Kwadratowa wzajemność

Gauss opublikował pierwszy i drugi dowód prawa wzajemności kwadratowej w sztukach 125–146 i 262 Disquisitiones Arithmeticae w 1801 roku.

W teorii liczb prawo wzajemności kwadratowej jest twierdzeniem o arytmetyce modularnej , które podaje warunki rozwiązywalności równań kwadratowych modulo liczb pierwszych . Ze względu na swoją subtelność ma wiele sformułowań, ale najbardziej standardowe stwierdzenie brzmi:

Prawo wzajemności kwadratowej — Niech p i q będą różnymi nieparzystymi liczbami pierwszymi i zdefiniują symbol Legendre'a jako:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {q} {p}} \ prawo) = {\ początek {przypadki} 1 i {\ tekst{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ dla pewnej liczby całkowitej }}n\\-1&{\text{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}$

Następnie:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {q} {p}} \ prawo) = (-1) ^ {{\ Frac {p-1} {2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Prawo to wraz z dodatkami umożliwia łatwe obliczenie dowolnego symbolu Legendre'a, umożliwiając określenie, czy istnieje rozwiązanie całkowite dla dowolnego równania kwadratowego w postaci ${\ displaystyle x ^ {2} \ odpowiednik$ dla nieparzystej liczby pierwszej ${\ displaystyle p}$ ; to znaczy, aby określić „idealne kwadraty $”$ . Jest to jednak niekonstruktywny : w ogóle nie pomaga w znalezieniu konkretnego rozwiązanie; w tym celu wymagane są inne metody. Na przykład w przypadku, $gdy$ stosuje się kryterium Eulera, $można$ podać wyraźny wzór na „pierwiastki ” reszta kwadratowa ${\ displaystyle a}$ a mianowicie za

${\ Displaystyle \ pm a ^ {\ Frac {p + 1} {4}}}$

Rzeczywiście,

${\ Displaystyle \ lewo (\ pm a ^ {\ Frac {p + 1} {4}} \ prawo) ^ {2} = a ^ {\ Frac {p + 1} {2}} = a \ cdot a ^ {\ Frac {p-1} {2}}\równoważnik a\lewo ({\frac {a}}\prawo)=a{\bmod {p}}.}$

, gdy wiadomo z góry, że jest $kwadratową$ , co można sprawdzić za pomocą prawa wzajemności kwadratowej.

Twierdzenie o wzajemności kwadratowej zostało wysunięte przez Eulera i Legendre'a , a po raz pierwszy udowodnione przez Gaussa , który w swoich Disquisitiones Arithmeticae i swoich artykułach nazwał je „podstawowym twierdzeniem”

Podstawowe twierdzenie należy z pewnością uważać za jedno z najbardziej eleganckich tego typu. (Art. 151)

Prywatnie Gauss nazywał to „złotym twierdzeniem”. Opublikował na to sześć dowodów , a dwa kolejne odnaleziono w jego pracach pośmiertnych. Obecnie istnieje ponad 240 opublikowanych dowodów. Najkrótszy znany dowód znajduje się poniżej wraz z krótkimi dowodami uzupełnień prawa (symbole Legendre'a -1 i 2).

Uogólnianie prawa wzajemności na wyższe potęgi było wiodącym problemem w matematyce i miało kluczowe znaczenie dla rozwoju większości mechanizmów współczesnej algebry , teorii liczb i geometrii algebraicznej , czego kulminacją była wzajemność Artina , teoria pola klasowego i Langlands program .

Motywujące przykłady

Wzajemność kwadratowa wynika z pewnych subtelnych wzorców faktoryzacji obejmujących doskonałe liczby kwadratowe. W tej części podamy przykłady, które prowadzą do przypadku ogólnego.

Faktoring n ² - 5

Rozważmy wielomian i jego wartości dla ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}.}$${\ displaystyle f (n) = n ^ {2} -5}$ Rozkłady na czynniki pierwsze tych wartości podano w następujący sposób:

N	${\ displaystyle f (n)}$			N	${\ displaystyle f (n)}$			N	${\ displaystyle f (n)}$
1	−4	−2 2		16	251	251		31	956	2 2 ⋅239
2	−1	−1		17	284	2 2 ⋅71		32	1019	1019
3	4	2 2		18	319	11⋅29		33	1084	2 2 ⋅271
4	11	11		19	356	2 2 ⋅89		34	1151	1151
5	20	2 2 ⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	2 2 ⋅5⋅61
6	31	31		21	436	2 2 ⋅109		36	1291	1291
7	44	2 2 ⋅11		22	479	479		37	1364	2 2 ⋅11⋅31
8	59	59		23	524	2 2 ⋅131		38	1439	1439
9	76	2 2 ⋅19		24	571	571		39	1516	2 2 ⋅379
10	95	5⋅19		25	620	2 2 ⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	2 2 ⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	2 2 ⋅419
12	139	139		27	724	2 2 ⋅181		42	1759	1759
13	164	2 2 ⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	2 2 ⋅461
14	191	191		29	836	2 2 ⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	2 2 ⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	2 2 ⋅5⋅101

Czynnikami pierwszymi dzielącymi są $\$$displaystyle f (n)}$ i każda liczba pierwsza, której ostatnia cyfra to $p = 2,5$$displaystyle$$}$ lub ${\ displaystyle 9}$ ; nigdy nie pojawiają się żadne liczby $displaystyle$ kończące się na lub $7}$ . Teraz $czynnik$ jest to główny ${\ Displaystyle n ^ {2} -5}$ kiedykolwiek ${\ displaystyle n ^ {2} -5 \ równoważnik 0 {\ bmod {p}}}$ , tj. kiedykolwiek ${\ displaystyle n ^ {2} \ odpowiednik 5$ jest resztą kwadratową modulo ${\ bmod {p}$ } Dzieje $i$ tych ${\ Displaystyle p \ równoważnik 1,4 {\ bmod {5}},}$ i te ostatnie liczby ${\ Displaystyle 1 = (\ pm 1) ^ {2 }}$ i są dokładnie resztami kwadratowymi modulo $= (\ pm 2) ^$${2}$ } Dlatego z wyjątkiem $,$ mamy, że jest to reszta kwadratowa modulo $},$${\ displaystyle p$ jeśli ${\ displaystyle p}$ jest resztą kwadratową modulo $\ displaystyle 5}$

Prawo wzajemności kwadratowej daje podobną charakterystykę dzielników $charakterystyki$ , co dowolnego liczba całkowita $displaystyle q}$ \

Wzorce wśród reszt kwadratowych

Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Liczba modulo p jest resztą kwadratową , gdy jest przystająca do kwadratu (mod p ); w przeciwnym razie jest to niereszta kwadratowa. („Kwadratowy” można pominąć, jeśli jasno wynika z kontekstu.) Tutaj wykluczamy zero jako przypadek specjalny. Zatem w konsekwencji faktu, że grupa multiplikatywna ciała skończonego rzędu p jest cykliczna rzędu p-1 , zachodzi następujące twierdzenie:

• Istnieje równa liczba reszt kwadratowych i niereszt; I
• Iloczyn dwóch reszt kwadratowych jest resztą, iloczyn reszty i niereszty jest nieresztą, a iloczyn dwóch niereszt jest resztą.

