Miara harmoniczna

W matematyce , zwłaszcza w teorii potencjału , miara harmoniczna jest pojęciem związanym z teorią funkcji harmonicznych , która wynika z rozwiązania klasycznego problemu Dirichleta .

Miarą harmoniczną jest wyjściowy rozkład ruchów Browna

W teorii prawdopodobieństwa miarą harmoniczną podzbioru granicy domeny ograniczonej w przestrzeni euklidesowej jest prawdopodobieństwo, że ruch Browna ${\ Displaystyle R ^ {n}}$ , ${\ Displaystyle n \ geq 2}$ rozpoczęty wewnątrz domeny trafia w ten podzbiór granicy. Mówiąc bardziej ogólnie, harmoniczna miara dyfuzji Itō X opisuje rozkład X , gdy uderza w granicę D . W złożonej płaszczyźnie , miarę harmoniczną można wykorzystać do oszacowania modułu funkcji analitycznej w domenie D przy danych granicach modułu na granicy dziedziny; szczególnym przypadkiem tej zasady jest twierdzenie Hadamarda o trzech kołach . Na prosto połączonych domenach planarnych istnieje ścisły związek między miarą harmoniczną a teorią map konforemnych .

Termin miara harmoniczna został wprowadzony przez Rolfa Nevanlinna w 1928 r. dla dziedzin planarnych, chociaż Nevanlinna zauważa, że idea ta pojawiła się pośrednio we wcześniejszych pracach Johanssona, F. Riesza, M. Riesza, Carlemana, Ostrowskiego i Julii (cytowane oryginalne zamówienie). Związek między miarą harmoniczną a ruchami Browna został po raz pierwszy zidentyfikowany przez Kakutaniego dziesięć lat później, w 1944 roku.

Definicja

Niech D będzie ograniczoną , otwartą dziedziną w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej R ⁿ , n ≥ 2 i niech ∂ D oznacza granicę D . Dowolna funkcja ciągła f : ∂ D → R wyznacza jednoznaczną funkcję harmoniczną H _f , która rozwiązuje problem Dirichleta

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} - \ Delta H_ {f} (x) = 0, & x \ w D; \\ H_ {f} (x) = f (x), & x \ w \ częściowe D. \ zakończyć {przypadki}}}

Jeżeli punkt x ∈ D jest ustalony, to na mocy twierdzenia Riesza-Markowa-Kakutaniego o reprezentacji i zasady maksimum H _f ( x ) wyznacza miarę prawdopodobieństwa ω ( x , D ) na ∂ D przez

{\ Displaystyle H_ {f} (x) = \ int _ {\ częściowe D} f (y) \ \ operatorname {d} \ omega (x, D) (y).}

Miara ω ( x , D ) nazywana jest miarą harmoniczną (dziedziny D z biegunem w x ).

Nieruchomości

Dla dowolnego podzbioru Borela E z ∂ D , miara harmoniczna ω ( x , D ) ( E ) jest równa wartości w x rozwiązania problemu Dirichleta z danymi brzegowymi równymi funkcji wskaźnika E .
Dla ustalonych D i E ⊆ ∂ D , ω ( x , D )( E ) jest funkcją harmoniczną x ∈ D i

{\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ omega (x, D) (E) \ równoważnik 1;}

{\ Displaystyle 1-\ omega (x, D) (E) = \ omega (x, D) (\ częściowe D \ setminus E);}

Stąd dla każdego x i D , ω ( x , D ) jest miarą prawdopodobieństwa na ∂ D .

ω ( x , re ) ( mi ) = 0 nawet w jednym punkcie x re , to $y, D) (E)}$ ) {\ Displaystyle y \ mapsto \ omega jest identycznie zerem, w którym to przypadku mówi się, że E jest zbiorem miara harmoniczna zero . Jest to konsekwencja nierówności Harnacka .

Ponieważ jawne wzory na miarę harmoniczną nie są zwykle dostępne, jesteśmy zainteresowani określeniem warunków, które gwarantują, że zbiór ma miarę harmoniczną zero.

