskwie w 1966 roku. Konceptualnie inny dowód multiplikatywnego twierdzenia ergodycznego został znaleziony przez MS Raghunathana . ^{[ potrzebne źródło ]} Twierdzenie zostało rozszerzone na półproste grupy Liego przez VA Kaimanovicha i dalej uogólnione w pracach Davida Ruelle'a , Grigory'ego Margulisa , Andersa Karlssona i François Ledrappiera . ^{[ potrzebne źródło ]}

Kocykle

Multiplikatywne twierdzenie ergodyczne jest wyrażone w postaci kocykli macierzowych układu dynamicznego. Twierdzenie określa warunki istnienia definiujących granic i opisuje wykładniki Lapunowa. Nie odnosi się do tempa konwergencji.

Kocykl autonomicznego układu dynamicznego X jest spełniającym odwzorowaniem C : X×T → R n ^×n

\ Displaystyle C (x, 0) = ja_ {n} {\ rm {~ dla ~ wszystkich ~}} x \ w X}

{\ Displaystyle C (x, t + s) = C (x (t), s) \, C (x, t) {\ rm {~ dla ~ wszystkich ~}} x \in X{\rm {~i~}}t,s\in T}

gdzie X i T (gdzie T = Z⁺ lub T = R⁺ ) są odpowiednio przestrzenią fazową i zakresem czasu układu dynamicznego, a I _n jest n -wymiarową macierzą jednostek. Wymiar n macierzy C nie jest związany z przestrzenią fazową X .

Przykłady

Wybitnym przykładem kocyklu jest macierz J ^t w teorii wykładników Lapunowa. W tym szczególnym przypadku wymiar n macierzy jest taki sam jak wymiar rozmaitości X .
Dla dowolnego kocyklu C wyznacznik det C ( x , t ) jest jednowymiarowym kocyklem.

Stwierdzenie twierdzenia

Niech μ będzie ergodyczną miarą niezmienniczą na X i C kocyklem układu dynamicznego takim, że dla każdego t ∈ T mapy ${\ Displaystyle x \ rightarrow \ log \| C (x,t)\|}$ i ${\ Displaystyle x \ rightarrow \ log \| C (x, t) ^ {-1} \|}$ są L ¹ -całkowalne względem μ . Wtedy dla μ -prawie wszystkie x i każdy niezerowy wektor u ∈ R ⁿ granica

{\ Displaystyle \ lambda = \ lim _ {t \ do \ infty} {1 \ ponad t} \ log {\ | C (x,t)u\| \nad \|u\|}}

istnieje i przyjmuje, w zależności od u , ale nie od x , do n różnych wartości. To są wykładniki Lapunowa.

Ponadto, jeśli λ ₁ > ... > λ _m są różnymi granicami, to istnieją podprzestrzenie R ⁿ = R ₁ ⊃ ... ⊃ R _m ⊃ R _{m +1} = {0}, w zależności od x , takie, że granica jest λ _ja dla u ∈ R _ja \ R _{ja +1} oraz i = 1, ..., m .

Wartości wykładników Lapunowa są niezmienne w odniesieniu do szerokiego zakresu przekształceń współrzędnych. Załóżmy, że $;$ : X → X jest jeden do jednego, taką, że odwrotność wtedy wartości wykładników Lapunowa nie zmieniają się.

Addytywne a multiplikatywne twierdzenia ergodyczne

Werbalnie ergodyczność oznacza, że średnie czasu i przestrzeni są równe, formalnie:

{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} {1 \ nad t}\int _{0}^{t}f(x(s))\,ds={1 \ponad \mu (X)}\int _{X}f(x)\,\mu (dx )}

gdzie istnieją całki i granica. Średnia przestrzenna (po prawej stronie, μ jest miarą ergodyczną na X ) to suma wartości f ( x ) ważonych przez μ ( dx ). Ponieważ dodawanie jest przemienne, sumowanie f ( x )μ( dx ) może odbywać się w dowolnej kolejności. Natomiast średnia czasowa (po lewej stronie) sugeruje określone uporządkowanie wartości f ( x ( s )) wzdłuż trajektorii.

₀₀₀ Ponieważ mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, akumulacja pomnożonych wartości kocyklu (i ich granic) zgodnie z C ( x ( t ), t _k ) = C ( x ( t _{k −1} ), t _k − t _{k − 1} ) ... C ( x ( t ), t ₁ − t ) — dla t _k duże i kroki t _i − t _{i −1} mały — ma sens tylko dla określonej kolejności. Zatem średnia czasowa może istnieć (a twierdzenie mówi, że faktycznie istnieje), ale nie ma odpowiednika średniej przestrzennej. Innymi słowy, twierdzenie Oseledesa różni się od addytywnych twierdzeń ergodycznych (takich jak GD Birkhoffa i J. von Neumanna ) tym, że gwarantuje istnienie średniej czasowej, ale nie mówi o średniej przestrzennej.

Oseleniec, VI (1968). „Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем” [multiplikatywne ergo Twierdzenie dic: Charakterystyczne wykładniki Lapunowa układów dynamicznych]. Trudy MMO (po rosyjsku). 19 : 179–210.
Ruelle, D. (1979). „Ergodyczna teoria różniczkowalnych układów dynamicznych” (PDF) . Publikacja IHES matematyka _ 50 (1): 27–58. doi : 10.1007/BF02684768 . S2CID 56389695 .

Linki zewnętrzne

VI Oseledets, twierdzenie Oseledesa w Scholarpedia