Aby uniknąć wątpliwości, stwierdzenia te nie obowiązują , jeśli moduł nie jest pierwszy. Na przykład w grupie multiplikatywnej modulo 15 znajdują się tylko 3 reszty kwadratowe (1, 4 i 9). Co więcej, chociaż 7 i 8 są nieresztami kwadratowymi, ich iloczyn 7x8 = 11 jest również nieresztą kwadratową, w przeciwieństwie do do głównego przypadku.

Reszty kwadratowe to wpisy w poniższej tabeli:

Kwadraty mod liczb pierwszych

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
nr 2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
moda 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
moda 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
moda 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
moda 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
moda 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
moda 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
moda 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
moda 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
moda 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28	24	22	22	24	28	5	13	23	6	20	7	25	16
moda 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28	20	14	10	8	8	10	14	20	28	7	19	2	18	5
moda 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26	10	33	21	11	3	34	30	28	28	30	34	3	11	21	33
moda 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21	5	32	20	10	2	37	33	31	31	33	37	2	10
moda 43	1	4	9	16	25	36	6	21	38	14	35	15	40	24	10	41	31	23	17	13	11	11	13	17	23
moda 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28	8	37	21	7	42	32	24	18	14	12	12	14

Ta tabela jest kompletna dla nieparzystych liczb pierwszych mniejszych niż 50. Aby sprawdzić, czy liczba m jest resztą kwadratową mod jednej z tych liczb pierwszych p , znajdź a ≡ m (mod p ) i 0 ≤ a < p . Jeśli a znajduje się w wierszu p , to m jest resztą (mod p ); jeśli a nie znajduje się w wierszu p tabeli, to m jest nieresztą (mod p ).

Kwadratowe prawo wzajemności to stwierdzenie, że pewne wzorce znalezione w tabeli są ogólnie prawdziwe.

Wersja Legendre’a

Innym sposobem uporządkowania danych jest sprawdzenie, które liczby pierwsze są resztami, a które innymi liczbami pierwszymi, jak pokazano w poniższej tabeli. Wpis w wierszu p kolumnie q to R , jeśli q jest resztą kwadratową (mod p ); jeśli nie jest to reszta, wpisem jest N .

Jeśli wiersz, kolumna lub oba mają wartość ≡ 1 (mod 4), wpis jest niebieski lub zielony; jeśli zarówno wiersz, jak i kolumna są ≡ 3 (mod 4), jest żółty lub pomarańczowy.

Niebieskie i zielone wpisy są symetryczne wokół przekątnej: wpis dla wiersza p i kolumny q to R (odpowiednio N ) wtedy i tylko wtedy, gdy wpis w wierszu q i kolumnie p to R (odpowiednio N ).

Z drugiej strony, żółte i pomarańczowe są antysymetryczne: wpis dla wiersza p i kolumny q to R (odpowiednio N ) wtedy i tylko wtedy, gdy wpis w wierszu q i kolumnie p ma wartość N (odpowiednio R ).

Prawo wzajemności stwierdza, że ​​te wzorce obowiązują dla wszystkich p i q .

Legenda

R	q jest resztą (mod p )	q ≡ 1 (mod 4) lub p ≡ 1 (mod 4) (lub oba)
N	q jest nieresztą (mod p )
R	q jest resztą (mod p )	zarówno q ≡ 3 (mod 4), jak i p ≡ 3 (mod 4)
N	q jest nieresztą (mod p )

		Q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
P	3		N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R
	5	N		N	R	N	N	R	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N
	7	N	N		R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N
	11	R	R	N		N	N	N	R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	R	N	N	N	R	R
	13	R	N	N	N		R	N	R	R	N	N	N	R	N	R	N	R	N	N	N	R	N	N	N
	17	N	N	N	N	R		R	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N
	19	N	R	R	R	N	R		R	N	N	N	N	R	R	N	N	R	N	N	R	N	R	N	N
	23	R	N	N	N	R	N	N		R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	N	N	N
	29	N	R	R	N	R	N	N	R		N	N	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R	N	N
	31	N	R	R	N	N	N	R	N	N		N	R	N	R	N	R	N	R	R	N	N	N	N	R
	37	R	N	R	R	N	N	N	N	N	N		R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N
	41	N	R	N	N	N	N	N	R	N	R	R		R	N	N	R	R	N	N	R	N	R	N	N
	43	N	N	N	R	R	R	N	R	N	R	N	R		R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R
	47	R	N	R	N	N	R	N	N	N	N	R	N	N		R	R	R	N	R	N	R	R	R	R
	53	N	N	R	R	R	R	N	N	R	N	R	N	R	R		R	N	N	N	N	N	N	R	R
	59	R	R	R	N	N	R	R	N	R	N	N	R	N	N	R		N	N	R	N	R	N	N	N
	61	R	R	N	N	R	N	R	N	N	N	N	R	N	R	N	N		N	N	R	N	R	N	R
	67	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	R	N	R	N		R	R	N	R	R	N
	71	R	R	N	N	N	N	R	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N		R	R	R	R	N
	73	R	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	N	N	N	N	R	R	R		R	N	R	R
	79	N	R	N	R	R	N	R	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	N	R		R	R	R
	83	R	N	R	R	N	R	N	R	R	R	R	R	N	N	N	R	R	N	N	N	N		N	N
	89	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	R	R	N		R
	97	R	N	N	R	N	N	N	N	N	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R

Dodatki do wzajemności kwadratowej

Dodatki dostarczają rozwiązań konkretnych przypadków wzajemności kwadratowej. Często podaje się je jako wyniki częściowe, bez konieczności odwoływania się do pełnego twierdzenia.

q = ±1 i pierwszy dodatek

Trywialnie 1 jest resztą kwadratową dla wszystkich liczb pierwszych. Pytanie staje się bardziej interesujące dla -1. Badając tabelę, znajdujemy -1 w wierszach 5, 13, 17, 29, 37 i 41, ale nie w wierszach 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 i 47. Wszystkie poprzednie zbiory liczb pierwszych są przystające do 1 modulo 4, a te ostatnie są przystające do 3 modulo 4.

Pierwszy dodatek do wzajemności kwadratowej. Kongruencję można rozwiązać wtedy i tylko wtedy, gdy jest $}$ przystająca do 1 modulo 4. ${\ displaystyle x ^ {2} \ równoważnik -1 {\ bmod {p}}$

q = ±2 i dodatek drugi

Badając tabelę, znajdujemy 2 w rzędach 7, 17, 23, 31, 41 i 47, ale nie w rzędach 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 i 43. Wszystkie poprzednie liczby pierwsze mają wartość ≡ ± 1 (mod 8), a wszystkie te ostatnie są ≡ ± 3 (mod 8). To prowadzi do

Drugi dodatek do wzajemności kwadratowej. Kongruencję można rozwiązać wtedy i tylko wtedy, $gdy$$jest$ .

