uniwersalna grupa Halla

W algebrze uniwersalna grupa Halla jest przeliczalną lokalnie skończoną grupą , powiedzmy U , która jest jednoznacznie scharakteryzowana przez następujące właściwości.

• Każda skończona grupa G dopuszcza monomorfizm do U .
• Wszystkie takie monomorfizmy są sprzężone przez wewnętrzne automorfizmy U .

Został zdefiniowany przez Philipa Halla w 1959 roku i ma uniwersalną właściwość, którą osadzają w nim wszystkie policzalne lokalnie skończone grupy .

Budowa

Weź dowolną grupę $≥$$\ Displaystyle \ geq 3$ } . Oznacz przez ${\ Displaystyle \ Gamma _ {1}}$ grupę permutacji elementów ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}}$ przez Γ $\ Displaystyle \ Gamma _ {0}}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {2}}$ grupa

${\ Displaystyle S _ {\ Gamma _ {1}} = S_ {S _ {\ Gamma _ {0}}} \,}$

i tak dalej. Ponieważ grupa działa wiernie na siebie przez permutacje

${\ displaystyle x \ mapsto gx \,}$

zgodnie z twierdzeniem Cayleya daje to łańcuch monomorfizmów

${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} \ hookrightarrow \ Gamma _ {1} \ hookrightarrow \ Gamma _ {2} \ hookrightarrow \ cdots. \,}$

Bezpośrednim ograniczeniem (czyli sumą) wszystkich $grupa$ Halla U .

Rzeczywiście, U zawiera wtedy grupę symetryczną o dowolnie dużym porządku, a każda grupa dopuszcza monomorfizm do grupy permutacji , jak wyjaśniono powyżej. Niech G będzie skończoną grupą dopuszczającą dwa zanurzenia w U . Ponieważ U jest bezpośrednią granicą, a $.$ jest skończony obrazy tych dwóch osadzeń Grupa ${\ Displaystyle \ Gamma _ {i + 1} = S _ {\ Gamma _ {i}}}$ działa na ${\ Displaystyle \ Gamma _ {i}}$ przez permutacje i koniuguje wszystkie możliwe osadzenia ${\ styl wyświetlania G\hookrightarrow U}$ .