iloraz Herbranda

W matematyce iloraz Herbranda jest ilorazem rzędów grup kohomologicznych grupy cyklicznej . Został wynaleziony przez Jacquesa Herbranda . Ma ważne zastosowanie w teorii pola klas .

Definicja

Jeśli G jest skończoną grupą cykliczną działającą na G -moduł A , to grupy kohomologiczne Hn ( G , A ) mają okres 2 dla ⁿ ≥1 ; innymi słowy

H ⁿ ( sol , ZA ) = H. ^{n +2} ( sol , ZA ),

izomorfizm indukowany przez produkt kubkowy z generatorem H ² ( G , Z ). (Jeśli zamiast tego użyjemy grup kohomologii Tate , to okresowość rozciąga się do n = 0.)

Moduł Herbranda to A , dla którego grupy kohomologii są skończone. W tym przypadku iloraz Herbranda h ( G , A ) jest definiowany jako iloraz

godz ( sol , ZA ) = | H ² ( G , ZA )|/| H ¹ ( G , ZA )|

rzędu parzystych i nieparzystych grup kohomologicznych.

Alternatywna definicja

Iloraz można zdefiniować dla pary endomorfizmów grupy abelowej f i g , które spełniają warunek fg = gf = 0. Ich iloraz Herbranda q ( f , g ) jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle q (f, g) = {\ Frac {|\ operatorname {ker} f: \ operatorname {im} g |} {| \ operatorname {ker} g: \ operatorname {im} f |}}}$

jeśli dwa wskaźniki są skończone. Jeśli G jest grupą cykliczną z generatorem γ działającym na grupę abelową A , to odzyskujemy poprzednią definicję przyjmując f = 1 - γ i g = 1 + γ + γ ² + ... .

Nieruchomości

• Iloraz Herbranda jest multiplikatywny dla krótkich ciągów dokładnych . Innymi słowy, jeśli

0 → A → B → C → 0

jest dokładny, a dowolne dwa ilorazy są zdefiniowane, to trzeci i również

godz ( sol , b ) = godz ( sol , ZA ) godz ( sol , do )

• Jeśli A jest skończone, to h ( G , A ) = 1.
• Ponieważ A jest submodułem G -modułu B indeksu skończonego, jeśli jeden iloraz jest zdefiniowany, to drugi jest taki sam i są one równe: bardziej ogólnie, jeśli istnieje G -morfizm A → B ze skończonym jądrem i kokernelem, to to samo dotyczy.
• Jeśli Z jest liczbami całkowitymi, gdzie G działa trywialnie, to h ( G , Z ) = | G |
• Jeśli A jest skończenie generowanym modułem G , to iloraz Herbranda h ( A ) zależy tylko od zespolonego modułu G C ⊗ A (więc można go odczytać z charakteru tej złożonej reprezentacji G ).

Te właściwości oznaczają, że iloraz Herbranda jest zwykle stosunkowo łatwy do obliczenia i często jest znacznie łatwiejszy do obliczenia niż rzędy którejkolwiek z poszczególnych grup kohomologii.

Zobacz też

• Formacja klasowa

Notatki

•   Atiyah, MF ; Ściana, CTC (1967). „Kohomologia grup”. W Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (red.). Algebraiczna teoria liczb . Prasa akademicka. Zbl 0153.07403 . Patrz sekcja 8.
•    Artin, Emil ; Tate, John (2009). Teoria pola klas . AMS Chelsea. P. 5. ISBN 978-0-8218-4426-7 . Zbl 1179.11040 .
•    Cohen, Henri (2007). Teoria liczb - tom I: narzędzia i równania diofantyczne . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 239. Springer-Verlag . s. 242–248. ISBN 978-0-387-49922-2 . Zbl 1119.11001 .
•   Janusz, Gerald J. (1973). Pola liczb algebraicznych . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 55. Prasa akademicka. P. 142. Zbl 0307.12001 .
•    Kocha, Helmut (1997). Algebraiczna teoria liczb . Encykl. Matematyka nauka Tom. 62 (drugi druk pierwszego wyd.). Springer-Verlag . s. 120–121. ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .
•    Serre, Jean-Pierre (1979). Pola lokalne . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 67. Przetłumaczone przez Greenberga, Marvina Jaya . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7 . Zbl 0423.12016 .