−2 znajduje się w rzędach 3, 11, 17, 19, 41, 43, ale nie w rzędach 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 lub 47. Te pierwsze to ≡ 1 lub ≡ 3 (mod 8) , a te ostatnie wynoszą ≡ 5, 7 (mod 8).

q = ±3

3 znajduje się w rzędach 11, 13, 23, 37 i 47, ale nie w rzędach 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 i 43. Pierwsze mają wartość ≡ ±1 (mod 12), a drugie to wszystkie ≡ ±5 (mod 12).

−3 znajduje się w rzędach 7, 13, 19, 31, 37 i 43, ale nie w rzędach 5, 11, 17, 23, 29, 41 i 47. Pierwsze to ≡ 1 (mod 3), a drugie ≡ 2 (mod 3).

Ponieważ jedyna reszta (mod 3) to 1, widzimy, że -3 jest resztą kwadratową modulo każdej liczby pierwszej, która jest resztą modulo 3.

q = ±5

5 znajduje się w rzędach 11, 19, 29, 31 i 41, ale nie w rzędach 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 i 47. Te pierwsze wynoszą ≡ ±1 (mod 5), a drugie ≡ ±2 (mod 5).

Ponieważ jedyne reszty (mod 5) wynoszą ±1, widzimy, że 5 jest resztą kwadratową modulo każdej liczby pierwszej, która jest resztą modulo 5.

−5 znajduje się w rzędach 3, 7, 23, 29, 41, 43 i 47, ale nie w rzędach 11, 13, 17, 19, 31 i 37. Te pierwsze to ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ), a te ostatnie wynoszą ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Wyższe kw

Obserwacje dotyczące -3 i 5 są nadal aktualne: -7 jest resztą modulo p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest resztą modulo 7, -11 jest resztą modulo p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest resztą modulo 11, 13 reszta (mod p ) wtedy i tylko wtedy, gdy p jest resztą modulo 13, itd. Bardziej skomplikowane reguły dla znaków kwadratowych 3 i -5, które zależą od kongruencji odpowiednio modulo 12 i 20, to po prostu zasady dla - 3 i 5 pracując z pierwszym dodatkiem.

Przykład. Aby -5 było resztą (mod p ), albo 5 i -1 muszą być resztami (mod p ) lub oba muszą być nieresztami: tj. p ≡ ±1 (mod 5) i p ≡ 1 (mod 4) lub p ≡ ±2 (mod 5) i p ≡ 3 (mod 4). Stosując chińskie twierdzenie o resztach , są one równoważne p ≡ 1, 9 (mod 20) lub p ≡ 3, 7 (mod 20).

Uogólnieniem reguł dla -3 i 5 jest stwierdzenie Gaussa dotyczące wzajemności kwadratowej.

Stwierdzenie twierdzenia

Wzajemność kwadratowa (stwierdzenie Gaussa). Jeśli , to zgodność $}$$q {\$$jest$ i tylko wtedy . Jeśli i q $\ displaystyle q \ równoważnik 3 {\ bmod {4}}}$${\ Displaystyle p \ równoważnik 3 {\ bmod {4}}}$ , to zgodność wynosi $displaystyle x ^ {2} \ równoważnik p {\ bmod {q}}}$ \ $jest$ i gdy

Wzajemność kwadratowa (stwierdzenie połączone). Zdefiniuj ${\ displaystyle q ^ {*} = (-1) ^ {\ Frac {q-1} {2}} q}$ . Wtedy kongruencję można rozwiązać wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ bmod$$}}$ jest rozwiązywalny.

Wzajemność kwadratowa (stwierdzenie Legendre). Jeśli p lub q są przystające do 1 modulo 4, to: ${\ displaystyle x ^ {2} \ równoważnik q {\ bmod {p}}}$ jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle x ^ {2} \ równoważnik p {\ bmod {q}}}$ jest rozwiązywalny. Jeśli p i q są przystające do 3 modulo 4, to: ${\ Displaystyle x ^ {2} \ równoważnik q {\ bmod {p}}}$ jest rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle x ^ {2} \ równoważnik p {\ bmod {q}}}$ nie jest do rozwiązania.

Ta ostatnia jest bezpośrednio równoważna współczesnej formie podanej we wstępie powyżej. Wykazanie, że twierdzenia Legendre’a i Gaussa są równoważne, jest prostym ćwiczeniem – wymaga jedynie pierwszego uzupełnienia i faktów dotyczących mnożenia reszt i niereszt.

Dowód

Główny artykuł: Dowody wzajemności kwadratowej

Podobno najkrótszy znany dowód opublikował B. Veklych w American Mathematical Monthly .

Dowody uzupełnień

Wartość symbolu Legendre'a (użytego w powyższym dowodzie) wynika bezpośrednio z kryterium Eulera : ${\ displaystyle -1}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {-1} {p}} \ prawo) \ odpowiednik (-1) ^ {\ Frac {p-1 }{2}}{\bmod {p}}}$

$kryterium Eulera$ ale obie strony tej kongruencji są liczbami postaci , więc muszą być równe

To, czy $kwadratową,$$2}$ znając liczbę rozwiązań równania z ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Z} _ {p},}$ które można rozwiązać standardowymi metodami. Mianowicie wszystkie jego rozwiązania, gdzie ${\ displaystyle xy \ neq 0, x \ neq \ pm y}$ można pogrupować w ośmioraczki postaci ${\ Displaystyle (\ pm x, \ pm y), (\ pm y, \ pm x)}$ i co to jest pozostały cztery rozwiązania postaci ${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1)}$ i ewentualnie cztery dodatkowe rozwiązania, gdzie ${\ displaystyle x ^ {2} = 2 ,y=0}$ , gdzie żądamy, aby ${\ displaystyle$ pomijając dwa rozwiązania i $,$ które $_$ dokładnie Oznacza to, $że jest$$,$ gdy liczba rozwiązań tego równania jest podzielna . Równanie to można rozwiązać w ten sam sposób, jak w przypadku liczb wymiernych: podstaw $± 1$$a \ neq$), then the original equation transforms into

${\ Displaystyle a = - {\ Frac {2 (t + 1)} (t ^ {2} + 1)}}.}$

Tutaj $może$$mieć dowolną wartość$ nie daje mianownika możliwości (tj $zera$$,$ jest $pozostałością$ jeśli nie $)$ - a także nie daje wyklucza jeden więcej opcji, ${\ displaystyle t = -1}$ . Tak istnieją

${\ Displaystyle p - \ lewo (1 + \ lewo ({\ Frac {-1} {p}} \ prawo) \ prawo) -1}$

możliwości dla ${$ a zatem razem z dwoma wykluczonymi rozwiązaniami istnieją ogólnie $p}} \ prawo)}$ rozwiązania pierwotnego równania. Dlatego jest resztą modulo $}$${$ tylko wtedy, gdy dzieli $displaystyle$${\ Displaystyle p- (-1) ^ {\ Frac {p-1} {2}}$ } Jest to przeformułowanie warunku określonego powyżej.