$($ i M. Riesz Twierdzenie ${\ Displaystyle H ^ {1} (\ częściowe D) <\ infty}$ Jeśli jest po prostu spójną domeną płaską ograniczoną prostowniczą tj . ), to miara harmoniczna jest wzajemnie absolutnie ciągła w odniesieniu do długości łuku: dla wszystkich ${\ displaystyle E \ podzbiór \ częściowe D$ } ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle H ^ {1} (E) = 0}$ .
$będzie prosto$ Makarowa : Niech domeną mi ${\ Displaystyle E \ podzbiór \ częściowe D}$ i ${\ Displaystyle H ^ {s} (E) = 0}$ niektórych ${\ Displaystyle s <1}$ , to ${\ Displaystyle \ omega (x, D) (E) = 0}$ . Co więcej, miara harmoniczna na D jest wzajemnie osobliwa względem t -wymiarowej miary Hausdorffa dla wszystkich t > 1.

Twierdzenie Dahlberga : Jeśli $,$ ograniczoną domeną Lipschitza to miara harmoniczna i ( - 1 -wymiarowa miara Hausdorffa są wzajemnie absolutnie ciągłe: dla ${\ Displaystyle E \ podzbiór \ częściowy D}$ , ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle H ^ {n-1} (E) = 0}$ .

Przykłady

Jeśli ${\ Displaystyle \ mathbb {D} = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {2}: | X | <1 \}} to$ dysk jednostkowy, a następnie miara harmoniczna ${\ displaystyle \ mathbb {D} }$ z biegunem w początku układu współrzędnych jest miarą długości na okręgu jednostkowym znormalizowaną do prawdopodobieństwa, tj. gdzie $|$ $_$ _ ${\ Displaystyle | E |}$ oznacza długość mi $\ displaystyle E}$ .
Jeśli dyskiem jednostkowym i ${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {D}}$ $,$ to ${\ Displaystyle \ omega (X, \ mathbb {D}) (E) = \ int _ {E} {\ Frac {1-| X|^ {2}} {| XQ|^ {2}}} {\ frac {dH ^ {1} (Q$ $}$ ${2 \ pi}}}$ dla wszystkich gdzie oznacza długość ${\ Displaystyle E \ podzbiór S ^$ zmierzyć na okręgu jednostkowym. $_$ Radona - _ _ _
Bardziej ogólnie, jeśli ${\ Displaystyle n \ geq 2}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {n} = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {n}:| X | <1 \}} to n-wymiarowa kula jednostkowa, a$ następnie miara harmoniczna z biegunem na ${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {B} ^ {n}}$ jest ${\ Displaystyle \ omega (X, \ mathbb {B} ^ {n}) (E) = \ int _ {E} {\ Frac {1- | X | ^{2}}{|XQ|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}} dla$ wszystkich ${\ Displaystyle E \ podzbiór S ^ {n-1}}$ gdzie ${\ Displaystyle H ^ {n-1}}$ oznacza miarę powierzchni (( n - 1) - wymiarowa miara Hausdorffa ) na kuli jednostkowej ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ i ${\ Displaystyle H ^ {n-1} (S ^ {n-1}) = \ sigma _ {n-1}}$ .
Miara harmoniczna w po prostu połączonych domenach planarnych

Jeśli jest ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = | f ^ {- 1} (E) |/2 \ pi}$ $połączoną$ domeną ograniczoną Jordana i $re$ to dla wszystkich ${\ displaystyle E \ podzbiór \ częściowy D}$ gdzie ${\ displaystyle f: \ mathbb {D} \ rightarrow D}$ jest unikalną mapą Riemanna , która wysyła początek do X , tj. ${\ displaystyle f (0) = X}$ . Zobacz twierdzenie Carathéodory'ego .
Jeśli $płatek$ domeną ograniczoną przez śniegu Kocha $D}$ to istnieje podzbiór częściowe płatek śniegu Kocha taki, że ma zerową długość ( $mi$ ${\ Displaystyle H ^ {1} (E) = 0}$ miarę harmoniczną ${\ Displaystyle \ omega (X, D) (E) = 1}$ .

