Grupa lokalnie skończona

W matematyce , w dziedzinie teorii grup , grupa lokalnie skończona jest rodzajem grupy , którą można badać w sposób analogiczny do grupy skończonej . Zbadano podgrupy Sylowa , podgrupy Cartera i podgrupy abelowe grup lokalnie skończonych. Koncepcję tę przypisuje się pracy w latach trzydziestych XX wieku rosyjskiemu matematykowi Siergiejowi Czernikowowi .

Definicja i pierwsze konsekwencje

Grupa lokalnie skończona to grupa, dla której każda skończenie generowana podgrupa jest skończona .

Ponieważ cykliczne podgrupy grupy lokalnie skończonej są generowane w sposób skończony, a więc skończone, każdy element ma skończony porządek , więc grupa jest okresowa .

Przykłady i nie-przykłady

Przykłady:

• Każda skończona grupa jest lokalnie skończona
• Każda nieskończona suma bezpośrednia skończonych grup jest lokalnie skończona ( Robinson 1996 , s. 443) (Chociaż iloczyn bezpośredni może nie być).
• Grupy omega-kategoryczne
• Grupy Prüfera to lokalnie skończone grupy abelowe
• Każda grupa Hamiltona jest lokalnie skończona
• Każda okresowo rozwiązalna grupa jest lokalnie skończona ( Dixon 1994 , Twierdzenie 1.1.5).
• Każda podgrupa grupy lokalnie skończonej jest lokalnie skończona. ( Dowód. Niech G będzie grupą lokalnie skończoną, a S podgrupą. Każda skończenie generowana podgrupa S jest (skończenie generowaną) podgrupą G .)
• Uniwersalna grupa Halla to przeliczalna lokalnie skończona grupa zawierająca każdą przeliczalną lokalnie skończoną grupę jako podgrupę.
• Każda grupa ma unikalną maksymalną lokalnie skończoną podgrupę normalną ( Robinson 1996 , s. 436)
• Każda okresowa podgrupa ogólnej grupy liniowej nad liczbami zespolonymi jest lokalnie skończona. Ponieważ wszystkie lokalnie skończone grupy są okresowe, oznacza to, że dla grup liniowych i grup okresowych warunki są identyczne.

Nie-przykłady:

• Żadna grupa z elementem nieskończonego porządku nie jest grupą lokalnie skończoną
• Żadna nietrywialna grupa swobodna nie jest lokalnie skończona
• Grupa potworów Tarskiego jest okresowa, ale nie lokalnie skończona.

Nieruchomości

Klasa grup lokalnie skończonych jest zamknięta na podgrupy, ilorazy i rozszerzenia ( Robinson 1996 , s. 429).

Grupy lokalnie skończone spełniają słabszą postać twierdzeń Sylowa . Jeśli grupa lokalnie skończona ma skończoną podgrupę p nie zawartą w żadnej innej podgrupie p , to wszystkie podgrupy maksymalne p są skończone i sprzężone. Jeśli koniugatów jest skończenie wiele, to liczba koniugatów jest równa 1 modulo p . W rzeczywistości, jeśli każda przeliczalna podgrupa grupy lokalnie skończonej ma tylko przeliczalnie wiele maksymalnych p -podgrup, to każda maksymalna p -podgrupa grupy jest sprzężona ( Robinson 1996 , P. 429).

Klasa grup lokalnie skończonych zachowuje się nieco podobnie do klasy grup skończonych. Wiele teorii formacji i klas dopasowania z lat 60., a także starszej teorii podgrup Sylowa z lat 30. i XIX wieku ma odpowiednik w teorii grup lokalnie skończonych ( Dixon 1994 , s. v.).

Podobnie jak w przypadku problemu Burnside'a , matematycy zastanawiali się, czy każda nieskończona grupa zawiera nieskończoną podgrupę abelową . Chociaż generalnie nie musi to być prawdą, wynikiem Philipa Halla i innych jest to, że każda nieskończona lokalnie skończona grupa zawiera nieskończoną grupę abelową. Dowód tego faktu w teorii grup nieskończonych opiera się na twierdzeniu Feita-Thompsona o rozpuszczalności skończonych grup nieparzystego rzędu ( Robinson 1996 , s. 432).

•    Dixon, Martyn R. (1994), Teoria Sylowa, formacje i Dopasowanie klas w lokalnie skończonych grupach , Series in Algebra, tom. 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2 , MR 1313499
•   Robinson, Derek John Scott (1996), Kurs teorii grup , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6

Linki zewnętrzne

• AL Shmel'kin (2001) [1994], „Grupa lokalnie skończona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Otto H. Kegel i Bertram AF Wehrfritz (1973), Grupy lokalnie skończone , Elsevier