Twierdzenie Alberta – Brauera – Hassego – Noether
W algebraicznej teorii liczb twierdzenie Alberta – Brauera – Hasse – Noether stwierdza, że centralna algebra prosta nad algebraicznym polem liczbowym K , które dzieli się na każde uzupełnienie K v , jest algebrą macierzową na K . Twierdzenie to jest przykładem zasady lokalno-globalnej w algebraicznej teorii liczb i prowadzi do pełnego opisu skończonych wymiarowych algebr dzielenia na algebraicznych ciałach liczbowych w kategoriach ich lokalnych niezmienników . Udowodnili to niezależnie Richard Brauer , Helmut Hasse i Emmy Noether oraz Abraham Adrian Albert .
Stwierdzenie twierdzenia
Niech A będzie centralną algebrą prostą rzędu d nad algebraicznym ciałem liczbowym K . Załóżmy, że dla dowolnej wyceny v , A dzieli się na odpowiednią zmienną lokalną K v :
Wtedy A jest izomorficzne z algebrą macierzową M d ( K ).
Aplikacje
Korzystając z teorii grupy Brauera , można pokazać, że dwie centralne algebry proste A i B nad algebraicznym ciałem liczbowym K są izomorficzne względem K wtedy i tylko wtedy, gdy ich uzupełnienia Av i Bv są izomorficzne względem uzupełnienia Kv dla każdego v .
Wraz z twierdzeniem Grunwalda – Wanga , twierdzenie Alberta – Brauera – Hasse – Noether implikuje, że każda centralna algebra prosta nad algebraicznym ciałem liczbowym jest cykliczna , tj. Można ją uzyskać przez jawną konstrukcję z cyklicznego rozszerzenia pola L / K .
Zobacz też
- Albert, AA ; Hasse, H. (1932), „Określenie wszystkich algebr podziału normalnego na algebraicznym polu liczbowym”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 34 (3): 722–726, doi : 10.1090/s0002-9947-1932-1501659-x , Zbl 0005.05003
- Brauer, R .; Hasse, H .; Noether, E. (1932), "Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren", J. reine angew. Matematyka , 167 : 399–404
- Fenster, DD; Schwermer, J. (2005), „Delikatna współpraca: Adrian Albert i Helmut Hasse oraz główne twierdzenie w algebrach z podziałem”, Archiwum Historii Nauk Ścisłych , 59 (4): 349–379, doi : 10.1007 / s00407-004- 0093-6
- Pierce, Richard (1982), Algebry asocjacyjne , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 88, Nowy Jork-Berlin: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90693-2 , Zbl 0497.16001
- Reiner, I. (2003), Maksymalne rzędy , Monografie London Mathematical Society. Nowa seria, tom. 28, Oxford University Press , s. 276, ISBN 0-19-852673-3 , Zbl 1024.16008
- Roquette, Peter (2005), „Twierdzenie Brauera – Hasse – Noether w perspektywie historycznej” (PDF) , Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften , 15 , CiteSeerX 10.1.1.72.4101 , MR 2222818 , Zbl 1 060.01009 , pobrano 2009-07-05 Wersja poprawiona - Roquette, Peter (2013), Contributions to the history of number teorii in the 20th century , Heritage of European Mathematics, Zürich: European Mathematical Society , s. 1–76, ISBN 978-3- 03719-113-2 , Zbl 1276.11001
- Albert, Nancy E. (2005), „Kostka i jego algebra” , iUniverse, ISBN 978-0-595-32817-8