Harmoniczna miara dyfuzji

Rozważmy dyfuzję Itō X o wartości R ⁿ , rozpoczynającą się w pewnym punkcie x we wnętrzu dziedziny D , z prawem P ^x . Załóżmy , że ktoś chce poznać rozkład punktów, w których X wychodzi z D. Na przykład kanoniczny ruch Browna B na linii rzeczywistej zaczynający się od 0 wychodzi z przedziału (-1, +1) przy -1 z prawdopodobieństwem ½ i przy +1 z prawdopodobieństwem ½, więc B _{τ _{(-1, +1)}} to równomiernie rozłożony na zbiorze {−1, +1}.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ^G jest zwięźle osadzone w Rn , to miarą harmoniczną (lub rozkładem trafień ) X na granicy ∂ G z G jest miara μ _G^x zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ mu _ {G} ^ {x} (F) = \ mathbf {P} ^ {x} {\ duży [} X_ {\ tau _{G}}\w F{\duży ]}}

dla x ∈ G i F ⊆ ∂ G .

Wracając do wcześniejszego przykładu ruchu Browna, można pokazać, że jeśli B jest ruchem Browna w R ⁿ zaczynającym się w x ∈ R ⁿ i D ⊂ R ⁿ jest otwartą kulą o środku w x , to miara harmoniczna B na ∂ D jest niezmienna przy wszystkich obrotach D wokół x i pokrywa się ze znormalizowaną miarą powierzchni na ∂ D

Ogólne odniesienia

Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005). Miara harmoniczna . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47018-6 .

Øksendal, Bernt K. (2003). Równania różniczkowe stochastyczne: wprowadzenie z aplikacjami (wyd. Szóste). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 . MR 2001996 (patrz sekcje 7, 8 i 9)

Capogna, Luca; Kenig, Carlos E.; Lanzani, Loredana (2005). Miara harmoniczna: geometryczne i analityczne punkty widzenia . Seria wykładów uniwersyteckich. Tom. ULECT/35. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. P. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4 .

^ R. Nevanlinna (1970), „Funkcje analityczne”, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, por. Wprowadzenie str. 3
^ R. Nevanlinna (1934), „Das harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie”, Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves, Sztokholm, s. 116–133.
^ Kakutani S. (1944). „O ruchach Browna w n -przestrzeni” . proc. Chochlik. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
^ F. i M. Riesz (1916), „Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Sztokholm, s. 27–44.
^ Makarow, NG (1985). „O zniekształceniu zbiorów granic na mapach konforemnych”. proc. Matematyka Londynu. soc . 3. 52 (2): 369–384. doi : 10.1112/plms/s3-51.2.369 .
^ Dahlberg, Björn EJ (1977). „Oszacowania miary harmonicznej”. Łuk. Szczur. Mech. Analny . 65 (3): 275–288. Bibcode : 1977ArRMA..65..275D . doi : 10.1007/BF00280445 . S2CID 120614580 .

P.Jones i T.Wolff,Hausdorff wymiar miary harmonicznej w płaszczyźnie, Acta. Matematyka 161(1988)131-144(MR962097)(90j:31001)
C.Kenig i T.Toro, Regularność swobodnej granicy dla miar harmonicznych i jąder Poissona, Ann. z matematyki. 150(1999)369-454MR 172669992001d:31004)
C.Kenig, D.PreissandT. Toro, Struktura granic i rozmiar w kategoriach wewnętrznych i zewnętrznych miar harmonicznych w wyższych wymiarach, Jour. z Ameru. Matematyka Soc.vol22 lipca 2009, nr 3,771-796
S.G.Krantz, The Theory and Practice of Conformal Geometry, Dover Publ.Mineola New York (2016) zwł. Ch6 klasyczny przypadek

Linki zewnętrzne

Solomentsev, ED (2001) [1994], „Miara harmoniczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press

[1] R. Nevanlinna (1970), „Funkcje analityczne”, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, por. Wprowadzenie str. 3

[2] R. Nevanlinna (1934), „Das harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie”, Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves, Sztokholm, s. 116–133.

[3] Kakutani S. (1944). „O ruchach Browna w n -przestrzeni” . proc. Chochlik. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .

[4] F. i M. Riesz (1916), „Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Sztokholm, s. 27–44.

[5] Makarow, NG (1985). „O zniekształceniu zbiorów granic na mapach konforemnych”. proc. Matematyka Londynu. soc . 3. 52 (2): 369–384. doi : 10.1112/plms/s3-51.2.369 .

[6] Dahlberg, Björn EJ (1977). „Oszacowania miary harmonicznej”. Łuk. Szczur. Mech. Analny . 65 (3): 275–288. Bibcode : 1977ArRMA..65..275D . doi : 10.1007/BF00280445 . S2CID 120614580 .