Historia i stwierdzenia alternatywne

Twierdzenie zostało sformułowane na wiele sposobów przed jego nowoczesną formą: Euler i Legendre nie mieli notacji kongruencji Gaussa, ani Gauss nie miał symbolu Legendre'a.

W tym artykule p i q zawsze odnoszą się do różnych dodatnich liczb pierwszych nieparzystych, a x i y do nieokreślonych liczb całkowitych.

Fermata

Fermat udowodnił (lub twierdził, że udowodnił) szereg twierdzeń o wyrażaniu liczby pierwszej za pomocą postaci kwadratowej:

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} p = x ^ {2} + y ^ {2} \ qquad & \ Longleftrightarrow \ qquad p = 2 \ quad {\ tekst {lub}} \ quad p \ odpowiednik 1 {\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ lub }}\quad p\równoważnik 1,3{ \bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ lub }}\quad p\equiv 1{\bmod { 3}}\\\end{wyrównane}}}$

Nie stwierdził prawa wzajemności kwadratowej, chociaż przypadki -1, ± 2 i ± 3 są łatwymi wnioskami z tych i innych jego twierdzeń.

Twierdził także, że ma dowód, że jeśli liczba pierwsza p kończy się na 7 (o podstawie 10), a liczba pierwsza q kończy się na 3, a p ≡ q ≡ 3 (mod 4), to

${\ Displaystyle pq = x ^ {2} + 5 lat ^ {2}.}$

Euler przypuszczał, a Lagrange to udowodnił

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} p & \ równoważnik 1,9 {\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq =x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

Udowodnienie tych i innych twierdzeń Fermata było jedną z rzeczy, które doprowadziły matematyków do twierdzenia o wzajemności.

Eulera

W tłumaczeniu na współczesną notację Euler stwierdził, że dla różnych nieparzystych liczb pierwszych p i q :

1. Jeśli q ≡ 1 (mod 4), to q jest resztą kwadratową (mod p ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna liczba całkowita b taka, że ​​p ≡ b ² (mod q ).
2. Jeśli q ≡ 3 (mod 4), to q jest resztą kwadratową (mod p ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita b , która jest nieparzysta i niepodzielna przez q taka, że ​​p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Jest to równoważne wzajemności kwadratowej.

Nie mógł tego udowodnić, ale udowodnił drugi dodatek.

Legendre i jego symbol

Fermat udowodnił, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a a liczbą całkowitą,

${\ Displaystyle a ^ {p} \ odpowiednik a {\ bmod {p}}.}$

Zatem jeśli p nie dzieli a , wykorzystując nieoczywisty fakt (patrz na przykład Irlandia i Rosen poniżej), że reszty modulo p tworzą pole i dlatego w szczególności grupa multiplikatywna jest cykliczna, stąd mogą istnieć co najwyżej dwa rozwiązania równanie kwadratowe:

${\ Displaystyle a ^ {\ Frac {p-1} {2}} \ odpowiednik \ pm 1 {\ bmod {p}}.}$

Legendre pozwala a i A reprezentować dodatnie liczby pierwsze ≡ 1 (mod 4) oraz b i B dodatnie liczby pierwsze ≡ 3 (mod 4) i przedstawia tabelę ośmiu twierdzeń, które razem są równoważne wzajemności kwadratowej:

Twierdzenie	Gdy	wynika, że
I	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {a}}}$	$\ Displaystyle a ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {b}}}$
II	$\ Displaystyle a ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {b}}}$	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {a}}}$
III	${\ Displaystyle a ^ {\ Frac {A-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {A}}}$	${\ Displaystyle A ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {a}}}$
IV	${\ Displaystyle a ^ {\ Frac {A-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {A}}}$	${\ Displaystyle A ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {a}}}$
V	$\ Displaystyle a ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {b}}}$	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {a}}}$
VI	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {a-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {a}}}$	$\ Displaystyle a ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {b}}}$
VII	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {B-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {B}}}$	${\ Displaystyle B ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {b}}}$
VIII	${\ Displaystyle b ^ {\ Frac {B-1} {2}} \ odpowiednik -1 {\ bmod {B}}}$	${\ Displaystyle B ^ {\ Frac {b-1} {2}} \ odpowiednik 1 {\ bmod {b}}}$

Mówi, że od wyrażeń w formie

${\ Displaystyle N ^ {\ Frac {c-1} {2}} {\ bmod {c}}, \ qquad \ gcd (N, c) =1}$

będą się pojawiać tak często, że skróci je jako:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {N} {c}} \ prawo) \ odpowiednik N ^ {\ Frac {c-1} {2} }{\bmod {c}}=\pm 1.}$

Jest to obecnie znane jako symbol Legendre’a i obecnie używana jest jego równoważna definicja: dla wszystkich liczb całkowitych a i wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a}} }}{\text{ i }}\istnieje x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ i tam nie jest takim }}x.\end{cases}}}$

Legendre'owska wersja wzajemności kwadratowej

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) = {\ początek {przypadki} \ lewo ({\ tfrac {q} {p}} \ prawo) i p \ równoważnik 1 {\ bmod { 4}}\quad {\text{ lub }}\quad q\równoważnik 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\równoważnik 3{\ bmod {4}}\quad {\text{ i }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Zauważa, że ​​można je łączyć:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {q} {p}} \ prawo) = (-1) ^ {{\ Frac {p-1} {2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Szereg dowodów, szczególnie tych opartych na lemacie Gaussa , wyraźnie oblicza ten wzór.

Prawa uzupełniające wykorzystujące symbole Legendre'a

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ lewo ({\ Frac {-1} {p}} \ prawo) i = (-1) ^ {\ Frac {p-1} {2}}={\begin{cases}1&p\równoważnik 1{\bmod {4}}\\-1&p\równoważnik 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\równoważnik 1,7{\bmod { 8}}\\-1&p\równoważnik 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Z tych dwóch uzupełnień możemy otrzymać trzecie prawo wzajemności dla znaku kwadratowego -2 w następujący sposób:

Aby -2 było resztą kwadratową, albo -1, albo 2 są resztami kwadratowymi, albo obie nie są resztami: ${\ displaystyle {\ bmod {p}}}$ .

Więc albo: ${\ Displaystyle {\ Frac {p-1} {2}} {\ tekst {lub}} {\ Frac {p ^ {2} -1} {8} }}$ są parzyste lub oba są nieparzyste. Suma tych dwóch wyrażeń wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {p ^ {2} + 4p-5} {8}}},$ która jest liczbą całkowitą. Dlatego

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ lewo ({\ Frac {-2} {p}} \ prawo) i = (-1) ^ {\ Frac {p ^ {2} + 4p-5} {8} }={\begin{cases}1&p\równoważnik 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Próba udowodnienia wzajemności przez Legendre'a opiera się na jego twierdzeniu:

Twierdzenie Legendre'a. Niech a , b i c będą liczbami całkowitymi, gdzie dowolna para z tych trzech jest względnie pierwsza. Ponadto załóżmy, że co najmniej jedno z ab , bc lub ca jest ujemne (tj. nie wszystkie mają ten sam znak). Jeśli

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} u ^ {2} i \ odpowiednik -bc {\ bmod {a}} \\ v ^ {2} i \ równoważnik -ca {\ bmod {b}} \\ w ^ { 2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}}$

są rozwiązywalne, to poniższe równanie ma nietrywialne rozwiązanie w liczbach całkowitych:

${\ displaystyle topór^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

Przykład. Twierdzenie I jest obsługiwane poprzez pozwolenie, aby a ≡ 1 i b ≡ 3 (mod 4) były liczbami pierwszymi i zakładając, że ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {b} {a}} \ prawo) = 1}$ i wbrew twierdzeniu, że ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {a} {b}} \ prawo) = -1.}$ Wtedy ${\ displaystyle x ^ {2} + ay ^ {2} -bz ^ {2} = 0}$ ma rozwiązanie, a przyjęcie kongruencji (mod 4) prowadzi do sprzeczności.

Ta technika nie działa w przypadku Twierdzenia VIII. Niech b ≡ B ≡ 3 (mod 4) i załóżmy

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {B} {b}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {b} {B}} \ prawo) = -1.}$

Następnie, jeśli istnieje inna liczba pierwsza p ≡ 1 (mod 4) taka, że

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {b}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {p} {B}} \ prawo) = -1,}$

rozwiązywalność $_$ _ Ale Legendre nie był w stanie udowodnić, że musi istnieć taka liczba pierwsza p ; był później w stanie wykazać, że wszystko, czego potrzeba, to:

Lemat Legendre’a. Jeśli p jest liczbą pierwszą przystającą do 1 modulo 4, to istnieje nieparzysta liczba pierwsza q taka, że ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {p} {q}} \ prawo) = - 1.}$

ale tego też nie mógł udowodnić. Symbol $_$ istnieniu można zabrać się do pracy.

Gaus

Część artykułu 131 w pierwszym wydaniu (1801) Disquisitiones , wymieniająca 8 przypadków wzajemności kwadratowej

Gauss najpierw udowadnia prawa dodatkowe. Ustala podstawę indukcji, udowadniając twierdzenie dla ±3 i ±5. Zauważając, że łatwiej jest stwierdzić dla -3 i +5 niż dla +3 lub -5, podaje ogólne twierdzenie w postaci:

Jeśli p jest liczbą pierwszą w postaci 4 n + 1, to p , ale jeśli p jest w postaci 4 n + 3, to − p , jest resztą kwadratową (lub nieresztą) każdej liczby pierwszej, która ze znakiem dodatnim jest resztą (lub nieresztą) p . W następnym zdaniu nazywa je „podstawowym twierdzeniem” (Gauss nigdy nie użył słowa „wzajemność”).

Wprowadzenie zapisu a R b (odpowiednio a N b ) w celu oznaczenia a jest resztą kwadratową (odpowiednio nieresztą) (mod b ) i pozwoleniem, aby a , a ′ itd. oznaczały dodatnie liczby pierwsze ≡ 1 (mod 4) i b , b ′ itd. dodatnie liczby pierwsze ≡ 3 (mod 4), rozkłada to na te same 8 przypadków, co Legendre:

Sprawa	Jeśli	Następnie
1)	± a Ra ′ _	± a ′ R a
2)	± a N a ′	± a ′ N a
3)	+ za R b - za N b	± b Ra _
4)	+ za N b - za R b	± b N a
5)	± b Ra _	+ za R b - za N b
6)	± b N a	+ za N b - za R b
7)	+ b R b ′ - b N b ′	- b ′ N b + b ′ R b
8)	- b N b ′ + b R b ′	+ b ′ R b - b ′ N b

W następnym artykule uogólnia to na podstawowe zasady dotyczące symbolu Jacobiego (poniżej) . Niech A , A ′ itd. reprezentują dowolne (pierwsze lub złożone) liczby dodatnie ≡ 1 (mod 4) oraz B , B ′ itd. liczby dodatnie ≡ 3 (mod 4):

Sprawa	Jeśli	Następnie
9)	± RA _ _	± A Ra _
10)	± b RA _	+ ZA R b - ZA N b
11)	+ R B _	± B Ra _
12)	− RB _ _	± B N a
13)	+ b RB _	- B N b + N R b
14)	− b RB _	+ B R b - B N b

Wszystkie te przypadki przybierają postać „jeśli liczba pierwsza jest resztą (mod kompozytem), to kompozyt jest resztą lub nieresztą (mod liczbą pierwszą), w zależności od kongruencji (mod 4)”. Dowodzi, że wynikają one z przypadków 1) - 8).

Gauss potrzebował i był w stanie udowodnić lemat podobny do tego, którego potrzebował Legendre:

Lemat Gaussa. Jeśli p jest liczbą pierwszą przystającą do 1 modulo 8, to istnieje nieparzysta liczba pierwsza q taka, że:

${\ displaystyle q <2 {\ sqrt {p}} +1 \quad {\text{i}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

Dowód wzajemności kwadratowej wykorzystuje indukcję zupełną .

Wersja Gaussa w Legendre Symbols.

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) = {\ początek {przypadki }\left({\frac {q}{p}}\right)&q\równoważnik 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\równoważnik 3{\bmod {4}}\end{przypadki}}}$

Można je łączyć:

Połączona wersja Gaussa w symbolach Legendre. Niech

${\ Displaystyle q ^ {*} = (-1) ^ {\ Frac {q-1} {2}} q.}$

Innymi słowy:

${\ Displaystyle | q ^ {*} | = | q | \ quad {\ tekst {i}} \ quad q ^ {*} \ odpowiednik 1 {\ bmod {4}}.} Następnie$

:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {q ^ {*}} {p}} \ prawo).}$

Szereg dowodów twierdzenia, zwłaszcza tych opartych na sumach Gaussa lub dzieleniu liczb pierwszych w polach liczb algebraicznych , wyprowadza ten wzór.

Inne stwierdzenia

Twierdzenia zawarte w tej sekcji są równoważne wzajemności kwadratowej: jeśli na przykład przyjmie się wersję Eulera, można z niej wywnioskować wersję Legendre-Gaussa i odwrotnie.

Sformułowanie Eulera dotyczące wzajemności kwadratowej. Jeśli ${\ displaystyle p \ równoważnik \ pm q {\ bmod {4a}}}$ to ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {a} {p}} \ prawo) = \ lewo ({\ tfrac {a} {q}} \ prawo).}$

Można to udowodnić za pomocą lematu Gaussa .

Wzajemność kwadratowa (Gaussa; dowód czwarty). Niech a , b , c , ... będą nierównymi dodatnimi liczbami pierwszymi nieparzystymi, których iloczyn wynosi n i niech m będzie liczbą z nich ≡ 3 (mod 4); sprawdź, czy n / a jest resztą a , czy n / b jest resztą b , .... Liczba znalezionych niereszt będzie parzysta, gdy m ≡ 0, 1 (mod 4) i będzie nieparzysta, jeśli m ≡ 2, 3 (mod 4).

Czwarty dowód Gaussa polega na udowodnieniu tego twierdzenia (poprzez porównanie dwóch wzorów na wartość sum Gaussa), a następnie ograniczeniu go do dwóch liczb pierwszych. Następnie podaje przykład: Niech a = 3, b = 5, c = 7 i d = 11. Trzy z nich, 3, 7 i 11 ≡ 3 (mod 4), więc m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11R3; 3×7×11 R 5; 3×5×11 R 7; i 3×5×7 N 11, więc istnieje nieparzysta liczba niereszt.

Sformułowanie wzajemności kwadratowej Eisensteina. Załóżmy, że

${\ Displaystyle p \ neq q, \ quad p'\ neq q ', \ quad p \ równoważnik p' {\ bmod {4}}, \ quad q \ równoważnik q' {\ bmod {4}}.}$

Następnie

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p} {q}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {q} {p}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {p'} {q'} }\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

Formuła Mordella na wzajemność kwadratową. Niech a , b i c będą liczbami całkowitymi. Dla każdej liczby pierwszej p , dzieląc abc , jeśli kongruencja

${\ displaystyle ax ^ {2} + o ^ {2} + cz ^ {2} \ równoważnik 0 {\ bmod {\ tfrac {4abc} ​​{p}}}}$

ma nietrywialny rozwiązanie, to tak samo:

${\ Displaystyle ax ^ {2} + o ^ {2} + cz ^ {2} \ równoważnik 0 {\ bmod {4abc}}.}$

Sformułowanie funkcji Zeta

Jak wspomniano w artykule na temat funkcji zeta Dedekinda , wzajemność kwadratowa jest równoważna funkcji zeta pola kwadratowego będącego iloczynem funkcji zeta Riemanna i pewnej funkcji L Dirichleta

Symbol Jacobiego

Główny artykuł: symbol Jacobiego

Symbol Jacobiego jest uogólnieniem symbolu Legendre’a; główna różnica polega na tym, że dolna liczba musi być dodatnia i nieparzysta, ale nie musi być pierwsza. Jeśli jest liczbą pierwszą, oba symbole są zgodne. Podlega tym samym zasadom manipulacji, co symbol Legendre’a. W szczególności

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ lewo ({\ Frac {-1} {n}} \ prawo) = (-1) ^ {\ Frac {n-1} {2}} i = {\ początek { przypadki}1&n\równoważnik 1{\bmod {4}}\\-1&n\równoważnik 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right )=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\równoważnik 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\równoważnik 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2} +4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\równoważnik 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\równoważnik 5,7{\bmod {8}}\end{cases }}\end{aligned}}}$

i jeśli obie liczby są dodatnie i nieparzyste (jest to czasami nazywane „prawem wzajemności Jacobiego”):

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {m} {n}} \ prawo) = (-1) ^ {\ Frac {(m-1) (n-1)} {4}} \ lewo ({\ Frac {n}{m}}\right).}$

Jednakże, jeśli symbol Jacobiego wynosi 1, ale mianownik nie jest liczbą pierwszą, niekoniecznie oznacza to, że licznik jest resztą kwadratową mianownika. Przypadki Gaussa 9) - 14) powyżej można wyrazić za pomocą symboli Jacobiego:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {M} {p}} \ prawo) = (-1) ^ {\ Frac {(p-1) (M-1)} {4}} \ lewo ({\ Frac {p} {M}} \ prawo),}$

i ponieważ p jest liczbą pierwszą, lewa strona jest symbolem Legendre’a i wiemy, czy M jest resztą modulo p , czy nie.

Wzory wymienione w poprzedniej sekcji są prawdziwe dla symboli Jacobiego, o ile symbole są zdefiniowane. Można zapisać wzór Eulera

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {m}} \ prawo) = \ lewo ({ \frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

Przykład.

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2} {7}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1. }$

2 jest resztą modulo liczb pierwszych 7, 23 i 31:

${\ Displaystyle 3 ^ {2} \ równoważnik 2 {\ bmod {7}}, \ quad 5 ^ {2} \ równoważnik 2 {\ bmod {23}}, \ quad 8 ^ {2} \ równoważnik 2 {\ bmod {31}}.}$

Ale 2 nie jest resztą kwadratową modulo 5, więc nie może to być jeden modulo 15. Jest to związane z problemem, który Legendre miał: if ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {a} {m}}\right)=-1,}$ wtedy a jest nieresztowym modulo każda liczba pierwsza w ciągu arytmetycznym m + 4 a , m + 8 a , ..., jeśli w tym szeregu są jakieś liczby pierwsze, ale zostało to udowodnione dopiero kilkadziesiąt lat po Legendre.

Wzór Eisensteina wymaga warunków względnej pierwszości (które są prawdziwe, jeśli liczby są pierwsze)

Niech ${\ displaystyle a, b, a', b'}$ dodatnimi liczbami całkowitymi nieparzystymi, takimi że:

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ gcd & (a, b) = \ gcd (a', b') = 1 \\ & a \ odpowiednik a' {\ bmod {4}} \\ & b \ równoważnik b ' {\bmod {4}}\end{aligned}}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {b} {a}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {a'} }\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

Symbol Hilberta

prawo wzajemności można sformułować za pomocą $,$ Hilberta gdzie aib to dowolne dwie niezerowe liczby wymierne, nie- trywialne wartości bezwzględne liczb wymiernych (archimedesa i p -adyczne wartości bezwzględne liczb pierwszych p ). Symbol Hilberta ${\ displaystyle (a, b) _ {v}}$ wynosi 1 lub -1. $1$ jako gdy równanie po zakończeniu wymierne w v inne niż ${\ displaystyle x=y=z=0}$ . Prawo wzajemności $_$ że oraz b i zmienny v , wynosi 1 dla wszystkich, ale skończenie wielu v i iloczyn $}}$ na wszystkich v wynosi 1. (Formalnie przypomina to twierdzenie o resztach ze złożonej analizy.)

Dowód wzajemności Hilberta sprowadza się do sprawdzenia kilku szczególnych przypadków, a przypadki nietrywialne okazują się równoważne głównemu prawu i dwóm dodatkowym prawom wzajemności kwadratowej dla symbolu Legendre'a. W prawie wzajemności Hilberta nie ma żadnego rodzaju wzajemności; jego nazwa po prostu wskazuje historyczne źródło wyniku w postaci kwadratowej wzajemności. W przeciwieństwie do wzajemności kwadratowej, która wymaga warunków znakowych (mianowicie dodatniości liczb pierwszych) i specjalnego traktowania liczby pierwszej 2, prawo wzajemności Hilberta traktuje wszystkie wartości bezwzględne liczb wymiernych na równych zasadach. Dlatego jest to bardziej naturalny sposób wyrażania wzajemności kwadratowej z myślą o uogólnieniu: prawo wzajemności Hilberta rozciąga się z bardzo niewielkimi zmianami na wszystkie pola globalne i to rozszerzenie można słusznie uznać za uogólnienie kwadratowej wzajemności na wszystkie pola globalne.

Połączenie z polami cyklotomicznymi

Wczesne dowody wzajemności kwadratowej są stosunkowo mało pouczające. Sytuacja uległa zmianie, gdy Gauss użył sum Gaussa, aby pokazać, że pola kwadratowe są podpolami pól cyklotomicznych i w sposób dorozumiany wydedukował wzajemność kwadratową z twierdzenia o wzajemności dla pól cyklotomicznych. Jego dowód został przedstawiony w nowoczesnej formie przez późniejszych teoretyków liczb algebraicznych. Dowód ten posłużył jako szablon dla klasowej teorii pola , którą można postrzegać jako szerokie uogólnienie kwadratowej wzajemności.

Robert Langlands sformułował program Langlandsa , który daje hipotetyczne szerokie uogólnienie teorii pola klasowego. On napisał:

Przyznam, że jako student nieświadomy historii przedmiotu i nieświadomy związku z cyklotomią, nie wydało mi się to prawo ani jego tzw. elementarne dowody atrakcyjne. Przypuszczam, że choć nie wyraziłbym się (i nie mógłbym) w ten sposób, to postrzegałbym to jako niewiele więcej niż matematyczną ciekawostkę, nadającą się bardziej dla amatorów niż dla uwagi poważnego matematyka, którym wówczas miałem nadzieję zostać. Dopiero w książce Hermanna Weyla o algebraicznej teorii liczb doceniłem ją bardziej.

Inne pierścienie

Istnieją również prawa wzajemności kwadratowej w pierścieniach innych niż liczby całkowite.

Liczby całkowite Gaussa

W swojej drugiej monografii na temat wzajemności kwartalnej Gauss stwierdził wzajemność kwadratową dla pierścienia liczb całkowitych Gaussa , mówiąc, że jest to konsekwencja prawa dwukwadratowego w $, Z [ ja ] {\ displaystyle \ mathbb {Z$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i],},$ ale nie przedstawił dowodu żadnego twierdzenia. Dirichlet wykazał, że prawo w ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$$wywnioskować$ z prawa bez stosowania wzajemności kwartalnej

Dla nieparzystej liczby pierwszej Gaussa ${$ liczby całkowitej Gaussa $pierwszej$ do ${\ displaystyle \ pi,}$ zdefiniuj znak kwadratowy dla $\ displaystyle \ mathbb { Z} [i]}$ przez:

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ alfa} {\ pi}} \ prawo] _ {2} \ równoważnik \ alfa ^ {\ Frac {\ operatorname {N} \ pi -1} {2}} {\ bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\istnieje \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\- 1&{\text{w przeciwnym razie}}\end{przypadki}}}$

Niech $,$ różne liczby pierwsze Gaussa i c _ _ _ Następnie

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ lambda} {\ mu}} \ prawo] _ {2} = \ lewo [{\ Frac {\ mu} {\ lambda}} \ prawo] _ {2}, \ qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+ i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

Liczby całkowite Eisensteina

Rozważmy następujący trzeci pierwiastek jedności:

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} = e ^ {\ Frac {2 \ pi \imath} {3}}.}$

Pierścień liczb całkowitych Eisensteina to $liczby$ pierwszej Eisensteina ${\ Displaystyle \ pi, \ operatorname {N} \ pi \ neq 3,}$ i liczby całkowitej Eisensteina ${\ displaystyle \ alfa }$ z ${\ displaystyle \ gcd (\ alfa, \ pi) = 1,}$ zdefiniuj znak kwadratowy dla według wzoru ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ alfa } } pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\istnieje \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}$

Niech λ = a + bω i μ = c + dω będą różnymi liczbami pierwszymi Eisensteina, gdzie a i c nie są podzielne przez 3 oraz b i d są podzielne przez 3. Eisenstein udowodnił

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ lambda} {\ mu}} \ prawo] _ {2} \ lewo [{\ Frac {\ mu} {\ lambda}} \ prawo] _ {2} = (- 1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

Urojone pola kwadratowe

Powyższe prawa są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnych praw, które obowiązują dla pierścienia liczb całkowitych w dowolnym polu liczby urojonej kwadratowej . Niech k będzie urojonym polem liczbowym kwadratowym z pierścieniem liczb całkowitych $z$ Dla ideału pierwszego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ podzbiór {\ mathcal {O}} _ {k}}$ nieparzystym norma ${\ Displaystyle \ operatorname {N} {\ mathfrak {p}}}$ i ${\ Displaystyle \ alfa \ in {\ mathcal {O}} _ {k},$ zdefiniuj znak kwadratowy dla jako ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ alfa} {\ mathfrak {p}}} \ prawo] _ {2} \ równoważnik \ alfa ^ {\ Frac {\ operatorname {N} {\ mathfrak {p}} - 1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alfa \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ i }}\istnieje \eta \ in {\mathcal {O}}_{k}{\text{tak, że}}\alfa -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\ mathfrak {p}}{\text{ i nie ma takiego }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}}$

dla dowolnego ideału $} _ {k$ w ideałach pierwszych za $\ mathfrak {a}} \$ zdefiniuj

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ alfa} {\ mathfrak {a}}} \ prawo] _ {2} = \ lewy[{\frac {\alfa }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alfa }{{\mathfrak {p}} _{n}}}\right]_{2},}$

i dla zdefiniowania ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {O}} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ alfa} {\ beta}} \ prawo] _ {2} = \ lewo [{\ Frac {\ alfa} {\ beta {\ mathcal {O}} _ {k} }}\right]_{2}.}$

Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k} = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} \ oplus \ mathbb {Z} \ omega _ {2 }$ , $_$ tj jest _ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}.}$ Dla z nieparzystą normą ${\ Displaystyle \ operatorname {N} \ nu,}$$ν$ zdefiniuj (zwykłe) liczby a , b , do , d według równania,

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} \ nu \ omega _ {1} i = a \ omega _ {1} + b \omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}}$

i funkcja

${\ Displaystyle \ chi (\ nu): = \ imat ^ {(b ^ {2} -a +2) c + (a ^ {2} -b + 2) d + reklama}.}$

Jeśli m = Nμ i n = Nν są nieparzyste, udowodnił Herglotz

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ mu} {\ nu}} \ prawo] _ {2} \ lewo [{\ Frac {\ nu} \ mu}} \ prawo] _ {2} = (- 1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}} }\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

Także jeśli

${\ Displaystyle \ mu \ równoważnik \ mu '{\ bmod {4}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ nu \ równoważnik \ nu '{\ bmod {4}}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {\ mu} {\ nu}} \ prawo] _ {2} \ lewo [{\ Frac {\ nu} \ mu}} \ prawo] _ {2} = \ lewo [{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

Wielomiany w ciele skończonym

Niech F będzie ciałem skończonym o q = p ⁿ elementów, gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą, a n jest dodatnie, i niech F [ x ] będzie pierścieniem wielomianów w jednej zmiennej o współczynnikach w F . Jeśli ${\ displaystyle f, g \ w F [x]}$ i f jest nieredukowalne , moniczne , i ma stopień dodatni, zdefiniuj charakter kwadratowy dla F [ x ] w zwykły sposób:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {g} {f}} \ prawo) = {\ początek {przypadki} 1 i \ gcd (f, g) = 1 {\ tekst {i}} \ istnieje h,k\in F[x]{\text{ tak, że }}gh^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ i }}g{\text{ nie jest kwadratem}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

Jeśli jest iloczynem nieredukowalnych monicznych niech ${\ displaystyle f = f_ {1} \ cdots f_ {n}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {g} {f}} \ prawo) = \ lewo ({\ Frac {g} {f_ {1}}} \ prawo) \ cdots \ lewo ({\ Frac {g} {f_{n}}}\right).}$

Dedekind udowodnił, że jeśli są moniczne i mają stopnie dodatnie, ${\ displaystyle f, g \ in F [x]}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {g} {f}} \ prawo) \ lewo ({\ Frac {f} {g}} \ prawo) = (-1) ^ {{\ Frac {q-1} {2}}(\stopień f)(\stopień g)}.}$

Wyższe moce

Dalsze informacje: wzajemność sześcienna , wzajemność kwartalna , wzajemność oktyczna i wzajemność Eisensteina

Próba uogólnienia kwadratowej wzajemności dla potęg wyższych niż druga była jednym z głównych celów, jakie przyświecały XIX-wiecznym matematykom, w tym Carlowi Friedrichowi Gaussowi , Peterowi Gustavowi Lejeune Dirichletowi , Carlowi Gustavowi Jakobowi Jacobiemu , Gottholdowi Eisensteinowi , Richardowi Dedekindowi , Ernstowi Kummerowi i Davidowi Hilberta do badania ogólnych algebraicznych pól liczbowych i ich pierścieni liczb całkowitych; w szczególności Kummer wymyślił ideały, aby stwierdzić i udowodnić wyższe prawa wzajemności.

Dziewiąty na liście 23 nierozwiązanych problemów , który David Hilbert zaproponował Kongresowi Matematyków w 1900 r., prosił o „ Dowód najogólniejszego prawa wzajemności [dla] lub dowolnego pola liczbowego”. Opierając się na pracach Philippa Furtwänglera , Teiji Takagi , Helmuta Hasse i innych, Emil Artin odkrył wzajemność Artina w 1923 r., ogólne twierdzenie, dla którego wszystkie znane prawa wzajemności są przypadkami szczególnymi, i udowodnił je w 1927 r.

Zobacz też

• Funkcja zeta Dedekinda
• Prawo racjonalnej wzajemności
• Lemat Zolotarewa

Notatki

Disquisitiones Arithmeticae zostało przetłumaczone (z łaciny) na język angielski i niemiecki. Wydanie niemieckie zawiera wszystkie prace Gaussa z teorii liczb: wszystkie dowody wzajemności kwadratowej, wyznaczanie znaku sumy Gaussa, badania dwukwadratowej wzajemności i niepublikowane notatki. Przypisy odnoszące się do Disquisitiones Arithmeticae mają formę „Gauss, DA, Art. n ”.

•   Gaussa, Carla Friedricha (1986). Disquisitiones Arithemeticae . Przetłumaczone przez Clarke'a, Arthura A. (wyd. drugie, poprawione). Nowy Jork: Springer . ISBN 0-387-96254-9 .
•   Gaussa, Carla Friedricha (1965). Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae i inne artykuły na temat teorii liczb) . Przetłumaczone przez Masera, Hermanna (wyd. drugie). Nowy Jork: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8 .

Dwie monografie Gaussa opublikowane na temat wzajemności dwukwadratowej mają kolejne numery sekcji: pierwsza zawiera §§ 1–23, a druga §§ 24–76. Przypisy odnoszące się do nich mają formę „Gauss, BQ, § n ”.

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Getynga: Komentarz. Towarzystwo regiae sci, Getynga 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Getynga: Komentarz. Towarzystwo regiae sci, Getynga 7

Werke Gaussa , tom II, s. 65–92 i 93–148. Tłumaczenia niemieckie znajdują się na s. 511–533 i 534–586 Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Każdy podręcznik elementarnej teorii liczb (i sporo algebraicznej teorii liczb ) zawiera dowód wzajemności kwadratowej. Na szczególną uwagę zasługują dwa:

Franza Lemmermeyera : Od Eulera do Eisensteina zawiera wiele dowodów (niektóre w ćwiczeniach) zarówno na prawa wzajemności kwadratowej, jak i prawa wzajemności wyższej potęgi, a także omówienie ich historii. Jego ogromna bibliografia obejmuje cytaty z literatury dla 196 różnych opublikowanych dowodów na kwadratowe prawo wzajemności .

Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb Kennetha Irelanda i Michaela Rosena również zawiera wiele dowodów na wzajemność kwadratową (i wiele ćwiczeń), a także omawia przypadki sześcienne i dwukwadratowe. Ćwiczenie 13.26 (s. 202) mówi wszystko

Policz dowody na prawo wzajemności kwadratowej podane dotychczas w tej książce i wymyśl inny.

•   Bacha, Eryka; Shallit, Jeffrey (1966), Algorithmic Number Theory (tom I: Efficient Algorithms) , Cambridge: The MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
•   Edwards, Harold (1977), Ostatnie twierdzenie Fermata , Nowy Jork: Springer , ISBN 0-387-90230-9
•    Lemmermeyer, Franz (2000), Prawa wzajemności , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4 , MR 1761696
•   Irlandia, Kenneth; Rosen, Michael (1990), klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb (wydanie drugie) , Nowy Jork: Springer , ISBN 0-387-97329-X

Linki zewnętrzne

• „Prawo wzajemności kwadratowej” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Twierdzenie o wzajemności kwadratowej z MathWorld
• Spektakl porównujący dwa dowody kwadratowego prawa wzajemności
• Dowód tego twierdzenia w PlanetMath
• Inny dowód na MathPages
• Chronologia i bibliografia dowodów kwadratowego prawa wzajemności według F. Lemmermeyera (332 dowody)